Типовой расчёт № 2

Индивидуальное задание № 2
по теме «Дифференцирование функции одной переменной»
Образец выполнения
Задание 1. Найти производные функций:
y  ln cos x
Решение:
Используем
правило
 f g x   f ( g )  g ( x) .




y   ln cos x 
1
cos x
 ( cos x ) 
дифференцирования
1

1
cos x 2 cos x
 cos x 
сложной
функции:
sin x
1
 tg x .
2 cos x 2
x
y  e ln x
Решение:
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций:
(uv)  u v  uv  . Получим y   (e  x ln x)  e  x  ln x 
ex
.
x
Задание 2. Найти вторую производную функции y 
x
.
x 1
2
Решение:

x 
x 2  1  2x 2
1 x2


.

2
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
 x  1

 1 x2 
 2 x( x 2  1) 2  4 x(1  x 2 )( x 2  1)


 

Вычисляем вторую производную: y   2
2 
( x 2  1) 4
 ( x  1) 
 2 x( x 2  1)  4 x(1  x 2 )  2 x 3  2 x  4 x  4 x 3 2 x 3  2 x
.


 2
( x 2  1) 3
( x 2  1) 3
( x  1) 3
Сначала находим первую производную: y   
Задание 3. Составить уравнения касательной к графику функции y  sin 2 x в точке
x0 

3
.
Решение:
Запишем уравнение касательной:
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) .
В нашем случае
2
3
3

2

 x ,
, f ( x0 )  2 cos  1 . Подставляем в уравнение: y 
3
2
3
2
3

3
откуда y  x  
- уравнение касательной.
3
2
f ( x0 )  sin
Вариант № 1
1. Найти производные функций:
1. y 
ex
ex  2
y  cos sin x
y  x 2 ln x y  cos
2. Найти вторую производную функции y 
1
x3
у=sin2х/(8х3)
у = х3 lnx
1
.
x 1
2
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  cos 3x в точке x 0 

6
.
4.Тело движется по закону s ( t ) = 5t3 + 6t2 + 2, где s – путь в км, t – время в часах.
Найти скорость тела (в км∕ ч ) через 3 часа после начала движения.
Вариант № 2
1. Найти производные функций:
ex 1
e x  ex
1
у=8х3sin2х
x3
x
2. Найти вторую производную функции y  2 .
x 1
y
y  cos x 3
y  sin
y  x 2 ln( x  4)
у=х3/(2cos3х)
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  cos 5 x в точке x 0 

6
.
4. Тело движется по закону s(t)=5t4+3t2+8, s-путь в м, t-время в сек. Найти
ускорение тела (в м/с2) через 1с после начала движения.
Вариант № 3
1. Найти производные функций:
y
e x  ex
e x  e x
y  cos 3 x
y  x 3 ln( x 2  4 x)
y  ctg
2. Найти вторую производную функции y 
1
x3
у=2х2*tq4х у=ln(2х3-3)/х
x
.
x 1
2
1
2
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  sin x в точке x 0 

6
.
4. Тело движется так, что его скорость изменяется по закону v(t)=3t2+15t-5, где tвремя в сек. Найти ускорение этого тела через 2 сек. после начала движения.
Вариант № 4
1. Найти производные функций:
e x  ex
y x
e 1
y  sin 3 x
y  x 3 cos( x 2  1)
y  ctg
2. Найти вторую производную функции y 
1
x
x2
.
x2 1
у=е2хln(5-3х)
у=хln2х
1
4
3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y  sin x в
точке x0   .
4. Тело движется по закону s(t)=t3-t2+t+4, где s-путь в м, t-время в сек. Найти
ускорение тела через 4 секунды после начала движения.
Вариант № 5
1.Найти производные функций:
e x  ex
y x
e 1
y  ln(cos x)
y  x 2 sin x 2
y  cos x
2. Найти вторую производную функции y 
y=ln(2-3x)4
y=3x2/e3x+5
x 1
.
x2
1
4
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  tg x в точке x0   .
4. При движении тела по прямой скорость V(t) (в м/с) изменяется по закону
V(t)=2t2-t+2 (t- время в сек.). Через сколько секунд ускорение тела будет равно 7
м/с2?
Вариант № 6
1. Найти производные функций:
y  x 2e x
y  cos x
y
x3
x3
y  e
x
y=sin25x
y=(12x2-x5)2*cos3x
x
4
2. Найти вторую производную функции y  3 sin .
3.Составить уравнения касательной к графику функции y  x 3  x в точке x0  2 .
4.Точка движется прямолинейно по закону Х(t)=2t3+t-1 (в см) , где t-время в сек..
Сколько сантиметров пройдет точка от момента времени t=0 до момента времени,
когда ускорение точки будет равно 108 см/с2?
Вариант № 7
1. Найти производные функций:
y  xe3 x
y  sin x
y
x 1
x3  1
y=ln5x*e3x+5 y=tg(3x5+5)/e4x+sin5x y= (x7+5)10
x
4
2. Найти вторую производную функции y  4 cos .
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  x 2  3x  2 в точке
x0  2 .
4. Тело движется по прямой так, что его скорость V(t) (в м/с) изменяется по
закону V(t)=6t2+14t-5 (t- время в сек.). Какую скорость приобретет тело в момент,
когда его ускорение станет равным 26 м/c2?
Вариант № 8
1. Найти производные функций:
y  x 2 e3x
y
y  tg x
x 1
x2 1
y
3 cos 4 x 5
e
y=sin3x4*esin3x
4 x  x3
2. Найти вторую производную функции y 
y=ctg(3x+7)2
3
tg 4 x
16
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  x 2  3x  2 в точке
x0  2 .
4.Материальная точка движется по закону Х(t)=2t3-3t-14t-27, где Х-перемещение в
м, t-время в сек. Через сколько секунд после начала движения ускорение тела
будет равно 6 м/с2?
Вариант № 9
1. Найти производные функций:
3 x
yx e
y  ctg x
x 1
y 2
x  2x
3
ex
y
cos 4 x
y=ln(4x+6)*sinx2
2. Найти вторую производную функции y  
y=tg36lnx6
5
ctg 4 x .
16
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  x 2  5x  6 в точке
x0  1 .
4. Два тела совершают прямолинейное движение по законам S1(t)=t2/2 +t/2 +4,
S2(t)=5t2/2 – 12t+3, где t-время в сек., а S1(t) и S2(t)-пути первого и второго тел в
метрах. Через сколько секунд, считая от t-0, скорость движения первого тела
будет в 4 раза меньше скорости движения второго тела?
Вариант № 10
1. Найти производные функций:
y  ln sin 2 4 x * e x
2
y  x 2 e 2 x
y  3 cos x
y
x2 1
x2 1
y
tgx5
ln sin 7 x 2
y  ctg 4 ln e3sin6 x
3
2. Найти вторую производную функции y  ln(sin x) .
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  x 2  5x  6 в точке
x0  1 .
4. Тело движется по прямой так, что расстояния s (в км ) от него до неподвижной
точки Р этой прямой изменяется по формуле S(t)=t3+2t+1, где t-время в ч. Через
сколько часов после начала движения скорость тела будет равна 50 км/ч?
Вариант № 11
1. Найти производные функций:
ex 1
y x
e  ex
y  cos x
3
3
1
y  x ln( x  4) y  sin 3
x
y  sin( 6 x  x ) * 8e
2
2. Найти вторую производную функции y 
8
6 x9
y
e tgx
sin 3 6 x 9
x
x 1
2
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  cos 3x в точке x 0 

6
.
4. Тело движется по прямой так, что расстояние s (в м) от него до точки М этой
прямой изменяется по закону s(t)= -2t2+8t+7 (t – время в секундах). При этом тело
движется до тех пор, пока его скорость не обратится в нуль. Сколько секунд,
считая от момента времени t=0, находится тело в движении?
Вариант № 12
1. Найти производные функций:
e x  ex
y  sin 3 x
y x
e 1
y  x 3 cos( x 2  1)
y  ctg
2. Найти вторую производную функции y 
1
x
y  tge4 x * esin
5 x9
y
6 ln sin x 7
e cos x
8
x2
x2 1
1
2
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  sin x в точке x 0 

6
.
4. Тело движется по прямой так, что расстояние s (в км) от него до неподвижной
точки Р этой прямой изменяется по формуле s (t)=5t3 + 6t2+2, где время t
измеряется в часах. Через сколько часов после начала движения скорость тела
будет равна 50 км ∕ ч ?
Вариант № 13
1. Найти производные функций:
y  x 2e x
y  cos x
y
x3
x3
y  e
x
y
6 sin e5 x
ln x 2  e 7 x
5
y  sin 6 ln( x 7  4 x )
x
4
2. Найти вторую производную функции y  3 sin .
1
4
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  tg x в точке x0   .
4. Точка движется прямолинейно по закону Х(t)=2t3+t-1 (в см) , где t-время в сек..
Сколько сантиметров пройдет точка от момента времени t=0 до момента времени,
когда ускорение точки будет равно 108 см/с2?
Вариант № 14
1. Найти производные функций:
cos 3x 2
y
ln
sin 3x 2
y 5 4
ln ( x  3x )
x5  7 x 4
y  x 2 e3x y 
2. Найти вторую производную функции y 
x 1
y  tg 3 ln
x2 1
2
2x
*e
4x7
y  tg x
3
tg 4 x .
16
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  x 2  3x  2 в точке
x0  2 .
4. Тело движется по закону s(t)=t3-t2+t+4, где s-путь в м, t-время в сек. Найти
ускорение тела через 4 секунды после начала движения.
Вариант № 15
1. Найти производные функций:
y e
yx e
2
cos 2 x
* ln tgx
7
2 x
x2 1
y 2
x 1
y
tge6 x
8
ln( 8 x  x )
10
y  cos5 (ln x3  x) * e5 x4
y  4 sin 7 ln ctg 6 x  x 4
2. Найти вторую производную функции y  ln(sin x) .
3. Составить уравнения касательной к графику функции y  x 2  5x  6 в точке
x0  1 .
4. Два тела совершают прямолинейное движение по законам S1(t)=t2/2 +t/2 +4,
S2(t)=5t2/2 – 12t+3, где t-время в сек., а S1(t) и S2(t)-пути первого и второго тел в
метрах. Через сколько секунд, считая от t-0, скорость движения первого тела
будет в 4 раза меньше скорости движения второго тела?