Работа с остатками.

13. Работа с остатками.
Теория [10,c.31-35], [19,c.10], [20,c.54]. Задачи [5,c.149-150], [6,c.7], [10,с.32-35],
[19,c.10-11], [37,c.10]. Ввиду важности темы, материал следует разбить на два занятия, взяв при
необходимости дополнительные задачи из [10]. Литература
Разделить натуральное число N на натуральное число т с остатком
означает представить N в виде N=km+r, где 0 r m.
При этом число r называется остатком от деления N на m.
Верны следующие утверждения m  N:
1. Сумма любых двух натуральных чисел N1+N2 и сумма их остатков r1+r2
имеют одинаковые остатки при делении на m.
2. Произведение любых двух натуральных чисел N1N2 и произведение их
остатков r1r2 имеют одинаковые остатки при делении на m.
При решении задач 2-5 применяется метод перебора возможных остатков
от деления на некоторое число. В задачах 10-12 требуется угадать число,
остатки от деления на которое необходимо перебирать. Задачи в которых
встречаются квадраты натуральных чисел, решаются перебором остатков от
деления на 3 или на 4. (При делении на 3 или на 4 квадраты могут давать только
остатки 0 и 1).
Задача 1. Найдите остатки от деления
а) 2250+4410 на 3;
б) 198919901991+19923 на 7;
в) 9100 на 8.
Решение. а) Заменим каждое из чисел на его остаток от деления на 3. Получим
выражение 12+21. Это число равно 4 и дает остаток 1 при делении на 3. и
остаток исходного выражения от деления на 3 также равен 1.
Ответ:
Задача 2. Докажите, что п3+2п делится на 3 для любого натурального п.
Решение. Число п может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0, 1, 2.
Рассмотрим три случая.
Если п дает остаток 0, то и п3 и 2п делятся на 3 и поэтому п3+2п также делится
на 3.
Если п дает остаток 1, то п3 дает остаток 1, 2п  остаток 2, а 1+2 делится на 3.
Если п дает остаток 2, то п2 дает остаток 1, п3  остаток 2, 2п  остаток 1, а 2+1
делится на 3.
 п3+2п делится на 3 для любого натурального п.
Задача 3. Докажите, что
а)п5+4п делится на 5 при любом натуральном п;
б) п3+2 не делится 9 ни при каком натуральном п;
в) п3 п делится на 24 при любом нечетном п.
Указание. Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.
Задача 4. Натуральные числа x, y, z таковы, что x2+y2=z2. Докажите, что хотя бы
одно из этих чисел делится на 3.
Решение:
Задача 5. Сумма трех натуральных чисел, являющихся точными квадратами,
делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность
которых, также делится на 9.
Указание. Разность двух чисел, дающих одинаковые остатки при делении на 9,
делится на 9.
Решение:
Задача 6. Найдите последнюю цифру числа 19891989.
Решение. Заметим, что последняя цифра числа 19891989 совпадает с последней
цифрой числа 91989. Выпишем последние цифры нескольких начальных
степеней числа 9: 9, 1, 9, 1, 9, …
Т.к. при нахождении последней цифры очередной степени числа 9 достаточно
умножить на 9 лишь последнюю цифру предыдущей степени, то ясно, что за 9
следует
1
(99=81),
а
за
1

9 (19=9). Т.о. нечетные степени 9 оканчиваются на 9. Поэтому последняя цифра
числа 19891989  девятка.
Задача 7. Найдите последнюю цифру числа 250.
Решение. Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней двойки:
2, 4, 8, 6, 2, … можно заметить, что 25 так же, как и 21, оканчивается 2.
Поскольку очередная цифра полностью определяется последней цифрой
предыдущей степени, то произойдет зацикливание: 26 (как и 22) оканчивается на
4, 27 (как и 23)  на 8, 28  на 6, 29  на 2 и т.д. Поскольку длина цикла равна 4,
то последняя цифра числа 250 определяется остатком от деления числа 50 на 4.
Т.к. он равен двум, то последняя цифра числа 250 совпадает с последней цифрой
числа 22, т.е. равна 4.
Задача 8. На какую цифру оканчивается число 777777?
Ответ:
Задача 9. Найдите остаток от деления 2 100 на 3.
Указание. Выпишите остатки от деления на 3 нескольких начальных степеней двойки.
Докажите, что здесь происходит зацикливание.
Ответ:
Задача 10. р, р+10, р+14  простые числа. Найдите р.
Указание. Рассмотрите остатки от деления на 3.
Следующая группа задач решается перебором остатков от деления на 3 или на 4, так как
квадраты целых чисел могут давать в этих случаях только остатки 0 и 1.
Задача 11. р и 8р2+1  простые числа. Найдите р.
Ответ:
Задача 12. а) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом
целого числа?
б) Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом
целого числа?
Решение:
Задача 13. Доказать, что не имеют решения в целых числах уравнения:
а) а2 – 3в2 = 8;
в) а2 + в2 = 1999.
Указание. Рассмотрите в примере а) остатки от деления на 3, в примкре в) – на 4.
В следующих задачах используется тот факт, что куб целого числа при делении на 9 может
давать в остатке лишь 0, 1, и 8, а при делении на 7 – 0, 1, и 6.
Задача 14. Докажите, что число 100…0500…01 (в каждой из двух групп по 100
нулей) не является кубом целого числа.
Решение
Задача15. Доказать, что число а3 + в3 + 4 не является кубом целого числа ни
при каких натуральных а и в.
Указание. Рассмотрите остатки при делении на 9.
Задача16. Докажите, что число 6n3 + 3 не является шестой степенью целого
числа ни при каком натуральном n.
Указание. Рассмотрите остатки от деления на 7.
Содержание: