СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г.

Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г.
Лекция
Тема: СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Содержание лекции:
Введение
1. Измерение скорости света
2. Скорость света в инерциальных системах
отсчета
3. Преобразования координат и времени в теории
относительности – преобразования Лоренца
4. Геометрия пространства-времени
Введение
При изложении механики предполагалось, что
все скорости движения тел значительно меньше
скорости света.
Механика Ньютона (называемая
классической)
неверна при скоростях движения тел, близких к
скорости света (v  с).
Правильная теория для случая v  с называется
релятивистской
механикой
теорией относительности.
или
специальной
Большинство встречающихся в повседневной
жизни скоростей значительно меньше скорости
света, но существуют явления, где это не так:
1. Распространение света v = с.
2. Магнитное поле и электромагнитная индукция,
связаны со скоростью света.
3. Элементарные частицы движутся со скоростями,
близкими или равными скорости света. Фотоны
всегда имеют скорость v = с.
4. Удаленные галактики движутся со скоростями,
близкими к скорости света. Нейтронные звезды,
пульсары и черные дыры
связана с
релятивистскими эффектами.
5. Для понимания квантовой механики нужны
релятивистские соотношения между энергией,
массой и импульсом.
1. Измерение скорости света
Представляет фундаментальный интерес вопрос о
скорости распространения света – конечна или
бесконечна данная величина.
Впервые
доказать
конечность
скорости
распространения света удалось Рёмеру в 1676 г
(рис. 1 – 2).
Он обнаружил, что движение Ио, крупнейшего
спутника
Юпитера,
регулярно со временем.
совершается
не
совсем
Рёмер установил, что нарушается периодичность
затмений Ио Юпитером.
В первое полугодие периодичность начала
затмения отличается от начала затмения во
второе полугодие примерно на 20 минут.
Это можно объяснить, если принять конечность
скорости распространения света в вакууме с:
L
LD
D
t1  , t1 
 t1  .
c
c
c
Здесь D  3·1011 м – диаметр орбиты Земли,
t1, t2 – времена прихода световых сигналов к Земле.
(t1-t2)
Рис 1.
Рис 2.
Рёмер вычислил, что время прохождения светом
диаметра Земли равно  22 минуты.
Метод Рёмера был не точен (с = 214300 км/с),
но его расчет показал астрономам, что для
определения
истинного
движения
планет
необходимо учитывать время распространения
светового сигнала.
В настоящее время за величину скорости света в
вакууме принята величина (точное значение):
с = 299792458 м/с.
2. Скорость света в инерциальных
системах отсчета
Применение преобразования Галилея к задаче об
определении величины скорости света приводит к
результату:
Скорость света относительно движущегося
приемника сR отличается от с – значения скорости
света в вакууме относительно неподвижного
приемника и равна
сR = сv,
где v – скорость приемника света, с которой тот
движется навстречу источнику (+) или от источника
(–).
Это соотношение выполняется для звука, для
бесчисленных случаев сложения скоростей типа
«человек + платформа» и т.д. Но оно не
справедливо для световых волн в свободном от
вещества пространстве.
Экспериментально доказано, что в любой
инерциальной системе отсчета независимо от ее
скорости движения сR = с.
Этот факт является одним из постулатов
Эйнштейна, лежащих в основе релятивистской
физической теории.
Постулаты Эйнштейна:
1. Скорость света в вакууме постоянна во всех
инерциальных системах отсчета и не зависит от
скорости движения источника и наблюдателя.
2. Все инерциальные системы отсчета физически
эквивалентны
(
принцип
относительности
Эйнштейна).
