Презентация MS PowerPoint (10МБ)

1
В.В.Белецкий, А.В.Родников
Об устойчивости
треугольных точек либрации
в обобщенной ограниченной круговой
задаче трёх тел
2
I. Постановка задачи
Безразмерные параметры
m2

,
m1  m2

1

2
f m1  m2 

2l 3
, 0    
Безразмерные переменные и время
x  l ,
y  l ,
Классическая задача:
z  l; dt  d

  1;  
2
II. Треугольные точки либрации
1  2
3
Координаты
1  2

0
2 sin 
2


1

4

1


cos

3
  
4 sin 2 
2
0
Условия существования

23
1
sin   1    cos  
4
2
2
Частные случаи
1

 ; 
2
2
1
 
8
1  2
II. Треугольные точки либрации
4
Альтернативные параметры

2 3
l 
 23
23
f m1  m2 
2
43
m1m2
1   
2
m1 m2 
u  cos 2
1
0  u  1 0  1     4
Условия существования
1 u
1
 1   u   0

4
Частные случаи
1

1     ;    0    4
4
2
III. Уравнения в вариациях
  2  a  b  c  0


  2  b  d 
0


 c
 f   0
Коэффициенты a,b,c,d,e,f имеют значения


a  3  2  1   sin 2  , b  3,
3
2
c  1   sin 2, d  3 ,
2
2
f  1  31    cos 
5
IV. Характеристическое уравнение
6

1
0
0
0
0
a 
b
2
c
0
0
0 
1
0
0  D   0
b 2
d 
0
0
0
0
0
0 
1
c
0
0
0  f 
D     2  A2   A0  0
6
A2  1  91   1  u  
9 2
  1   
4
4
2
1 u
1
A0  9 1   
 1   u  
4
 
2
Выражение, стоящее в скобках, совпадает с левой частью
условия существования треугольных точек либрации
V. Некоторые общие замечания
7
Корни характеристического уравнения однозначно определяются корнями кубического уравнения
x 3  2 x 2  A2 x  A0  0
(*)
причем справедливы следующие замечания:
Замечание 1.Если уравнение (*) имеет хотя бы один комплексный корень (т.е. корень с ненулевой мнимой частью, характеристическое уравнение имеет корень с положительной действительной
частью, что гарантирует неустойчивость рассматриваемой точки
либрации.
Замечание 2.Если уравнение (*) имеет положительный действительный корень, то и характеристическое уравнение имеет положительный действительный корень, что гарантирует неустойчивость
рассматриваемой точки либрации.
Замечание 3.Если уравнение (*) имеет три различных действительных отрицательных корня, характеристическое уравнение имеет три различные пары чисто мнимых корней и рассматриваемая
точка либрации устойчива в первом приближении.
VI. О решении уравнения третьей степени
Для решения алгебраического уравнения третьей степени нужно
сначала заменой переменных привести это уравнение к виду
(**)
y 3  3Py  2Q  0
Затем вычислить дискриминант
D  Q 2  P3
Уравнение (*) имеет три различных действительных корня, если
D0
Для этого необходимо (но не достаточно) выполнение условия
P0
В нашем случае после замены y  x  2 3
3 A2  4
P
9
получим
8
VII. ”Необходимое условие” устойчивости
9
Заметим также, что для того, чтобы все корни уравнения (*) были
действительными и неположительными необходимо, чтобы все
точки экстремумов функции, стоящей
левой части (**)
располагались левее точки y  2 3 что гарантируется выполнением
условия
P  4 9
Таким образом, для того, чтобы (*) имело три различных
действительных корня необходимо (но не достаточно) выполнение
условий
1 u 1  1
1
4
2
   1   
  
0  A2 
9
4  27
3
 
Невыполнение этого условия гарантирует неустойчивость
Полученное условие не противоречит условию устойчивости в
классической задаче, т. к. в случае   1 u  0 получим
1 4
1    

27 3
VII. ”Необходимое условие” устойчивости
B0,0
Область допустимых
значений А2,А0
неуст
D1,0
??
E 8;0
неуст
2
кривая EF  A0 
27

3 4  A2 
прямая DF  A0  A2  1
4
прямая JH  A2 
3
4 8 
C , 
 3 27 
32
 9 A2

 4 1
H ; 
 3 3
 13 9 
F ; 
 4 4
 16 3 
  0, 1.0264
K  0,

27


 4 32 2  72   4



J ;
  ,1.44759 

81

3
 3
10
VII. ”Необходимое условие” устойчивости
11
кривая ABC  A2  4 3
Область ABC существует, если
Неуст.
92 3
u
9
кривая DE  A2  0
неуст Область DE существует, если
u 1 9
???
кривая GEF  A0  0,
2
1

