1. Тело падает с высоты h=25 м. Какое расстояние пролетит тело за первые и последние t=0.5 c времени своего полета? Решение. По условию не сказано, что телу придали какую то начальную скорость, поэтому будем считать, что начальная скорость 0 0; падение тела равноускоренное прямолинейное движение, поэтому : gt 2 2 найдем положение тела через 0.5 с до начала падения : y (t ) h0 9.81 0.52 23.8 м, тогда за первые 0.5 с тело пролетело 25 23.8 1.2 м 2 2h0 gt 2 , t найдем время, через которое тело упадет, то есть : 0 h0 g 2 y (t 0.5 c) 25 2 25 2.3 c 9.81 теперь найдем положение тела за 0.5 с до падения, т.е. в момент t 2 2.3 0.5 1.8 с t y (t 1.8 c) 25 9.81 1.82 9.1 м, таким образом, за последние 0.5 с тело пролетит 9.1м 2 Ответ. За первые 0.5с тело пролетит 1.2 м, за последние 0.5 с тело пролетит 9.1 м. 2. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через время t=2c после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе колеса составляет угол 600 с вектором ее линейной скорости. Решение. начальная скорость V0 0, по рисунку видно, что tg an V2 , an нормальное (центростремительное) ускорение a R dV тангенциальное ускорение, dt V R линейная скорость, t угловая скорость, a где угловое ускорение; dV R dt V2 R 2 2 t 2 тогда : tg t 2 , тогда угловое 2 R R R tg tg 600 рад ускорение : 2 0.43 2 2 t 2 с тогда : V R t a Ответ. Угловое ускорение колеса 0.43 рад . с2 3. Тягач тянет сани с лесом по ледяной дороге с постоянной скоростью 15 км/ч. С какой скоростью тягач мог бы тянуть такие сани летом по грунтовой дороге, если мощность, развиваемая мотором в обоих случаях одинакова? Коэффициент трения при движении по ледяной дороге принять 1 0.05 , а по грунтовой дороге 2 0.15 . Решение. Мощность можно найти по формуле : P F F cos , где угол между вектором силы трения и вектором скорости движения тела. так как мощность двигателя одинакова в обоих случаях, можем записать : P1 P2 , P1 F11 cos , P2 F22 cos F1 1 N , F2 2 N сила трения, N сила реакции опоры, тогда : 1 N1 cos 2 N2 cos 2 1 0.05 км 1 15 5 2 0.15 ч Ответ. Тягач сможет тянуть груз по грунтовой дороге со скоростью 5 км/ч. 4. Брусок массой m1 0.5 кг соскальзывает по наклонной плоскости с высоты h=1 м, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 0.2 кг . Считая столкновение абсолютно неупругим, определить общую кинетическую энергию брусков после столкновения. Трением при движении пренебречь. Считать, что наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную. Решение. при абсолютно неупругом соударение после столкновения оба тела движутся вместе как единое целое; найдем сначала скорость первого тела : по условию тело соскальзывает по наклонной поверхности без трения, что равносильно свободному падению тела с высоты h, поэтому для равноускоренного движения первого бруска запишем : h gt 2 t 2 2h 2h , 1 gt g 2 gh скорость бруска после того, g g как он соскользнул с наклонной плоскости; теперь запишем закон сохранения импульса : m11 m22 (m1 m2 ), здесь скорость движения обоих тел после столкновения 2 0, т.