Он предположил, что с точки зрения движущегося
наблюдателя пространство «сокращается» в
направлении движения в 1  v 2 / c 2 раз, а время по
измерениям того же движущегося наблюдателя
«замедляется» в 1  v 2 / c 2 раз.
Так что
dx/dt = dx/dt= c
для любого светового импульса и любого
наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью
(x, t  координаты и время движущегося
наблюдателя).
Пусть стоящий на Земле наблюдатель А видит
один световой импульс распространяющийся со
скоростью vимп (рис. 3).
В то же самое время эти световые импульсы
регистрирует
наблюдатель
В,
летящий
в
космическом корабле со скоростью vВ.
Согласно преобразованиям Галилея наблюдатель
В
должен
видеть
световой
импульс,
распространяющийся с меньшей скоростью:
vимп = vимп – vВ.
Однако в реальном эксперименте не только
наблюдатель А измерит vимп = с , но и наблюдатель
В также измерит vимп = с
Рис. 3
3. Преобразования координат и
времени в теории относительности –
преобразования Лоренца
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К
и К. Система К движется относительно К со
скоростью v = const – равномерно и прямолинейно.
Пусть x, y, z, t – координаты и время некоторого
события в системе К, а x, y, z, t – координаты и
время того же события в системе К.
Как связаны между собой эти координаты и время?
В рамках классической теории при скоростях
движения  << c, эта связь устанавливалась
преобразованиями Галилея.
В его основе
лежали представления об
абсолютном пространстве и независимом времени
r = r + vt, t = t.
В частности, при относительном движении систем
К и К параллельно оси x имеем
x = x + vt, y = y, z = z, t = t.
Из
этих
преобразований
следует,
что
взаимодействия в классической физике должны
передаваться с бесконечно большой скоростью.
В противном случае можно было бы одну
инерциальную систему отсчета отличить от другой
по характеру протекания в них физических
процессов.
Установим связь между координатами и временем
события в системах отсчета К и К, основываясь на
постулатах Эйнштейна.
При этом учитывается, что пространство
однородно и изотропно, а время однородно.
Т.е. все точки пространства и моменты времени в
инерциальных системах отсчета К и К абсолютно
эквивалентны.
Поэтому связь между координатами и временем в
К и К должна быть линейной.
Пусть относительное
движение систем К и К
происходит
параллельно
осям x и x, т.е. y = y и
z = z.
Мы следим за
началом отсчета системы
К – за точкой
x = 0  из системы К.
Тогда ее координата с точки зрения наблюдателя в
системе К будет равна
Отсюда следует:
x = vt.
x  vt = 0 и x = 0.
В силу линейной связи между x и x получаем:
x = (x  vt).
Аналогично положение начала координат x = 0 в
системе К с точки зрения наблюдателя в К
определяется как
и, следовательно:
x = vt
x + vt = 0 и x = 0
В силу линейной связи x и xимеем:
x = (x + vt).
Отметим то важное обстоятельство:
в специальной теории относительности
течет в системах отсчета К и К, в общем,
поразному.
время
В силу принципа относительности =, т.к. все
инерциальные системы отсчета эквивалентны.
Пусть в момент времени t = t = 0, когда начала
координат О и О систем отсчета К и К совпадали,
в системах К и К вдоль осей x и x испускается луч
света.
Согласно постулату о постоянстве скорости света
имеем для координат луча в моменты времени t и t:
x = ct и x = ct.
Подставляя эти значения
произведения x на x, имеем:
в
выражения
для
xx = c2tt = 2(x – vt)(x + vt) = 2tt ·
·(c2  v2),
откуда следует, что
  1/ 1  v / c
2
2
Получаем:
x  ( x  vt )/ 1  v 2 / c 2 ,
x   ( x  vt ) / 1  v 2 / c 2 ,
y = y',
z = z’,
y' = y,
z’ = z.
Найдем преобразования для времени. Поскольку
2
2