A 2  2u 
81u 2  162u  69 ; 
9
4



1

B 2  2u;
2 
27(1  u ) 

2
1
2
1


2
C  2  2u 
81u 2  162u  69 ;  D 2  2u 
9u  18u  13; 
9
4
3
4




4
1
1
 F  4;  G4  4u;0
E 4  4u 
u;
3
4 u 3  3u  u 
 4



q  1  
VII. ”Необходимое условие” устойчивости
12
кривая ABC  A2  4 3
Неуст. Область ABC существует, если
Неуст.
Неуст.
92 3
u
9
кривая DE  A2  0
неуст Область DE существует, если
u 1 9
???
кривая GEF  A0  0,
2
1

A 2  2u 
81u 2  162u  69 ; 
9
4



1

B 2  2u;
2 
q   1   27(1  u ) 


Неуст.
2
1
2
1


2
C  2  2u 
81u 2  162u  69 ;  D 2  2u 
9u  18u  13; 
9
4
3
4


Неуст.


4
1
1
 F  4;  G4  4u;0
E 4  4u 
u;
3
4 u 3  3u  u 
 4



VIII. Полные условия устойчивости в
линейном приближении
Утверждение. Если кубическое уравнение имеет только
действительные корни, то для отрицательности этих корней
необходимо и достаточно чтобы все коэффициенты уравнения были
положительны.
Для доказательства утверждения сформулируем теорему Виета
для кубического уравнения: если числа x1 , x 2 , x3 являются корнями
x 3  ax 2  bx  c  0 ,
уравнения
то
справедливы
формулы
x1  x 2  x3   a ,
x1 x 2  x 2 x3  x1 x3  b ,
x1 x 2 x3   c
Заметим сразу, что если x1  0, x 2  0, x3  0 , то в силу теоремы
a  0; b  0; c  0 .
Виета
Для
доказательства
обратного
предположим, что коэффициенты a, b, c положительны но не все из
x1 , x 2 , x3
отрицательны, тогда из (15) следует, что два корня –
положительны, а один – отрицательный. Пусть для определенности
x1  0, x 2  0, x3  0
. Тогда из (13) и (14) следует, что
xx
2
2
x1  x2   x3  1 2 , откуда x1  x2  x1 x2  0 , что неверно.
x x
13
14
VIII. Полные условия устойчивости в
линейном приближении
Условия устойчивости
Условия неустойчивости
D  0; A2  0; A0  0
D  0 или
A2  0
Замечание 1.Последнее из условий устойчивости фактически совпадает с условием
существования треугольных точек либрации, за исключением пограничной ситуации А2=0.
Замечание 2.Оставшиеся пограничные ситуации требуют дополнительного исследования.
Условия устойчивости в явном виде


3
27qu  27 2 q 2 27 2 q90q1 u 2 
4
3
56
3

2
  27q3198 2 q360q  2 u 4 9 2 q36q1  0
16 
9
 64
3

1

u
1
9q
4
1 u
1
 qu 

4
q  1  

IX.Область устойчивости в параметрах А2,А0.
15
Условия устойчивости
D  0; A2  0; A0  0
Неуст.
2
Уст.
Неуст.




2
32
кривая BC  A0 
9A2 84 3A2 
27
2
32
кривая CD  A0 
9A2 84 3A2 
27
B0,0
 8 A A   3A  4 
D   2  0   2

2   9 
 27 3
4 8 
C , 
 3 27 
D1,0
3




2

32


A

9
A

8

4

3
A
2
 0 27 2
D0
 A  2 9A 84 3A 3 2
2
 0 27 2
Замечание 1. Координаты точки С
подтверждают
“необходимое
условие” устойчивости.
Замечание 2. Задача еще не решена,
т.к. значения А2 и А0 не могут быть
выбраны произвольно
IX.Область устойчивости в параметрах А2,А0.
Условия устойчивости
D  0; A2  0; A0  0
Область допустимых
значений А2,А0
B0,0
Уст.
4 8 
C , 
 3 27 
Неуст.
кривая EF  A0 
2
27