к. второй брусок изначально покоится тогда : m1 m1 1 m1 m2 m1 m2 2 gh 0.5 2 9.81 1 3.16 ( м / с) 0.5 0.2 тогда общая кинетическая энергия : 1 1 E (m1 m2 ) 2 (0.5 0.2) 3.162 3.5 Дж 2 2 Ответ. Общая кинетическая энергия брусков после столкновения Е=3.5 Дж. 5. Маленький пластилиновый шарик массы m1 20 г 0.02 кг движется горизонтально со скоростью 1 20 м / с . Перпендикулярно к направлению его движения летит второй шарик массы m2 30 г 0.03 кг со скоростью 2 40 м / с и сталкивается с первым. Шарики слипаются, и далее движутся вместе. Найти модуль скорости шариков после удара. Решение. Y запишем закон сохранения импульса в векторном виде : m1V1 m2 V2 (m1 m2 )V сделаем проекции на координатные оси ОХ и ОУ : m1V1 ОХ : m1V1 (m1 m2 )VX VX (m1 m2 ) OY : m2V2 (m1 m2 )VY VY V V V 2 X 2 Y m12V12 m22V22 m1 m2 V1 V m1 V2 до O m2 (m1 m2 ) X после m2V2 (m1 m2 ) 0.022 202 0.032 402 25.3 м / с 0.02 0.03 Ответ. Модуль скорости шариков после удара равен 25.3 м/с. 6. Резиновая шайба массы m=1кг, двигаясь со скоростью 0 5 м / с , соскальзывает с горки высотой h=10м и приобретает скорость у подножия горки. Во время движения над шайбой была совершена работа сил трения Атр 2 Дж . Найти, во сколько раз изменилась кинетическая энергия шайбы. Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии : Е const m02 шайба обладает потенциальной энергией 2 тела, поднятого над землей и кинетической энергией 1) до соскальзывания с горки : Е mgh 2) после соскальзывания : Е AТР m 2 ( расходуется энергия на трение) 2 m02 m 2 тогда : AТР mgh , отсюда : 2 2 m02 2 mgh AТР m 2 2 1 52 1 9,81 10 2 14.7 м / с скорость 1 2 после того, как шайба соскользнула с горки , тогда кинетическая энергия изменится , 2 E 2m 2 14.7 и: 2 8.6 E1 2m02 0 5 2 Ответ. Кинетическая энергия шайбы увеличится в 8.6 раз. 7. Платформа начинает вращаться с постоянным угловым ускорением 0.5 рад / с 2 и кг м2 . Найти кинетическую с энергию платформы через время t2 20 c после начала движения. через время t1 15 c приобретает момент импульса L 73.5 Решение. момент импульса вычисляется по формуле : L I , где угловая скорость, а I момент инерции платформы. 1 для кинетической энергии справедливо : EК I 2 2 L L найдем момент инерции : I , 1 t1 I t1 тогда кинетическая энергия через время t2 20 c после начала движения равна : L t22 0.5 73.5 202 1 2 1 L 2 Е К I 2 , 2 t 2 Е К ( t2 ) 490 Дж 2 2 t1 2t1 2 15 Ответ. Кинетическая энергия платформы через 20 с после начала движения Е=490 Дж. 8. Два невесомых стержня длины b=40см соединены под углом 1 600 и вращаются без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси О с угловой скоростью 1 рад / с . На конце одного из стержней прикреплен очень маленький массивный шарик. В некоторый момент угол между стержнями самопроизвольно увеличился до 2 1200 . С какой угловой скоростью стала вращаться система? b Решение. 2 B b 1 Воспользуемся законом сохранения энергии : Е1 Е2 (трения нет по условию), тогда : O b 1 1 1 1 A I112 , E2 I 222 I112 I 222 2 2 2 2 I или : 2 1 1 , осталось найти моменты инерции системы до и после изменения I2 Е1 угла между стержнями. Шарик очень маленький , поэтому будем считать его материальной точкой , тогда его момент инерции I1 mr12 , r1 OA b (т.к. получаем равносторонний треугольник ), I 2 mr22 , r2 OB b 3 момент инерции стержней не учитываем в силу их невесомости. тогда : 2 1 I1 b 1 1 I2 b 3 1 3 0.76 рад / с Ответ. Система стала вращаться с угловой скоростью 0.76 рад/с. 9. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время t=1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника 1 м. Решение. запишем выражение для амплитуды затухающих колебаний : t A A0 exp , логарифмический декремент затухания, T период колебаний T тогда : Т 2 получим : l период колебаний математического маятника, g t A0 exp A1 2 g l 2 ln 2 2 t l 2 3.14 ln 2 1 0.033 g 60 9.81 Ответ. Логарифмический декремент затухания равен 0.033. 10. Два моля идеального газа сначала изохорически нагревают в e 2 раз, а затем адиабатически охлаждают до первоначальной температуры. Суммарное изменение энтропии газа в двух этих процессах S 83.1 Дж / К . Найти число степеней свободы молекул такого газа. Решение. 1. Изохорическое нагревание : V const (объем неизменен), тогда : p1 p2 T1 T2 2. Адиабатическое охлаждение : Q 0 (без выделения или поглощения тепла) dQ Энтропия : dS ; T Q CV (T2 T1 ) количество теплоты, сообщенное газу в процессе изохорического i нагревания, здесь CV R, 2 моль количество газа, i число степеней свободы. 2 T2 T T i 1 i i S R dT R (ln T2 ln T1 ) R ln 2 , 2 e 2 ( по условию) 2 T1 T 2 2 T1 T1 тогда : i 2S 2 83.1 5 T2 2 8.31 ln e 2 R ln T1 Ответ. Число степеней свободы такого газа равно 5. 11. Термодинамическая система совершает циклический процесс с КПД 75% 0.75 . В состояниях 1, 2 и 3 она имеет соответственно, температуры T1 300 К , Т 2 500 К , Т 3 400 К . Процессы 1-2 и 1-3 имеют постоянные молярные теплоемкости С1 и С2 соответственно, процесс 2-3 адиабата. Вычислить отношение теплоемкостей Решение. С1 . С2 КПД : Q1 Q2 , Q1 тепло, полученное от нагревателя , Q1 Q2 тепло, отданное холодильнику в процессе 1 2 : температура повышается , тепло подводится, тогда : Q1 C1 (T2 Т1 ) тепло, сообщенное газу в процессе 1 2 Q2 0 (т.к. 2 3 адиабатический процесс ) процесс 1 3 : тепло отводится , т.к. уменьшается температура газа, тогда : Q3 C2 (T3 Т 2 ) тогда для КПД : C1 (T2 Т1 ) C2 (T3 Т 2 ) C1 (T2 Т1 ) C1 (T2 Т1 ) C2 (T3 Т 2 ) , отсюда : C1 (T2 Т1 ) 1 T Т2 C2 T3 Т 2 C 1 1 400 500 1 3 2 C1 T2 Т1 C2 ( 1) T2 Т1 0.25 500 300 Ответ. Отношение теплоемкостей C1 2. C2 12. Два моля идеального одноатомного газа совершают замкнутый цикл, изображенный на p T рисунке. Известно, что температура T1 280 К , 2 5, 4 2 . Определить КПД этого p1 T1 цикла. Решение. процесс 1 2 : температура повышается, V const , тогда : Q1 CV (T2 T1 ) подведенное тепло процесс 2 3 : p const , тогда : Q2 CP (T3 T2 ) подведенное тепло процесс 3 4 : V const , Q3 CV (T4 T3 ) тепло отводится процесс 4 1: p const , Q4 CP (T1 T4 ) тепло отводится, тогда КПД цикла : Q1 Q2 Q3 Q4 CV (T2 T1 ) CP (T3 T2 ) CV (T4 T3 ) C P (T1 T4 ) Q1 Q2 CV (T2 T1 ) CP (T3 T2 ) CV (T2 T1 T4 T3 ) CP (T3 T2 T1 T4 ) CV (T2 T1 ) CP (T3 T2 ) CV i i2 R, C P R 2 2 тогда : i i2 i (T2 T1 T4 T3 ) (T3 T2 T1 T4 ) (T2 T1 T4 T3 T3 T2 T1 T4 ) (T3 T2 T1 T4 ) 2 2 2 i i2 i (T2 T1 ) (T3 T2 ) (T2 T1 T3 T2 ) (T3 T2 ) 2 2 2 T3 T2 T1 T4 i (T3 T1 ) (T3 T2 ) 2 p p p 1 2 : V const 1 2 T2 T1 2 280 5 1400 К T1 T2 p1 3 4 : V const p3 p4 p p T3 T4 3 T4 2 2T4 T3 T4 p4 p1 T4 2T1 (по условию) T4 560 К V4 V1 V T 4 4 ; V4 V3 (т.к.3 4 изохорный процесс), T4 T1 V1 T1 V2 T2 V T T T ; V4 V3 , V2 V1 2 2 1 T3 T2 4 2T2 2800 К V3 T3 V3 T3 T4 T1 i 3 число степеней свободы одноатомного газа, тогда : 2800 1400 280 560 0.216 21.6% 3 (2800 280) (2800 1400) 2 Ответ. КПД такого цикла 21.6%.