Математика для всех нас начинается с целых чисел

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №12»
IX научно-практическая конференция «Наука. Творчество. Развитие»
Арифметика остатков
Горбунова Екатерина Владимировна,
ученица 5А класса
МОУ «СОШ №12»
г.Новочебоксарск
Научный руководитель:
Александрова Галина Юрьевна,
учитель математики МОУ «СОШ №12»
г.Новочебоксарск
Новочебоксарск, 2008
Введение
Математика для всех нас начинается с целых чисел. Всюду – дома, в школе, в магазине, в
троллейбусе или автобусе – мы складываем, умножаем, делим целые числа. Иногда разделить
нацело нельзя – получается остаток, и многое зависит от того, каков этот остаток. Такие случаи
мы и рассматриваем в нашей работе «Арифметика остатков» или арифметика сравнений, как ее
еще называют. «Арифметика остатков» - одна из глав высшей арифметики, но она, конечно,
имеет отношение и к элементарной арифметике. Многие вопросы элементарной арифметики
связаны с этой темой: и деление с остатком, и вопросы делимости, в частности, признаки
делимости, и отыскание наибольшего общего делителя, и многое другое. Но эта тема имеет и
самостоятельную ценность – арифметика сравнений представляет собой простой пример
«необычной», «экзотической» арифметики, в которой действуют сложение и умножение,
возведение в степень, вычитание и деление, подчиняющиеся тем же законам, что и в обычной
арифметике. Необычность ее в том, что в ней имеется лишь конечное число не равных друг
другу или не сравнимых друг с другом чисел.
В процессе работы над темой мы прочитали и проанализировали три статьи, посвященные
арифметике остатков. Одну статью нашли в книге В.А.Гусева и др. «Внеклассная работа по
математике в 6-8 классах», еще две – в журналах «Квант». Мы установили, что во всех статьях
содержание делится на сравнение чисел по модулю и арифметику остатков по данному модулю,
рассматривается теория вычетов, но в разных источниках дается разное определение чисел,
сравнимых по модулю, и, вследствие этого, делаются различные выводы и доказываются
теоремы. Но понятия, рассматриваемые в этих статьях, просто как бы переставлены местами.
-2-
Деление с остатком
Еще в четвертом классе мы научились выполнять деление с остатком. Его выполняют
обычным способом, «уголком». Например,
175 14
14 12
35
28
7
Или: 175 : 14  12ост.7 , т.е. a : b  k ост. r  .
Здесь 175 – это делимое, 14 – делитель, 12 – неполное частное, 7 – остаток от деления. На
уроках математики в 5 классе мы установили, что это же равенство можно записать в виде:
Делимое  неполное частное  делитель  остаток , или a  k  b  r
Заметим, что в данной формуле, мы не требуем, чтобы а было меньше b. Можно,
например, разделить 5 на 7:
5  0  7  5 k  0, r  5.
В том случае, если остаток равен нулю, т.е. a  k  b , то говорят, что а делится на b.
Ясно, что если числа а и b делятся на число с, то a  b, a  b, k  a, k  b (k – натуральное)
делятся на с.
Сравнение целых чисел по модулю
С арифметикой остатков мы сталкиваемся буквально на каждом шагу. Вот несколько
примеров.
Пример 1. В коридоре висит счетчик. Взглянем на него. Он показывает, предположим,
0729 киловатт-часов. А на самом деле сколько электроэнергии израсходовано с момента
установки счетчика? 729 кВт . ч? Или 10729? Или, может быть 30729? По показанию счетчика
этого не скажешь. Ведь после 9999 на счетчике будет 0000, и счет начнется сначала. Счетчик
так задуман, что указывает не полный расход энергии, а только остаток от деления
израсходованного числа киловатт-часов на 10000.
Пример 2. Когда мы пошли в школу, на часах было ровно 8, а когда ложились спать, часы
показывали 10, а 10 – 8 = 2. Но разве прошло 2 часа с того момента, как мы ушли в школу? Нет,
не 2, а целых 14. Дело в том, что стрелки, дойдя до 12.00, каждый раз начинают отсчет времени
заново, с нуля. Часы нам показывают не полное время, прошедшее с момента, когда они
показывали 0.00, а лишь остаток от деления его на 12.
Можно еще много привести примеров и задач, в которых основную роль играет не
частное от деления одного целого числа на другое, а остаток. Для решения такого вида задач
была создана «арифметика остатков». Познакомимся с ней поближе.
Для начала займемся арифметикой остатков от деления на 7. Делитель в теории чисел
называется «модулем», а числа, дающие при делении на модуль 7 одинаковые остатки,
называются «равноостаточными» или «сравнимыми по модулю 7». Тот факт, что два числа а и
b при делении на некоторый модуль m дают одинаковые остатки, т.е. сравнимы по модулю m,
записывается так:
a  b mod m .
Рассмотрим следующую таблицу:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
…
…
…
…
…
…
…
…
…
-3-
Эта таблица построена следующим образом: все целые числа выписаны подряд
построчно, по семь чисел в каждой строке. Поэтому соседние числа одного столбца отличаются
на 7, а значит при делении на 7 будут давать одинаковые остатки. В первом столбце оказались
числа, делящиеся на 7 без остатка, во втором – дают при делении на 7 остаток 1 и т.д.
Известно, что при делении на m, образуется m различных видов остатков: 0, 1, 2, …, m – 1.