3 4  A2 
32
 9 A2

D1,0
E 8;0
прямая DF  A0  A2  1
Такие диаграммы наглядны, но неудобны, так как
каждой точке на них соответствует, вообще говоря,
континуальный набор значений параметров задачи
 13 9 
F ; 
 4 4
5 1
G ; 
4 4
16
IX.Область устойчивости в параметрах А2,А0.
17
Условия устойчивости
Неуст.
D  0; A2  0; A0  0
B0,0
Уст.
4 8 
C , 
 3 27 
Неуст.
5 1
G ; 
4 4




2
32
кривая BC  A0 
9A2 84 3A2 
27
кривая CD  A0 
2
32
9A2 84 3A2 
27
прямая DG  A0  A2  1
Уст.
D1,0
IX.Область устойчивости в параметрах А2,А0.
18
Условия устойчивости
В качестве проверки рассмотрим классический
случай, т.е. положим u  0 и   1 . Тогда
D  0; A2  0; A0  0
27 допустимых
27
1






AОбласть

1


1


;
A


1


;
0


1



2
0
4 А2,А0
4
4
значений
 13 9 
.
F ; 
Нетрудно видеть, что в этом случае A0  A24 14, 
Неуст.


E мы
 8;0находимся
т.е.
B 0,0 на прямой DF, а именно,
8 
 4 на
C
,

отрезке, соединяющем D с точкой
с 
 3 27 
 43 27 
5 1
координатами  ;  . Этому отрезку
G
 ; 
 16 16 
4 4
принадлежит и точка G, которой соответствует

Уст.
2 3
32
1
1


D 1,0


кривая
EF

A

4

A

9
A
0
2
2


1    

1



. Тогда
при
имеет
3  27

27
27
1
прямая
DF

A

A

1
0
место устойчивость,
а 2 при 1    
27
Такие диаграммы наглядны, но неудобны, так как
неустойчивость.
Полное
соответствие
каждой точке на них соответствует, вообще говоря,
классике.
континуальный набор значений параметров задачи
 
 
X. Плоская обобщенная задача u  0     2
19
Условие существования
треугольных точек
либрации 0    4
4
1

A 2 
2; 
3
4

4
1

D 2 
2; 
3
4

Характеристическое уравнение
 4 2 9
 1   4 q4 0


2
Неуст.
Уст.
Классическая C  2; 1  B1; 1 

 

36
задача

  27 
Условие устойчивости
1
q
94  
Замечание 1.Этой диаграмме в плоскости параметров (А2,А0) соответствует отрезок прямой А0=А21, заключенный между точками D и F.
Замечание 2. Всей границе области устойчивости соответствует одна
точка на плоскости (А2,А0) - точка G
q  1  
XI. “Линии уровня” на плоскости А2, А0
 1     const;
max

  const  ;   0;  max 
2
20
I
4 sin 2 

1  4 1    cos 2 
I – линия уровня не
покидает область
устойчивости
   max
0
XI. “Линии уровня” на плоскости А2, А0
 1     const;
max

  const  ;   0;  max 
2
21
II
4 sin 2 

1  4 1    cos 2 
II – линия уровня при
увеличении  сначала покидает область
устойчивости, потом
возвращается в нее
   max
0
XI. “Линии уровня” на плоскости А2, А0
 1     const;
max

  const  ;   0;  max 
2
22
III
4 sin 2 

1  4 1    cos 2 
III – линия уровня,
при увеличении 
покинув область
устойчивости, уже в
нее не возвращается
   max
0
23
XI. “Линии уровня” на плоскости А2, А0
u  cos 
2
q  1  
A1 9;1 4
B0;1 36
Граница
областей
I и II
1
3 4 
ctg 2  
 1    
 tg   3  9  4 2
2


4 cos  8
sin



24
XI. “Линии уровня” на плоскости А2, А0
u  cos 
2
q  1  
A1 9;1 4
B0;1 36
Граница
областей
II и III
 1  
 cos  3 sin 
2


4 cos 9 19 cos 2  9 cos 4
XI. “Линии уровня” на плоскости А2, А0
25
1
1. Если  1    
то треугольные точки либрации устойчивы
36
при любых допустимых значениях параметров  и  .
2. Для каждого фиксированного значения угла нутации 
найдется такое значение 0, что треугольные точки либрации
будут устойчивы при 0<0 и любых допустимых значениях
угловой скорости прецессии (т.е.при любых допустимых ). При
этом если  стремится к предельным значениям 0 или , 0
стремится к 1/4.
3. Каковы бы ни были угол нутации и соотношение масс на
концах гантели, всегда найдутся значения угловой скорости
прецессии, при которых треугольные точки либрации устойчивы
XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
1
0u
9
1u
1
1 u
Кривая СD:

