03.02.2010 - Мастер-класс "Методические подходы к решению

Методические подходы
к решению задач группы С
при подготовке к ЕГЭ 2010
Решение задач С - 1
Решение задач С -1
При х = 3,
Решение задач С - 1
Решить систему уравнений.
Замена
9sin y
= t,
1
9
 t  9, т. к. - 1  sin y  1
t2 - 30 t + 81 = 0
t1 = 27 не подходит
t2 = 3
x0
- 2 cos y  0, cos y  0
y=

+ 2n, но
6
cos y > 0

Решение задач С - 1
Решить систему уравнений.
2
x+y=
x=
2
3
2
sin (
3
2
3
3
+ 2n, n  Z
1 способ
или
- y) + sin y =
3
2
3
y-
3

3
3
2
3
sin y =
3
3
)=1
= 2k
y+



3
+ 2n, n Z
- y) + sin y =
2
3
3
sin y -
cos (y +
3
- y + 2n
sin y - sin (
2

2
sin ( -
cos y +
cos (y -
x+y=-
x=-
+ 2n - y
2
2

3
+ y) =
cos y =
3
3
3
x=)=-1
=
2
4
3
+ 2r =
6
+ 2r,
3
3
r=n-k
=  + 2k


Решить систему уравнений.
2 способ
cos x cos y - sin x sin y = -
1
2
1 - cos2 x + 1 - cos2 y + 1 + 2 cos x cos y = 3
cos2x - 2 cos x cos y + cos2 y = 0
(cos x - cos y)2 = 0
cos x = cos y
x=y
x =  y + 2n, n  Z


не верно
sin (y + 2n) + sin y =
2 sin y = 3
3
sin y =
2
3
sin ( - y + 2n) + sin y =
не имеет решений


3
Решение задач С - 3
Теорема: Для любого действительного числа
а > 0, а = 1 неравенство
 f  x   0,

log a f  x   log a g  x    g  x   0,

 a  1  f  x   g  x    0
Следствие: Разность логарифмов по одному и
тому же основанию loga f  x   loga g  x  всегда
имеет тот же знак, что и произведение
 а 1  f  x   g  x 
при всех допустимых значениях переменных.
Решение задач С - 3
Пример№1: Решить неравенство:
Решение:
log 1  5 x  1  2
2
5 х  1  0,

log 1  5 x  1  log 1 4   1 
2
2
 2  1  5 x  1  4   0;


1

х  ,
5

 x  1.
Ответ:
1
 x  1.
5
Решение задач С - 3
Пример №2: Решить неравенство:
log 2  2 х 2  13 x  20   1
log 3  x  7 
Решение:
log 2  2 х 2  13 x  20   log 2 2
log 3  x  7 
0
0
Записав условия существования каждого из выражений,
заменим их рациональными выражениями, имеющими те
же промежутки знакопостоянства:
Решение задач С - 3
Решение:
log 2  2 х 2  13 x  20   log 2 2
log 3  x  7 

 2
2 х  13 х  20  0,

 х  7  0,

2
  2  1  2 х  13 х  20  2   0;

 3  1 x  7  1

Ответ:
0


5

2  х  4   х    0,
2



 х  7,

9
 2  x  2   x  
2


 0.

x6
7  x  6, 2  x  2,5, 4  x  4,5.
Решение задач С - 3
Теорема: Для любого действительного числа
а > 0, а = 1 неравенство
log a х 
а  х   0,

а  х   1,

f  x   log a х  g  x    f  x   0,

 g  x   0,
 a  x   1  f  x   g  x    0

Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же
log a х  f  x   log a х  g  всегда
x
основанию
имеет тот же
знак, что и произведение
а х 1 f x  g x
при всех допустимых значениях переменных.
     
 
Решение задач С - 3
Пример №3: Решить неравенство:
log х  2  х 2  8 x  15   0
Решение:
Записав условия существования логарифма, заменим его
произведением рациональных выражений, имеющих те
же промежутки знакопостоянства:
 х  2,
 х  2  0,
 х  3,
 х  2  1,


 х 2  8 х  15  0,
 х  5  х  3  0,


2
 х  2  1  х  8 х  15  1  0; 
х  3 х  4  2 х  4  2  0;


 
Ответ: 4 - √2 < x < 3, x > 5.
 

Решение задач С - 3
Пример №4: Решить неравенство:
log 2 х  5 x  1  log 3 х  7 х  1
log 1 11x   log 1 15 x  2 
2
0
2
Решение: 2
2 х  0,
Записав условия
существования каждого из 2 х  1,
выражений, заменим их
5 х  1  0,

рациональными
3 x  0,

выражениями, имеющими
3 x  1,
те же промежутки

знакопостоянства:
7 x  1  0,
11x  0

  2 х  1 5 х  2  3 x  1 7 x  2 
 0;

1 
2


1
11
x

15
x
 2



2 
Решение задач С - 3
2 х  0,
2 х  1,

5 х  1  0,

3 x  0,
3 x  1,

7 x  1  0,
11x  0

  2 х  1 5 х  2  3 x  1 7 x  2 
 0;

1 
2


1
11
x

15
x
 2




2 
1
2
1
x , x .
Ответ:
5
7
2
1

х

,

5

х  1 ,

2

x  1 ,

3

  2 х  1 5 х  2  3 x  1 7 x  2   0;

1 
2

15
х

x





3
5




Решение задач С - 3
Пример №5: Решить неравенство:
log3 х  4 x  1  log 4 х  2 х  1
0
х
2 4
Решение:

Записав условия

существования каждого из 3 х  0,
выражений, заменим их
3 х  1,

рациональными
4 х  1  0,
выражениями, имеющими 
4 x  0,
те же промежутки
4 x  1,
знакопостоянства:

2 x  1  0,

  3 х  1 4 х  2  4 x  1 2 x  2   0;

 2  1 х  2 
Решение задач С - 3


3 х  0,
3 х  1,

4 х  1  0,

4 x  0,
4 x  1,

2 x  1  0,

  3 х  1 4 х  2  4 x  1 2 x  2   0;

 2  1 х  2 
Ответ:
1  x  2.
1

 х  2 ,

  3х  1 4 х  2  4 x  1 2 x  2   0;

x2