Остатки в таблице выделены жирным шрифтом – это верхние числа каждого столбца. Можно
сказать, что в один столбец попали те и только те числа, которые при делении на 7
равноостаточны, т.е. сравнимы по модулю 7. Итак, все числа разбились на 7 классов: в класс с
индексом 0 попали числа, которые при делении на 7 дают в остатке 0 (делятся на 7 без остатка),
в класс с индексом 1 – числа, дающие при делении на 7 в остатке 1, и т.д. Отсюда вытекает:
Правило определения класса. Чтобы узнать, в каком классе находится некоторое число,
надо найти остаток от деления этого числа на m. Этот остаток равен индексу класса.
Заметим еще, что если разность двух чисел делится на 7 без остатка, то оба числа
попадают в один столбец, в один класс. Делаем выводы.
Вывод 1. В один класс попадают все числа, дающие при делении на модуль один и тот же
остаток.
Вывод 2. Два числа принадлежат к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда
их разность делится без остатка на модуль.
Вывод 3. Остаток от деления суммы на модуль не изменится, если одно из слагаемых или
каждое слагаемое заменить другим числом того же класса (в частности, индексом того же
класса). В буквенном виде это свойство можно записать так:
если a  b mod m и с  d mod m , то a  c  b  d mod m , т.е. сравнения можно
складывать.
Вообще, основные свойства сравнений напоминают свойства обычных равенств:
сравнения можно также вычитать, перемножать, возводить в степень, умножать на любое целое
число, не равное нулю:
a  c  b  d mod m ,
a  c  b  d mod m ,
a k  b k mod m ,
a  k  b  k mod m .
Китайская теорема об остатках
Несколько связанных утверждений известны под именем китайской теоремы об остатках. Эта
теорема в её арифметической формулировке была описана в трактате китайского математика
Сунь Цзы «Сунь Цзы Суань Цзин» (suànjīng), предположительно датируемом третим веком н.э..
Арифметическая формулировка
Если числа
попарно взаимно просты, то для любых остатков
таких, что
при всех
, найдётся число N,
которое при делении на ai даёт остаток ri при всех
.
Доказательство
Применим индукцию по n. При n = 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема
справедлива при n = k − 1, т.е. существует число M, дающее остаток ri при делении на ai при
. Обозначим
-4-
и рассмотрим числа
. Покажем, что хотя бы одно из
этих чисел даёт остаток rk при делении на ak. Допустим это не так. Поскольку количество чисел
равно ak, а возможных остатков при делении этих чисел на ak может быть не более чем ak − 1
(ведь ни одно число не даёт остаток rk), то среди них найдутся два числа, имеющих равные
остатки (принцип Дирихле). Пусть это числа M + sd и M + td при
и
. Тогда их разность (M + sd) − (M + td) = (s − t)d делится на ak, что невозможно,
т. к. 0 < | s − t | < ak и
взаимно просто с ak, ибо числа
попарно
взаимно просты (по условию). Противоречие.
Таким образом, среди рассматриваемых чисел найдётся число N, которое при делении на ak
даёт остаток rk. В то же время при делении на
число N даёт остатки
соответственно. Теорема доказана.
Из теоремы следует, что если каждые 2 из m  2 натуральных чисел a1 , a 2 ,...a m взаимно
просты, то существует целое число, которое при делении на эти числа дает любые заданные
остатки r1 , r2 , rm . Последним обстоятельством объясняется название теоремы.
Используя эту Теорему, можно решить много задач.
Задача 1. Вы предлагаете кому-нибудь задумать двузначное число и сказать Вам остатки
от деления этого числа на 3, 5 и 7. Как по этим данным отгадать задуманное число?
Задача 2. Восточный Календарь. В китайской натурофилософии выделяются пять
первоэлементов природы — дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять
цветов — синий (или зеленый), красный, белый, черный и желтый. В восточном календаре с
древних времен используется 12-летний животный цикл так, что каждому из 12 годов в цикле
соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством
одной из стихий и окрашивается в один из цветов:
годы, оканчивающиеся на 0 и 1 — годы металла (цвет белый);
годы, оканчивающиеся на 2 и 3 — это годы воды (цвет черный);
годы, оканчивающиеся на 4 и 5 — годы дерева (цвет синий);
годы, оканчивающиеся на 6 и 7 — годы огня (цвет красный);
годы, оканчивающиеся на 8 и 9 — годы земли (цвет желтый).
В 60-летнем календарном цикле каждое животное возникает 5 раз. С помощью китайской
теоремы об остатках объясните, почему оно все 5 раз бывает разного цвета.
-5-
-6-
Задача 7. При делении на 2 число дает остаток 1, а при делении на 3 - остаток 2.
Какой остаток дает это число при делении на 6?
Решение.
Так как при делении целого числа на 6 можно получить один из остатков: 0, 1, 2, 3, 4 и 5, то
множество целых неотрицательных чисел можно разбить на непересекающиеся подмножества
чисел вида 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6у + 3, 6k + 4 и 6у + 5, где k = 0, 1, 2, 3, … .
Так как при делении на 2 данное число дает остаток 1, то оно нечетное, поэтому остается
рассмотреть числа вида 6k + 1, 6у + 3 и 6у + 5.
Числа вида 6k + 1 при делении на 3 дают остаток 1, числа вида 6k + 3 кратны 3 и только числа
вида 6k + 5 при делении на 3 дают остаток 2.
Следовательно, число имеет вид 6у + 5, т.е. при делении на 6 дает остаток 5.
Ответ. Если при делении на 2 число дает остаток 1, а при делении на 3 - остаток 2, то при
делении на 6 - остаток 5.
-7-
Список литературы
1. Квант №5-1970, Егоров А. Сравнения по модулю и арифметика остатков.
2. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Под ред. С.И.Шварцбурда. М.,
«Просвещение», 1977
3.
-8-