4
Неуст.
Пунктирная линия - граница,
определяемая “необходимым
условием”
q  1  
A1 ,1 4 B2 ,1 4
Уст.
C 4,1 4 D4  4u,0
Кривая АВ:
1  
26

3 48u 8103 u34  
864u 2

2 32
2

  4  4u 16u 2  83   u  4   

2
96u 2


В случае u  1 9
Точки В и С сливаются
В этом случае
20 8  3
  3 2 2  3 3 2 2  

9 9
 .128620979,
2  4
1
XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
1
0u
9
1u
1
1 u
Кривая СD:

4
Неуст.
Пунктирная линия - граница,
определяемая “необходимым
условием”
q  1  
A1 ,1 4 B2 ,1 4
Уст.
C 4,1 4 D4  4u,0
A0
В случае
u 1 9
Кривая АВ:

27
3 48u 8103 u34  
1  
864u 2

2 32
2

  4  4u 16u 2  83   u  4   

2
96u 2


Точки В и С сливаются
В этом случае
20 8  3
  3 2 2  3Уст.
3 2 2  


Неуст.9 9
 .128620979,
2  4 A2
1
XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
1
0u
9
1u
1
1 u
Кривая СD:

4
Неуст.
Пунктирная линия - граница,
определяемая “необходимым
условием”
q  1  
A1 ,1 4 B2 ,1 4
Уст.
C 4,1 4 D4  4u,0
A0
В случае
u 1 9
Кривая АВ:

28
3 48u 8103 u34  
1  
864u 2

2 32
2

  4  4u 16u 2  83   u  4   

2
96u 2


Точки В и С сливаются
В этом случае
20 8  3
  3 2 2  3Уст.
3 2 2  


Неуст.9 9
 .128620979,
2  4A2
1
XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
1
0u
9
1u
1
1 u
Кривая СD:

4
Неуст.
Пунктирная линия - граница,
определяемая “необходимым
условием”
q  1  
A1 ,1 4 B2 ,1 4
Уст.
C 4,1 4 D4  4u,0
A0
В случае
u 1 9
Кривая АВ:

29
3 48u 8103 u34  
1  
864u 2

2 32
2

  4  4u 16u 2  83   u  4   

2
96u 2


Точки В и С сливаются
В этом случае
20 8  3
3
  3 2 2  Уст.
3 2 2  


Неуст. 9 9
 .128620979,
2  A
42
1
XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
30
1u
1
1 u
Кривая СВ:

4
1
 u 1
9
Пунктирная линия - граница,
определяемая “необходимым
условием”
Неуст.
q  1   A1 ,1 4 B2 ,1 4
Уст.
C 4,1 4 D4  4u,0
Кривая АВ:

3 48u 2 8103 u34  
1  
864u 2

2 32
2

  4  4u 16u 2  83   u  4    

96u 2


4
1

E 4 4u  u ;

3
4
u
3

3
u

u


 Если u  1 область устойчивости вырождается в ломаную, соединяющую точки
 1 4 
0,0,  0, ,  ,0 
 4 3 


XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
31
1u
1
1 u
Кривая СВ:

4
1
 u 1
9
Пунктирная линия - граница,
определяемая “необходимым
условием”
Неуст.
q  1   A1 ,1 4 B2 ,1 4
Уст.
C 4,1 4 D4  4u,0
Кривая АВ:

3 48u 2 8103 u34  
1  
864u 2

2 32
2

  4  4u 16u 2  83   u  4    

96u 2
 A0 4

1

E 4 4u  u ;

3
4
u
3

3
u

u


устой Если u  1 область
Уст.
чивости вырождается в ломаA2
ную, соединяющую точки
Неуст.
 1 4 
0,0,  0, ,  ,0 
 4 3 


XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
1
 u 1
9
32
1u
1
1 u
Кривая СВ:

4
Неуст.
Пунктирная линия - граница,
определяемая “необходимым
условием”
q  1   A1 ,1 4 B2 ,1 4
Уст.
C 4,1 4 D4  4u,0
Кривая АВ:

3 48u 2 8103 u34  
1  
864u 2

2 32
2

  4  4u 16u 2  83   u  4    

96u 2
A0 4


1

E 4 4u  u ;

