Тема 3. Взаимодействия заряженных частиц

Тема 3. Взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем.
Основные уравнения электроники СВЧ.
3.1.
Взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем слагается из двух
взаимосвязанных
процессов:
процесса
возбуждения
заряженными
частицами
электромагнитного поля и процесса движения частиц в электрическом и магнитном полях, как
сторонних, так и возбуждаемых самими частицами. Отсюда следует, что для описания этих
процессов необходимо использовать полевые уравнения и уравнения движения зарядов.
Полевые уравнения представляют собой уравнения Максвелла:

H
,
rot H  J ( r , t ) , rot E   0
t





 (r , t )
.
0

div H  0 , div E 
Уравнения движения – это уравнения Ньютона для отдельно взятого электрона

  

d (m vi )

 e E   0 [vi H ]  Fi , i =1, 2, 3, … N .
dt


Объемная плотность заряда равна сумме элементарных зарядов в единичном объеме


  e ( r  ri ) .
i
Конвекционный ток равен сумме элементарных конвекционных токов




J k   ji  ( r  ri )  e vi  ( r  ri )
i
vi 
i
dri
dt


 ( r  r )dv  1
i
ri  v
v
Плотность полного тока равна сумме конвекционного тока и тока смещения




J  J к  J см , J см   0

E
.
t
Между объемной плотностью конвекционного тока и объемной плотностью заряда
существует взаимосвязь. Для вывода ее применим операцию div к первому уравнению
Максвелла


E

divt H  div J  div( J к  J см )  div J к  div 0
 div J к   0 E ,
t
t







div E  , div H  0 ,
0

1

 0.
t

div J к 
Плотность конвекционного тока и заряда удовлетворяют уравнению непрерывности.
Полевые уравнения и уравнения движения электронов необходимо дополнить
начальными условиями для электронов и граничными условиями для поля. Задача состоит в
том, что бы найти решения этой системы уравнений Максвелла, которые называют
самосогласованными, поскольку описывают самосогласованные процессы движения зарядов в
сторонних и возбуждаемых ими электромагнитных полях. Это основная задача электроники
СВЧ.
Сформулированная система уравнений является полной и подробной. В ней учитывается
движение, взаимодействие и излучение всех электронов. Однако решить ее при
представляющем практический интерес большом числе электронов невозможно. Возникает
необходимость в разумном упрощении задачи с учетом особенностей взаимодействия в
конкретных приборах. Рассмотрим некоторые рекомендуемые способы упрощения.
1. При большом числе электронов можно применять вместо динамического статистическое
рассмотрение. Как и в кинетической теории газов, необходимо ввести функцию распределения,
удовлетворяющую кинетическому уравнению.


f (r , t , v) - функция распределения.

f
f
F f
v 
 s[ f ] .
t
m 
r
v

Это уравнение в кинетической теории газов называют уравнением Больцмана.
Выражение справа s[ f ] учитывает индивидуальное взаимодействие электронов при их
столкновениях. Однако в электронных приборах размеры приборов малы по сравнению с
длиной свободного пробега электронов. В этом случае s[ f ]  0 , и уравнение называют
уравнением Власова. Самосогласованная система уравнений состоит из уравнений
Максвелла и уравнений Власова:
   f
f  f
e 
 v    E  0 [ v B]   s[ f ]
t
m
v
r
Нетрудно связать функцию распределения с объемными плотностями токов и зарядов.

Число частиц, находящихся в данный момент времени в окрестности точки

скорости, близкие к
v , определяется выражением


r
и имеющих

dN  f (t , r , v) d r d v .
Поэтому плотность объемного заряда и тока можно определить выражениями


  eN  e  f (t , r , v) d v ,




J к  e v f (t , r , v) d v .
2
Уравнения Максвелла-Власова являются, как и уравнения Максвелла-Лоренца,
системой уравнений, для которой также не существует общих методов решения, а
используются приближенные методы. Ее необходимо использовать тогда, когда тепловой
начальный разброс скоростей оказывает существенное влияние на работу прибора. Однако
начальный разброс скоростей, как известно, не имеет значения, т.к. энергия, приобретаемая
электронами во внешнем электростатическом поле, во много раз больше их начальной
энергии, т.е. той энергии, которую они имеют при выходе из эмиттера. Этим разбросом
можно пренебречь и решать задачу в односкоростном приближении. В общем случае
скорость электрона имеет две составляющие: постоянную, одинаковую для всех электронов,
и переменную, в общем случае разную для разных электронов



vi  v0  v i ~ ,
если
v0  vi ~ ,
то можно приближенно считать


vi  v0 .
Скорость можно вынести за знак суммы и получить простую форму для
конвекционного тока








