Итоги секции математики 11 классы 5- (заочный этап

Итоги секции математики
5-11 классы
(заочный этап
XVII турнира
им. М.В. Ломоносова)
Структура заданий
и их оценивание
Часть 1
Часть 2
Количество
заданий
Форма ответа
Оценивание
5
4 кода (1, 2, 3 и 4)
только один верный
Верный ответ – 1 балл;
неверный – 0 баллов
10
Свободный ответ
Целое число или
конечная десятичная дробь
без единиц измерения (!)
Верный ответ – 2 балла;
неверный – 0 баллов
Идеи решения некоторых задач
5 класс
5. В коробке лежат большие и маленькие
рубашки: на больших пришито по
7 пуговиц, а на маленьких – по 4. Вася
насчитал в общей сложности 10 рубашек
и всего на них 60 пуговиц. Каких рубашек
в коробке больше: больших или
маленьких?
1) больших
2) маленьких 3) поровну
4) Вася заведомо ошибся при подсчете
Решение. Краткая запись условия:
Б + М = 10
7Б + 4М = 60
Количество больших рубашек может
быть только четным числом: 2, 4, 6
или 8.
Можно сократить перебор до двух
вариантов (делимость на 4)
Вывод: правильный ответ 4) –
Вася ошибся
12. Одноклассники Вася и Петя живут в одном
доме, на каждой лестничной клетке которого
4 квартиры. Вася живет на пятом этаже, в
квартире 83, а Петя — на третьем этаже в
квартире 169. Сколько этажей в доме?
Решение. Сначала надо считать
площадки (на каждой по 4 квартиры).
Вася живет в квартире 83 – это 21-я площадка
и 5-й этаж;
Петя живет в квартире 169 – это 43-я площадка
и 3-й этаж.
21 – 5 = 16
43 – 3 = 40
Ответ. 8 этажей в доме.
6 класс
В
зоологическом
магазине
есть
17 волнистых попугайчиков. Надо разместить
их по клеткам, так, чтобы ни в каких двух из них
не оказалось одинакового количества попугаев.
Какое наибольшее число клеток можно занять
таким образом?
11.
Основная идея:
построить оценку и
придумать пример.
1) Чтобы занять как можно больше
клеток, количество попугаев в клетке
должно быть как можно меньше.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 > 17
2) Пример для пяти клеток:
1 + 2 + 3 + 4 + 7 = 17
Ответ. 5
15. На клетчатой бумаге нарисован
квадрат с размерами 101 × 101 клетки. Из
левого верхнего угла вырезали клеточку, а
затем стали вырезать каждую пятую клетку
(см. рис.). Так сделали с каждой стороной
квадрата. Найдите периметр получившейся
фигуры. (За единицу измерения примите
сторону клетки.)
Два важных вопроса
для поиска решения:
1) Как меняют периметр вырезанные
квадраты?
2) Сколько всего квадратов вырезали?
101  4 + 19  2  4 = (101 + 38)  4 =
139  4 = (150 – 11)  4 = 600 – 44 = 556
Ответ. 556.
7 класс
4.
В июне число солнечных дней
составило 25% от количества пасмурных,
количество тёплых – 20% от количества
холодных. Только три дня были и
солнечными, и тёплыми. Сколько было и
пасмурных и холодных дней? (Всего в
июне 30 дней.)
1) 27
2) 22
3) 19
4) 17
Солнечные дни составляют четверть от
пасмурных дней, т.е. солнечных – 6 дней,
пасмурных – 24 дня.
Теплые дни составляют пятую долю от
холодных дней, т.е. теплых – 5 дней,
холодных – 25 дней.
Солнечных – 6, теплых – 5, причем 3 дня
солнечные и теплые, значит, теплых и при этом
пасмурных было только 2 дня.
Всего пасмурных 24, тогда 22 пасмурных и
холодных.
Ответ. 22 дня (код 2)
Три дюжины лимонов стоят
столько рублей, сколько дают
лимонов на 16 рублей. Сколько
рублей стоит дюжина лимонов?
(Одна дюжина – это 12.)
6.
Основная идея решения – пропорция.
36 лимонов – х рублей
х лимонов – 16 рублей
2
х = 36  16  х = 6  4 = 24
Ответ. 8.
8 класс
4. Малыш и Карлсон съели 75% всего
запаса варенья, причем на долю Малыша
пришлось 4% съеденного варенья.
Сколько процентов от общего запаса
варенья съел Карлсон?
1) 74%
2) 73%
3) 72%
4) 71%?
Главный вопрос при работе с
процентами: что считать целым
(от чего считаются проценты)?
Съедено 75% всего варенья, т.е.
Малыш съел 4% от этого, т.е.
3
4
3
0,04  = 0,03, т.е. 3% от всего варенья.
4
Значит, Карлсон съел 72 % от общего
запаса (75 – 3 = 72).
Ответ. 72% (код 3)
9. Таракан Валентин объявил, что умеет
бегать со скоростью 65 м/мин. Ему не
поверили, и правильно: на самом деле
Валентин все перепутал и думал, что в
метре 60 сантиметров, а в минуте 100
секунд. Расстояние Валентин измерял в
сантиметрах,
причем
сделал
это
правильно, а время – в секундах, и тоже
при этом не ошибся. С какой скоростью
(в «нормальных» м/мин) бегает таракан
Валентин?
Решение.
65 " метров "
65"м/ мин" 