3
4
u
3

3
u

u


устойУст.
 Если u  1 область
чивости вырождается в ломаA2
Неуст.
ную, соединяющую точки
 1 4 
0,0,  0, ,  ,0 
 4 3 


XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
1u
1
1 u
Кривая СВ:

4
1
 u 1
9
Неуст.
33
Пунктирная линия - граница,
определяемая “необходимым
q1 условием”
A1 ,1 4 B2 ,1 4
Уст.
C 4,1 4 D4  4u,0
Кривая АВ:

3 48u 2 8103 u34  
1  
864u 2

2 32
2

  4  4u 16u 2  83   u  4    

96u 2
A0 4


1

E 4 4u  u ;

3
4
u
3

3
u

u


устой Если u  1 область
Уст.
чивости вырождается в ломаНеуст.
ную,
соединяющую точки
A2
 1 4 
0,0,  0, ,  ,0 
 4 3 


XII. Область устойчивости в параметрах u,,q.
34
Величины 1 и 2 являются корнями уравнения четвертой степени:


27 4 81
3
3

  1  u  
81u 2  109u  198  2 
256
64
64
3
7
3 3 2
2
 1  u  18u  27u  19   u   u  0
8
6
4 4


q  1  
XIII. Область устойчивости в плоскости ,u.
u
u
0  1    1 36
Уст.
35
1 36  1    q1
Уст.

u
1    q1 u
Уст.
Неуст.

Неуст.
Уст.
q1  1    1 4
Неуст.


XIII. Область устойчивости в плоскости ,u.
u
u
0  1    1 36
Уст.
36
1 36  1    q1
Уст.
83 
28 7
Неуст.
q1  

 0.1601532634
1332 333
u
1    q1 u
Уст.
Неуст.
Уст.

q1  1    1 4
Неуст.


XIV. Случай симметричной гантели 1    1 4
37
Уст
4 
B ;0 
3 
4


A 2 
2 ;0 
3


Неуст.
04
 1
C  4; 
 9
Уст.
Уравнение границы

Условие
существования
точек либрации
Пунктирная
линия - граница,
определяемая
“необходимым
условием”
4


D 2 
2 ;0 
3


27 3  243 2 135 3  2  81 3 297 2 69 7 
3

2 9
u   

 u     
    u 4    2  91  0
4
8
4
32
4
6  64
 64
 64
4

XIV. Случай симметричной гантели 1    1 4
38
Уст
4 
B ;0 
3 
4


A 2 
2 ;0 
3


Неуст.
04
 1
C  4; 
 9
Уст.
Уравнение границы
Неуст.

Условие
существования
точек либрации
A0
Пунктирная
линия - граница,
определяемая
“необходимым
условием”
4


D 2 
2 ;0 
3


Уст.
A2
27 3  243 2 135 3  2  81 3 297 2 69 7 
3

2 9
u   

 u     
    u 4    2  91  0
4
8
4
32
4
6  64
 64
 64
4

XIV. Случай симметричной гантели 1    1 4
39
A0 Условие
Уст
4 
B ;0 
3 
Неуст.
0 Уст.
4
Неуст.
4


A 2 
2 ;0 
3


 1
C  4; 
 9
Уст.
Уравнение границы

существования
точек либрации
A2
Пунктирная
линия - граница,
определяемая
“необходимым
условием”
4


D 2 
2 ;0 
3


27 3  243 2 135 3  2  81 3 297 2 69 7 
3

2 9
u   

 u     
    u 4    2  91  0
4
8
4
32
4
6  64
 64
 64
4

XV. Область устойчивости в плоскости u,q.
q
q
4
4
0 2
4
2
3
2
q  1  
3
2 
3
Неуст.
Уст.
Уст.
u
q
40
u
q
4
4
 2
2
3
3
4
2
2 4
3
Неуст.
Уст.
Неуст.
Уст.
u
u
XV. Область устойчивости в плоскости u,q.
q
q
4
4
0 2
4
2
3
2
q  1  
u
4
4
 2
2
3
3
Уст.
3
Неуст.
Уст.  19 1
E   
37  9 ;
 4 18 18

q
3
2 
41
q
E
2 37  9  1 
Уст.
9 4    
E
u
4
2
2 4
3
Если   4 область
Уст. устойчивости
Неуст.
Неуст.в ломаную, соединяювырождается
щую точки (0:0), (0,1/4), (4/3;1/4)
u
u