x 1  v / c  x  v t  ( x  vt ) / 1  v / c  v t 
2
2
то имеем

x 1 v / c
2
2
  x  vt  vt ,
1 v / c
2
2
2
2
2

t  (t  xv / c ) / 1  v / c
Аналогично для t:
t  (t   xv / c ) / 1  v / c
2
Получаем
следующие
2
2
выражения
для
преобразования координат и времени физического
события при переходе между системами отсчета К
и К, движущихся параллельно осям x и x со
скоростью v:
x
x   vt 
1 v / c
2
2
,
x 
y = y',
z = z’,
t
1 v / c
2
y' = y,
z’ = z.
t   x v / c
2
1 v / c
2
2
x  vt
,
t 
t  xv / c
2
1 v / c
2
2
2
,
Эти
преобразования
преобразованиями
Лоренца.
называются
Данные
преобразования были найдены Лоренцем в 1904
году.
Но истинный физический смысл этих формул
был впервые установлен Эйнштейном в 1905
году.
В теории относительности время называют
четвертым измерением.
Точнее говоря, величина сt, имеющая ту же
размерность, что и x, y, z, ведет себя, как четвертая
пространственная координата.
4. Геометрия пространства-времени
В классической физике пространство и время
считаются независимыми друг от друга.
Расстояние между двумя материальными точками
в один и тот же момент времени и промежутки
времени между двумя событиями принимаются
одинаковыми во всех системах отсчета.
Иначе говоря,
они являются
инвариантами
(неизменными) при переходе от одной системы
отсчета к другой.
В теории относительности вместо двух
инвариантов – пространственного и временного
–
t = t2 – t1 = t = t 2 – t1 = inv,
  = inv
= r12
сохраняется один – пространственно-временной
инвариант.
2
r12
2
Из преобразований Лоренца следует, что S122
имеет вид
2
2
2
2
2
2
S12  c t 2  t1   r12  c t 2  t1   ( r12 ) 2  inv
Если ввести новые переменные  = сt,  = сt, то
величина S122  квадрата четырехмерного
интервала между событиями 1 и 2, которые
происходят в точках с координатами r1, r2, в
моменты времени t1 и t2 примет вид
2
S12

2
12

2
 r12
   12
    r12
  .
 S12
2
2
2
Г. Минковский для описания пространственновременных событий ввел геометрическую
терминологию.
Совокупность значений , x, y, z для
характеристики места и времени события мировая точка.
Множество мировых точек есть четырехмерное
пространство, называемое пространством
Минковского.
Линия в пространстве Минковского называется
мировой линией.
Интервал между двумя событиями S является
инвариантом между двумя мировыми точками.
Интервалы между событиями
делятся на
вещественные и чисто мнимые. Поскольку S –
инвариант, это деление не зависит от выбора системы
отсчета.
В системе К события 1 и 2 одноместны, т.е. r1 = r2.
В этом случае интервал S122 = c2(t2  t1)2 
веществен,
промежуток
времени
между
одноместными событиями равен t12 = S12/c.
Вещественные
интервалы
S12
называются
временеподобными. В этом случае события в одной
точке происходят в разные моменты времени.
Если интервал S12 – веществен, то между событиями
возможна причинная связь.
1. Событие, представленное точкой (t2,r2) является
будущим относительно точки (t1,r1) в том смысле,
что можно выбрать систему отсчета, в которой r2 =
r1 и t2 > t1.
2. В системе отсчета К события 1 и 2 одновременны,
т.е. t2 = t1, интервал S122 = –r122
– чисто мнимый.
Расстояние между событиями 1 и 2 в системе К равно
r12 = |S12|.
Чисто
мнимые
интервалы
называются
пространственно-подобными,
такой
интервал
получается всегда, когда все события относятся к
одному моменту времени.
Если S122 < 0, то можно выбрать систему отсчета К,
где t2 = t1 – события происходят одновременно, и они
пространственно разделены r2  r1, т.е. во второй точке
ничего нельзя сказать о событии в первой.
Случай
S12
=
0
соответствует
относительно систем отсчета К и К
света,
движению
со скоростью
события в этих системах одноместные и
одновременные.
Такие системы отсчета могут быть связаны только со
световым лучом.
Поэтому нулевые интервалы называют световыми.
Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г.
Лекция
Тема: СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Содержание лекции:
1. Лоренцево сокращение длины
2. Замедление времени
3. Оптический эффект Доплера
4. Парадокс близнецов
5. Взаимосвязь массы и энергии
1. Лоренцево сокращение длины
Измерим длину линейки, которая покоится
относительно штрихованной системы отсчета K.
Концы этой линейки закреплены в точках x1 и х2,
причем х2  х1 = l0.
Система К движется относительно системы
отсчета К со скоростью v.
Расстояние между двумя точками в системе К,
мимо
которых
концы
стержня
проходят
одновременно, обозначим l = x2 – x1, t2 = t1.
Для
определения
l
воспользуемся
преобразованиями Лоренца для координат,
где t1 = t2,
x2  x1  l0