J к  e vi  ( r  ri )  e v0   ( r  ri )   v0 ,
i
i


J к   v0
.
При решении основных уравнений электроники СВЧ широко используется
одномерное приближение, в котором не учитывается изменение физических величин в
поперечном сечении электронного пучка. Применимо к тонким электронным пучкам.
Используется кинематическое приближение, в котором не учитывается действие
пространственного заряда электронов на их движение. Применимо к пучкам малой
плотности.
В электронике обычно рассматривают периодические процессы, для которых можно
положить



E  En e  int , H  H n e  int , J  J n e  int .
n
n
n
Вследствие нелинейности системы возбуждаются все гармоники. Упрощение
возможно благодаря тому, что только для одной гармоники выполняются условия
синхронизма, вследствие чего можно выделить и исследовать только резонансную часть
поля.
Все эти и другие приближенные методы решения в дальнейшем используются при
изучении работы приборов.



3.2.Энергетические особенности движения электронов в электромагнитном поле.
Рассмотрим уравнение движения электрона
3


 
d (m v)
 e E    vH   .
0 
dt

 

Умножим скалярно на скорость электрона v :
 

 
   
 d (m v)  

 v   e( E  v)     vH   v  .
0  
 dt






Смешанное векторное произведение равно нулю. Поэтому
 


 d ( m v)  

 v   e( E  v) .
 dt



Масса электрона равна
m
Для нерелятивистских электронов
m
0
2
v
1
c2
.
v
 1 , m  m , и выражение запишется в виде
0
c
  


m d v  v  
 dt




d  mv 2   e(
E

v) ,
dt  2 


dW




dy
Ê  e(
E  v)  e(u  v)  e  du dx  du  du dz  u  u  
t 
dt
 dx dt dy dt dz dt t


 e  du  u    d  eu   e u   d W  e u .
t 
t
t
dt
dt Ï
 dt
d W  W   e u

K 
t
dt  Ï
В статических полях
u  0 , W  W  const .
K
Ï
t
Энергия электрона не изменяется. Электрон не обменивается энергией с полем. Ускорение
или торможение электрона связано с изменением его потенциальной энергии.
В переменных полях
u  0 , W  W  const .
K
Ï
t
Электрон перестает быть консервативной системой, то есть он обменивается энергией с
СВЧ полем. Причем, если
u
 0 , то W K  W Ï
t
увеличивается. Рост энергии связан с
4
уменьшением потенциала поля. Ускорение электрона происходит за счет энергии поля. Эта
возможность реализована в ускорителях заряженных частиц.
3.3. Наведенный ток и отбор энергии от электронов в СВЧ приборах.
Понятие наведенного тока имеет важное значение в СВЧ электронике для объяснения
механизма отбора энергии от электронов. Рассмотрим простейшее преобразующее устройство в
виде вакуумного зазора с потоком электронов и внешней цепью. Вакуумный зазор- это
пространство между электродами, расположенными в стеклянном баллоне. Это может быть
пространство между катодом и анодом диода, сеткой и анодом триода, стенками тороидального
резонатора и т.д. Будем полагать, что от первой ко второй сетке движется тонкий слой
электронов, а внешняя цепь содержит только резистор. Схема имеет вид
-q
1
2

