Тема: Векторное и смешанное произведение векторов
advertisement
Тема: Векторное и смешанное произведение векторов Французский математик и философ 1596-1650 Французский юрист и математик 1601-1665 Немецкий физик и математик 1777-1855 Великий русский математик (1792-1856) Типы величин длина скалярные перемещение скорость сила ускорение и т.д. масса температура плотность и т.д. векторные Векторная величина определяется числовым значением и направлением Геометрической абстракцией векторной величины есть вектор – направленный отрезок прямой. Чтобы задать вектор необходимо указать направление длину Действия с векторами Сложение векторов Определение: Суммой векторов называется вектор, замыкающий ломаную, построенную из данных векторов таким образом, что конец предыдущего вектора является началом последующего а2 а1 а3 а4 Пусть на плоскости задана прямоугольная Пусть точка А имеет у (декартова) система координат координаты (х1,у1), у2 В (х2,у2) у1 а точка В имеет координаты (х2,у2) тогда вектор АВ имеет координаты А (х1,у1) О х1 х2 х а его длина вычисляется по формуле Скалярное произведение векторов a b a b cosa, b а b Из скалярного произведения a b cos a, bмежду находят угол векторами ab Если вектора заданы своими координатами а =(х1,у1,z1) a b x x 1 2 cos a, b b =(х2,у2,z2) тогда y1 y 2 z1 z 2 x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 x12 y12 z12 x22 y 22 z 22 Скалярное произведение векторов в теоретической механике Работа А силы F , произведенная этой силой при перемещении тела на пути s , определяемом вектором s, вычисляется по формуле A F s F s cosF , s Три вектора а,b,c, будем называть упорядоченной Определение. Тройка тройкой, если указан порядок следования некомпланарных векторов a, b, c с называется правой (левой), если после b а приведения к общему правая началу, кратчайший поворот от а к b из с точек вектора с кажется совершающимся а против часовой стрелки b левая (по часовой стрелке). Определение. Вектор c называется векторным произведением векторов а и b, если: |c| = |a| |b| sinφ, c где φ – угол между а и b. a, c b тройка векторов abc правая. Теорема. /геометрический смысл векторного произведения/ Длина векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ Пусть вектора заданы своими координатами а=(х1,у1,z1) тогда координаты векторного произведения вычисляются по b =(х2,у2,z2) формуле y1 c y 2 z1 z1 , z2 z2 x1 x1 , x2 x2 y1 y2 Векторное произведение векторов в теоретической механике С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий момент М силы F, приложенной к точке В тела, закрепленного в точке А: M AB F Смешанное произведение векторов Определение Пусть даны три вектора a, b, c. Если вектор a векторно умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор скалярно умножить на вектор с, то в результате получается число, которое называется смешанным произведением векторов a, b, c Обозначение a, b c Теорема (геометрический смысл смешанного произведения) Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c Замечание Если три вектора лежат в одной плоскости, то их смешанное произведение равно нулю СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ Если три вектора определены своими декартовыми координатами а=(х1,у1,z1) b =(х2,у2,z2) c =(х2,у2,z2) то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов x1 a , b c x2 y1 y2 z1 z2 x3 y3 z3 ЗАДАЧА № 1 Даны координаты вершин пирамиды A1 1;1;6, A2 4;5;2, A3 1;3;0, A4 6;1;5 Методами векторной алгебры определить Угол между ребрами А1А2 и А1А4 Площадь грани А1А2А3 Объем пирамиды А1 А4 А2 А3 ЗАДАЧА № 2 Вычислить координаты вращающего момента М силы F(3,2,1), приложенной к точке А (-1,2,4), относительно начала координат О ЗАДАЧА № 3 Вычислить работу равнодействующей F сил F1=(3,-4,5), F2=(2,1,-4), F3=(-1,6,2), приложенных к материальной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из точки М1(4,2,-3) в точку М2(7,4,1)
