уравнения высших степеней

Презентация на тему:
«Уравнения высших степеней»
Работа выполнена учеником 11 класса
Ибрагимовым З Т.
Разработана учителем математики высшей квалификационной
категории Каратунской средней школы Апастовского района
Республики Татарстан
Каримуллиной Р.Р.
Важнейшие факты истории
уравнений









1) Египедские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных
уравнений.
2) 3 век. – древнегреческий математик Диофант в основном своем труде
«Арифметика» дал решение задач, приводящих к т.н. диофантовым
уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.
3) Рубеж 6-7 вв.- творчество Омара Хайама, среднеазиатского поэта и
математика (изложил решения уравнений до третьей степени
включительно).
4) Конец 15 в.- Лука Пачоли, итальянский математик, изложил правила
арифметических действий, решения некоторых алгебраических уравнений,
их приложения к геометрии, теорию геометрических пропорций.
5) 1545 г.- Джероламо Кардано нашел формулу решения неполного
кубического уравнения.
6) 1591 г.- французский математик Франсуа Виет ввел буквенные
обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов
уравнений, установил зависимость между корнями и коэффициентами
уравнений.
7) П. Руффини (1765 - 1822)– итальянский математик, дал доказательство
неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой
степени.
8) Нильс Хендрик Абель (1802- 1829)- занимается теорией
интерполирования функций, теорией функциональных уравнений и теорией
чисел.
9) Труды французского математика Эвариста Галуа (1811- 1894) – по теории
алгебраических уравнений положили начало развитию современной
Уравнения
Линейные уравнения
ах = в
Линейные уравнения,
содержащие модули
Квадратные уравнения
ах2+вх+с=0
(а≠0)
Дробные рациональные
уравнения
Уравнения
высших
степеней
Я уверен, что ты решишь все эти
уравнения!!! Дерзай!!!
5х-2=3
4(х+2)=4х-1
-6х+1=5(0,2-1,2х)
х2+7х+10=0
3х2-7х+4=0
4х2+6х+2=0
6х2-2х=0
5х2+1=0
3х2-27=0
Просмотри и вспомни алгоритм
решения уравнений с модулями
l2х-3l=4х-2;
2х-3=0;
х=1,5;
1). х<1,5;
2x-3<0;
-2x+3=4x-2;
-6x=-5;
x=5/6;
(входит в рассматриваемый промежуток)
2). х>1,5;
2х-3>0;
2x-3=4x-2;
-2x=1;
x=-0,5;
(не входит в рассматриваемый промежуток)
Ответ: х=5/6.
Уравнения
высших
степеней
Симметричные
уравнения
Уравнения,
решаемые
с помощью
теоремы Безу
Алгоритм решения
симметричных уравнений.
Уравнения, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от
«начала» и «конца» уравнения, равны между собой, называются
симметричными.
6х4-35х3+62х2-35х+6=0
Т.к, конечно, х≠0, то разделим на х2:
6х2 - 35х + 62 - 35/х + 6/х2 = 0.
Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:
6(х2 + 1/х2) - 35(х + 1/х) + 62 = 0.

!!Фокус!! Если х+1/х = у, то (х+1/х)2=у2; х2+1/х2= у2-2;
6(у2 - 2) - 35у + 62 = 0; 6у2 - 35у + 50=0; у1=5/2; у2=10/3;
х + 1/х =5/2
и
х + 1/х =10/3
Решая эти уравнения, получим:
х1=1/2; х2=2;
х3=1/3;
х4=3.
Уравнения, решаемые с помощью теоремы Безу.
Теорема Безу.
Остаток от деления
многочлена Р(х) на
двучлен х- а равен
значению многочлена при х = а.
Р(х)=(х- а)Д(х)+R, где
R= p(a)
Следствие:
Если а- корень
многочлена Р(х),
то этот
многочлен без
остатка делится
на двучлен х- а
Теорема:
Целые корни
уравнения n- ой
степени могут
быть только среди
делителей
свободного члена
Пример: х4+х3+х2+3х+2=0.
Делители свободного члена + - 1; + - 2. Подстановкой убеждаемся, что х = - 1 – корень
уравнения. Для нахождения остальных корней воспользуемся теоремой Безу:
х4+х3+х2+3х+2 l х+1
х4+х3+х2+3х+2=(х+1)(х3+х+2)
х4+х3
х3+х+2
Легко проверить, что многочлен х3+х+2 имеет корнем
х2+3х
число -1:
х3+0х2+х+2 l х+1
х2+ х
х3+х2
х2-х+2
2х+2
-х2+х
2х+2
-х2-х
0
2х+2
2х+2
0
2
Уравнение х -х+2=0 действительно корней не имеет.
Ответ: х = 1