x2  vt2   x1  vt1 


1  v2 / c2
x2  x1
1  v2 / c2

l
1  v2 / c2
.
Получаем длину стержня в системе отсчета К :
l  l0 1  v / c  l0
2
2
Длина движущегося стержня короче, чем
покоящегося. Это явление называется Лоренцовым
сокращением длины.
Если
метровая
линейка
движется
мимо
наблюдателя со скоростью, составляющей 0,6
скорости света, то наблюдателю ее длина будет
казаться равной
l  1  (0,6) (100 см)  0,64 (100 см)  80 см
2
2. Замедление времени
Введём понятие световых часов.
Световые
часы
представляют
собой
параллельных
зеркала,
расположенных
расстоянии L друг от друга (рис. 2,а).
два
на
Пусть  – время, за которое импульс света,
отразившись от нижнего зеркала, достигает
верхнего.
Часы «тикают» всякий раз, когда свет отражается
от зеркала.
Имеются две пары
вполне идентичных
часов А и В.
Частота их хода
синхронизована и
период «тиканья»  = L/c.
( рис. 2,а)
Рис. 2
Часы В движутся вправо со скоростью  (рис. 2, б).
Покоящему относительно часов A наблюдателю
путь светового луча от одного края часов В до
другого будет представляться более длинным, чем в
часах A.
Световой импульс в часах В
движется по
диагонали, а в соответствии с принципом
постоянства скорости света это движение
происходит с той же скоростью, что и движение
светового импульса в часах А.
С точки зрения наблюдателя А световому импульсу в
часах B понадобится больше времени, для того чтобы
достичь верхнего зеркала, чем световому импульсу в
часах А. (рис.2.б)
Обозначим этот (больший) промежуток времени через
Т; тогда длина диагонали равна сТ. Применяя теорему
Пифагора к чертежу на рис. 2. б, имеем
(cT)2 = (vT)2 + (c)2,
откуда получаем
где
T   / 1  v / c  
2
  1/ 1  v / c
2
2
2
Отсюда следует, что любой наблюдатель обнаружит
замедление хода движущихся часов в  раз по
сравнению с точно такими же, но находящимися в
покое часами.
Величина  называется собственным временем. Это
измеренный наблюдателем промежуток времени между
двумя событиями, которые наблюдатель видит в одной
и той же точке пространства.
Замедляют свой ход не только движущиеся часы, но и
все физические процессы (в том числе химические
реакции) замедляются при движении.
Жизнь включает комплекс химические реакций,
поэтому течение жизни при движении также
замедляется в соответствующее число раз.
Человек, любое живое существо или растение в
быстро движущемся космическом корабле не
почувствуют и вообще не заметят, находясь внутри
этого корабля, никакого замедления жизненного ритма.
Замедление физических процессов при движении
сказывается и на периоде полураспада радиоактивных
ядер.
Этот эффект наблюдался с точностью 10–4 на
радиоактивных ядрах, движущихся со скоростью,
близкой к световой.
Период полураспада таких ядер возрастает в  раз.
Пи-мезоны имеет период полураспада около 1,810–8 с.
Рассмотрим пи-мезоны, движущихся со скоростью
 = 0,99с.
Множитель  = 1 / 1  0,99 = 7,09. Период полураспада
пи-мезонов увеличивается в 7,09 раз; таким образом,
он станет равным t = 7,09(1,810–8 с) = 1210–8 с.
2
Замедление времени наблюдалось не
помощью микроскопических «часов»
нестабильных частиц.
только с
в виде
В 1960 г. это явление впервые наблюдалось с
использованием так называемых мессбауэровских
часов. Двое идентичных мессбауэровских часов
показывают одно и то же время с точностью до 1016.
Сдвиг по времени проявляется в увеличении скорости
счета фотонов, причем этот сдвиг может быть измерен
количественно.
В эксперименте по замедлению времени на
мессбауэровских часах вся установка быстро
вращалась и было обнаружено замедление в точности в
 раз по сравнению с абсолютно такими же
покоящимися мессбауэровскими часами.
3. Оптический эффект Доплера
Если наблюдатель движется к источнику звука, то
частота воспринимаемого им звука увеличивается,
а при удалении уменьшается.
Это
изменение
частоты,
обусловленное
движением, называется эффектом Доплера.
Примером служит гудок приближающегося
поезда. Аналогичное происходит и со световыми
волнами. Если источник движется к наблюдателю,
то частота света увеличивается (свет испытывает
«синее смещение»).
Звуковой эффект Доплера вычисляют, используя
классическую механику.
Для расчета оптического эффекта
требуется теория относительности.
Доплера
Согласно теории относительности частота света
', принимаемая наблюдателем, связана с частотой
света  источника следующим соотношением:
1 
  
