Числовые последовательности (2)x

9кл. Тема: «Определение числовой последовательности»
Цели уроков:





Формирование представления о числовой последовательности как функции с
натуральным аргументом.
Формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений
находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений
находить саму формулу, задающую последовательность.
Развитие умений применять ранее изученный материал.
Развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.
Привитие санитарно-гигиенических навыков, пропаганда здорового образа жизни.
Ход уроков
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Организационный момент.
Повторение видов функций.
Подготовка к восприятию новых знаний.
Изучение нового материала.
Закрепление.
Знаменитые последовательности.
Дополнительные задачи.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.
Оборудование и материалы.



Мультимедийный проектор.
Экран.
Презентация.
I.
Организационный момент
II.
Актуализация знаний учащихся
1.Теоретический опрос (работа с классом)




что такое функция?
дать определение области определения функции, области значения функции
каковы способы задания функции?
приведите примеры известных вам функций, назовите их области
определения (слайды 2-3)
2.Индивидуальная работа у доски по карточкам




III.
построить график функции у=6/х, х𝝐(0;∞)
построить график функции у=6/х, х𝝐(0;𝟏𝟐]
построить график функции у=6/х.
построить график функции у=6/х, х𝝐N
Изучение нового материала
(Чертежи на доске) Вопросы для обсуждения выполненных чертежей:
 Чем отличаются выполненные графики функций?
 Назовите область определения каждой функции
 Область определения четвертой функции множество N. Как это повлияло на
график?
Вывод: если область определения функции N, то график функции состоит из
отдельных точек, и такие функции называют функцией натурального аргумента.
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием " числовая последовательность", узнаем,
какие могут быть последовательности, познакомимся со знаменитыми
последовательностями.
Последовательность - одно из самых основных понятий математики. Последовательность
может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.
Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка
родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост
именинника. Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три,
пять, два: Такова последовательность приростов от года к году. Но есть и другая
последовательность, и именно её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это последовательность значений роста. Слайд презентации.
Две последовательности связаны друг с другом.
Вторая получается из первой сложением.
Рост - это сумма приростов за все предыдущие годы.
Рассмотрим ещё несколько задач.
Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет
на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?
(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).
Это примеры функций, заданных на множестве натуральных чисел-числовые
последовательности.
Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.
Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются
последовательности.
Изучение нового материала.
Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве
натуральных чисел (слайд: последовательности составляют такие элементы природы,
которые можно пронумеровать).
Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения
о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в
древности:
1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;
1, 3, 5, 7, 9, : - последовательность нечетных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов натуральных чисел;
2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;
1,
,
,
, :- последовательность чисел, обратных натуральным.
Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей монотонно возрастающие, последняя - монотонно убывающая.
Обозначение: у1, у2, у3, у4, у5,:
1, 2, 3, 4, 5, :п,:-порядковый номер члена последовательности.
(уп)- последовательность, уп- п-ый член последовательности.
(ап)- последовательность, ап - п-ый член последовательности.
ап-1 -предыдущий член последовательности,
ап+1 - последующий член последовательности.
№ 15.1; № 15.2 (устно)
Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие.
Задание. Записать первые 5 членов последовательности:
От первого натурального числа увеличение на 3.
От 10 увеличение в 2 раза и уменьшение на 1.
От числа 6 чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза.
Эти числовые ряды тоже называются числовыми последовательностями.
5. Знаменитые последовательности:
Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …
в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по
имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)
Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности
Треугольник Паскаля. Если очертить треугольник Паскаля, то получится
равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы.
Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник
можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси
1. Способы задания последовательностей:
Словесный - способ задания числовой последовательности состоит в том, что
объясняется, из каких элементов строится последовательность. .
Аналитический -последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го
члена: yn = f(n).
Пример. yn = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается
правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее
предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова
recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую
выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена
последовательности.
Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
2. Закрепление.
сп =
. Запишите первые 5 членов последовательности.
(По одному человеку решают у доски, остальные - в тетради).
: 74, 81, 88, 95, 102, : Задайте формулу п-ого члена.
(уп = уп-1 + 7).
№15.5; № 15.11
3. Дополнительные задачи.
Запишите первые пять членов последовательности, заданной таким описанием: каждый
член последовательности на 1 больше соответствующего члена ряда Фибоначчи.
Запишите первые пять членов последовательности, заданной формулой ап = (-3)п-1.
Запишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:
а1 = 4, ап+1 = ап + 2.
Домашнее задание. №15.12(б), №15.4(в), читать стр136-145
Подведение итогов урока.
Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы её задания. Ответьте на
вопросы:
1.
2.
3.
4.
Что такое последовательность?
Какие виды последовательностей вы узнали?
Какие способы задания вы узнали?
О каких ученых и их трудах вы узнали?
Литература.
1.
2.
3.
4.
О.В. Занина , И.Н. Данкова. Поурочные разработки по алгебре. 9 класс.
Л.А. Тапилина, Т.Л. Афанасьева. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы.
Энциклопедический словарь юного математика.
А.Г.Мордкович. Алгебра в 2-ух частях