1" минута "
65  60 см 390 см 390  6 см




100 сек
10 сек
60 сек
2340 см

 23,4 м / мин
1 мин
Ответ. 23,4 м/мин.
9 класс
6. Найдите значение выражения:




2
2

1

2
1
49
x
 14 x  1




 2 1

7x 1
2


если х = 0,125.
Решение «методом
всматривания».
пристального
Ответ. -3.
11. Имеется желоб, по которому в обе стороны
могут
кататься
одинаковые
шарики
с
фиксированной скоростью. Если два шарика
соударяются,
каждый
из
них
меняет
направление
своего
движения
на
противоположное. С одного конца желоба
двигаются пять шариков на равных расстояниях
друг от друга, с другого конца – семь шариков
(тоже на равных расстояниях друг от друга).
Сколько всего будет соударений?
Оригинальная идея: после столкновения
шарики не меняют направления своего
движения, а как бы, пройдя через друг
друга, продолжают движение в заданном
направлении.
Количество соударений, это количество
парных встреч, т.е. 5  7 = 35.
Ответ. 35.
10 класс
2. Водитель проехал первые 40% пути со
скоростью, на 20% меньшей запланированной. На сколько процентов он должен
увеличить свою фактическую скорость на
оставшемся участке пути, чтобы в итоге
весь путь был пройден на 2% быстрее, чем
планировалось?
1) 25%
3) 45,75%
2) 37,5%
4) 56,25%
Удобно обозначить два участка пути как 2S и 3S,
а планируемую скорость v.
Тогда планируемое время в пути – 5S/v.
Скорость на первом участке пути – 0,8v;
а на втором участке – х  0,8v ( х – коэффициент,
соответствующий проценту увеличения
фактической скорости).
Уравнение:
5S
2S
3S
0,98 


v 0,8v x  0,8v
49  5 10 15
 
50
4 4х
2 х  3 49
75

 х
2х
25
48
25
9
1
0,1250
 1  1,5   1,5 
 1,5625
16
16
16
2
Ответ. 56,25% (код 4).
12. Последовательность чисел
1, 8, 22, 43, …
обладает
тем
свойством,
что
разности двух соседних членов
(последующего
и
предыдущего)
образуют
арифметическую
прогрессию. Найдите номер члена
последовательности, равного 35 351.
а1 = 1
а2 = 8 = а1 + 7
а3 = 22 = 8 + 14 = а2 + 7  2 = а1 + 7(1 + 2)
а4 = 43 =22 + 21 = а3 + 7  3 = а1 + 7(1 + 2 + 3)
…
аn = а1 + 7(1 + 2 + 3 + … + (n-1))
(n  1)n
1  2  ...  (n  1) 
2
(n  1)n
35351  1  7 
2
(n  1) n  5050  2
(n  1) n  5 10 101  2
(n  1) n  100 101
Ответ. 101.
11 класс
2. Какое максимальное число квадратов можно
сделать из двенадцати одинаковых спичек?
Спички при этом не должны пересекать друг на
друга.
1) 7
3) 5
2) 6
4) 4
Решение.
Ключевая идея: выйти из плоскости (куб).
Ответ. 6 квадратов (код 2).
15. Решите уравнение
tg3 arcsin x  1 .
2 nm ,
В ответе укажите значение
где где n – количество решений уравнения, а
m – минимальное среди них.
Решение.
3arcsin x 

4
  k, k  Z
3 
3

 k 
2
4
2
k = -1; 0 или 1.
Таким образом, количество решений: n = 3.
Функция у = 3arcsinx является возрастающей,
значит, наименьшее значение x соответствует
условию k = -1, т.е.
3
3arcsin x  
4
Тогда
2
 х
m
2

2
2  n  m  2  3  
  3
 2 
Ответ. -3.
Благодарю за внимание!
Желаю успехов Вам и Вашим
ученикам!