1 
Если приемник удаляется от источника, то
' < .
Если приемник приближается к источнику, то
' > .
4. Парадокс близнецов
Рассмотрим близнецов А и В в ситуации,
изображенной на рис. 7.7.
Близнец
В
совершает
космическое
путешествие по замкнутому маршруту к звезде
Арктур и обратно со скоростью v = 0,99с.
Для наблюдателей на Земле расстояние до этой
звезды 40 световых лет.
Определим возраст каждого из близнецов, когда
В закончит свое путешествие и вернется обратно на
Землю, если до начала путешествия им было по 20
лет.
Рис. 7.7
Согласно измерениям А, путешествие займет на
1% больше времени, чем требуется свету для
преодоления расстояния до Арктура и обратно
(80,8 лет).
Поэтому возраст близнеца А к моменту
возвращения В составит 20 + 80,8 = 100,8 лет.
Близнец А считает, что часы на космическом
корабле идут в 1  0,99 2  0,141 раз медленнее, чем
на Земле.
Поэтому для В время космического путешествия
составит всего лишь 80,80,141 = 11,4 года, так что
к моменту окончания путешествия близнецу В
будет 20 + 11,4 = 31,4 года, и он окажется на 69,4
лет моложе близнеца, оставшегося на Земле.
Однако имеет место кажущийся парадокс.
Действительно, если движение и скорость в
самом деле относительны, то как вообще можно
прийти к несимметричному результату для А и В?
Разве из соображений симметрии не ясно, что оба
близнеца должны иметь один возраст в конце
путешествия?
На первый взгляд кажется, что теория Эйнштейна
приводит к противоречию.
Парадокс
устраняется,
если
заметить,
что
проблеме присуща внутренняя асимметрия.
Близнец на Земле всегда остается в одной и той
же инерциальной системе отсчета, тогда как
космонавт, поворачивая обратно к Земле, меняет ее.
На обратном пути к Земле вследствие «синего
смещения»,
связанного
с
эффектом
Доплера,
увеличение частоты оказывается сильнее эффекта
замедления времени.
И,
как
следствие,
время,
показанное
путешественниками будет одинаковыми.
5. Взаимосвязь массы и энергии
Взаимосвязь между массой и энергией
оценивалась А. Эйнштейном как самый
значительный вывод специальной теории
относительности.
По выражению А. Эйнштейна, масса должна
рассматриваться
как
«сосредоточение
колоссального количества энергии».
Масса в теории относительности
выбора
системы
отсчета
и
взаимодействия между частицами.
зависит от
характера
Определим энергию, содержащуюся в 1 г любого
вещества, и сравним ее с энергией, получаемыми
при сгорании 1 г угля, равной 2,9104 Дж.
Согласно уравнению Эйнштейна
E = mc2
имеем
E0 = (10–3 кг)(3108 м/с)2 = 91013 Дж.
Собственная энергия в 3,1109 раз превышает
химическую энергию.
Если высвобождается лишь одна тысячная доля
собственной энергии, то и это количество в
миллионы раз больше, чем могут дать обычные
источники энергии.
Первое
экспериментальное
правильности
соотношения
подтверждение
Эйнштейна
между
массой и энергией было получено при сравнении
энергии, высвобождающейся при радиоактивном
распаде, с разностью масс исходного ядра и
конечных продуктов.
Свободный нейтрон распадается на протон,
электрон и антинейтрино (с нулевой массой
покоя):
n  p + e– +  .
При
этом
суммарная
кинетическая
энергия
конечных продуктов равна 1,2510–13 Дж.
Масса покоя нейтрона превышает суммарную
массу протона и электрона на 13,910–31 кг.
Этому уменьшению массы должна соответствовать
энергия Е = (13,910–31)(3108)2 = 1,2510–13 Дж.
Она совпадает с наблюдаемой кинетической
энергией продуктов распада в пределах ошибок
эксперимента.
Другой пример
- аннигиляция электрона и
позитрона (позитрон – это
положительным зарядом (рис. 7.8).
электрон
с
При столкновении электрона и позитрона они
аннигилируют друг с другом и превращаются в два
фотона.
В этом случае энергия покоя 2mec2 полностью
переходит в энергию электромагнитного излучения
(me – масса покоя электрона).
Рис. 7.8. Аннигиляция электрона с позитроном
на два фотона
Важнейшим источником энергии Солнца и
большинства звезд является реакция термического
слияния протонов с образованием ядер гелия при
температурах  2·107 К.
Выделение энергии в расчете на один атом гелия
равно:
4mp + 2me – M(He4) = 50me,
где me – масса электрона.
Это эквивалентно энергии 25 МэВ.
В центре Солнца температура составляет 2·107 К.
Предполагается, что при этой температуре
преобладает следующая совокупность ядерных
процессов.
p + p  D + e + , D + p  He 32  + ,
2 + 2H.
2
2 +