v
q1
0
q2
d
z
R
+
--
Введены здесь обозначения:
q1 – заряд слоя электронов,
d – ширина зазора.
Слой движется со скоростью v вдоль оси z.
Слой электронов наводит положительные заряды на сетках q1 и q2. По мере движения слоя
электронов заряд q1 уменьшается, q2 увеличивается, но в сумме должно сохраняться равенство
 q  q  q  0.
1
2
Указанные изменения сопровождаются движением зарядов во внешней цепи, иначе
говоря, при движении слоя в зазоре во внешней цепи протекает ток, который называют
наведенным. Ток протекает в направлении от первого ко второму электроду, и поэтому падение
напряжения на сопротивление порождает между электродами тормозящее электроны поле с
направленностью
E
U
i R
R Í .
d
d
Вследствие этого при перемещении электронов на расстояние z энергия их уменьшается
на величину
W  qEz .
1
За это время во внешней цепи будет выполнена работа по перемещению заряда q2, равная
W q U .
2
В соответствии с законом сохранения энергии
2 R
W W  0 .
1
2
5
Отсюда следует
i R
U
 qEz  qz Í  qz R  q U ,
2 R
d
d
q q z ,
2
d
z
q  q  q  q(1  ) .
1
2
d
Формула для наведенного тока получается дифференцированием
dq
q dz qv
i  2
 .
H
dt
d dt
t
Согласно полученной формуле, тонкослойный или точечный заряд, влетающий в
междуэлектродное пространство фиксированной протяженности, мгновенно вызывает во
внешней цепи ток, значение которого зависит только от скорости заряда. Этот ток протекает в
течение всего времени движения заряда между электродами и прекращается, когда заряд
достигнет плоскости противоположного электрода. При этом не имеет значения, осядет ли
заряд на этом электроде или пройдет сквозь него в случае сетчатой конструкции электрода 2.
Таким образом, длительность импульса наведенного тока τ будет равна времени пролета заряда
между электродами.
Эффективность механизма отбора определяется величиной наведенного тока и  :
W
.
Ý W
0
mv 2 mv 2
mv 2
W  W  W  0  K , W  0 .
0
K
0
2
2
2
v2
 1 K .
Ý
v2
0
Ý
 
3.4. Наведенный ток во внешней цепи зазора с электронным потоком.
Рассмотрим более общий случай, когда через зазор распространяется поток электронов.
6
1
2
-dq
ρ(x,t)
0
x
d
diH
Плотность зарядов в потоке определяется функцией
электронов с зарядом  dq и обозначим через di
H
di
Учтем, что
H

 ( x, t ) . Выделим тонкий слой
наведенный этим слоем ток. Он равен
dq  v
.
d
dq   ( x, t )dV   ( x, t )Sdx .
Получим
di
H

 ( x, t )  S  v  dx
d
Полный наведенный ток в данный момент равен
i ( x, t )dx
.
 K
d
1
i (t )   i ( x, t )dx
H
d K
усредненному по длине зазора значению конвекционного тока в тот же момент времени.
3.5.Полный ток в цепи преобразующего устройства.
Цепь преобразующего устройства включает зазор между двумя электродами с
модулированным потоком электронов и с подключенной к нему внешней цепью.
1
Э.п.
2
ρ(x,t)
0
x
d
Пучок электронов характеризуется объемной плотностью заряда
зазоре конвекционный ток плотности
 ( x, t ) и создает в
7
J ( x, t )   ( x , t ) v .
K
При распространении модулированного пучка в зазоре действует СВЧ поле. Поэтому
полная плотность потока равна сумме плотности конвекционного тока и тока смещения:

J  J ( x, t )  J
( x, t ) , J
K
ÑÌ
0
ÑÌ
Согласно первому уравнению Максвелла
Следовательно
E ( x, t )
.
t
 
rot H  J .


div(rot H )  0  div J .
В рассматриваемом случае здесь одномерном случае
 d

div J  J ( x, t )  i  0 ,
dx
d 
E ( x, t ) 
J
(
x
,
t
)


 0.
0 t 
dx  K
Отсюда следует, что плотность полного тока не зависит от пространственной координаты.
Несмотря на то, что токи смещения и конвекционные токи зависят от координаты и от времени,
полный ток зависит только от времени. Величина его равна плотности тока, умноженной на
площадь поперечного сечения пучка
i(t )  J (t )  s ,
i(t )  i ( x, t )  i
( x, t ) .
K
CM
Полный ток во внешней цепи можно определить путем усреднения полного тока в зазоре.
Для этого проинтегрируем полученное выражение по ширине зазора и разделим полученный
результат на ширину зазора:
1d
1d
s d
 i (t )dx   i K ( x, t )dx   0
 E ( x, t )dx .
d0
d0
d t 0
Второй интеграл в правой части равен разности потенциалов между электродами
d
u (t )   E ( x, t )dx ,
0
а выражение перед интегралом определяет емкость заряда
 s
C 0 .
d
Таким образом, полный ток во внешней цепи слагается из наведенного и емкостного
токов:
i (t )  i (t )  i (t ) ,
H
C
1d
i H (t )   i K ( x, t )dx ,
d0
8
u
iC (t )  C .
t
Полный ток в любом сечении преобразующего устройства в данный момент одинаков,
хотя его составляющие могут иметь разные значения в разных сечениях.
9