He 4
He 3
He 3
Итоговый результат заключается в сгорании
водорода с образованием ядра He
Выделенная энергия равна 2,2108 квтч на
килограмм превращенного вещества.
В первой стадии выделяется нейтрино v 
нейтральная частица с очень высокой проникающей
способностью, которые практически все вылетают в
космическое пространство.
Они способны уносить
солнечной энергии.
Энергия и импульс
соотношением
до
10%
связаны
выделяемой
между
E2 = p2c2 + (mc2)2.
собой
Основные выводы:
Результаты релятивистской кинематики следуют
из двух основных постулатов:
1. Скорость света в вакууме постоянна во всех
инерциальных системах отсчета и не зависит от
скорости движения источника и наблюдателя.
2. Все инерциальные системы отсчета физически
эквивалентны.
Эти два постулата определяют преобразования
Лоренца, связывающие координаты х и t какоголибо события, измеренные одним наблюдателем, с
координатами того же события х' и t', измеренными
другим наблюдателем.
Оба наблюдателя имеют относительную скорость 
вдоль оси х.
Преобразования Лоренца записываются в виде
x 
x  vt
1 v / c
2
2
y  y
z  z
t 
t  vx / c 2
1 v / c
2
2
Из этих уравнений непосредственно следует, что
движущаяся линейка оказывается короче в
(лоренцево
сокращение),
1  v / с раз
движущиеся часы замедляются в 1/ 1  v 2 / с 2
2
2
раз (замедление времени).
а
Частота света ', принимаемая наблюдателем,
связана с частотой света  источника следующим
соотношением:
1 
  
1 
Если приемник удаляется от источника, то
величина  = v/с положительна и ' < .
Если приемник приближается к источнику, то 
отрицательная величина, a ' > .
Массе покоя соответствует энергия покоя E = mc2,
и в тех случаях, когда масса покоя уменьшается
(например,
при
электрон-позитронной
аннигиляции), энергия покоя преобразуется в
другие формы энергии, например в кинетическую.
Энергия и импульс
соотношением
2
E
=
2
2
pc
связаны
+
между
2
2
(mc ) .
собой
Лекция окончена
Нажмите клавишу <ESC> для выхода
Лекция окончена
Нажмите клавишу <ESC> для выхода