(, )A j - Новая Экономическая Ассоциация

Введение.
Как правило, при решении задач в области страхования используются методы
актуарной математики, базирующиеся на математической статистике. Модели и
методы теории игр, которые применяются при исследовании различных проблем
экономического регулирования, не получили широкого распространения при
решении страховых задач. Тем не менее, существует ряд работ посвященных
применению теоретико-игровых моделей в области оценки страховых премий с
учетом качества данных, но, к сожалению, их число невелико.
Страхование одна из важнейших, стремительно развивающихся областей
экономики, актуальность которой обусловлена необходимостью управления
рисками.
Одной из главных проблем данной области является оценка страховых
премий. Точность оценки премий определяет эффективность деятельности
страховой компании. Завышение или занижение данной оценки влечет за собой
финансовую нестабильность страховой организации, а, следовательно, и ее
клиентов. Поэтому, несмотря на наличие большого числа методов расчета
страховых премий, проблема их оценки остается актуальной и в наши дни.
Наиболее интересна задача оценки премий с учетoм качества данных, так как
не всегда возможно количественно oценить риск, либо полученная оценка
недостаточно точна. Данная проблема наиболее характерна для краткосрочных
видов страхования, так как чаще всего актуарий владеет статистической
информацией всего за несколько лет, а остальные данные – качественные,
поэтому и возникает потребность в их учете. Одно из направлений актуарной
математики («Credibility theory» или теория «качества данных») предполагает,
что актуарии вводят в модель ненаблюдаемые параметры – качественные
характеристики риска, учет которых позволяет получить более точную оценку
премий. Стоит отметить, что качественные характеристики риска, как правило,
имеют сложную структуру. В частности, исследование страховых выплат
должно учитывать эффекты, обусловленные наличием общих факторов
(характеристик риска верхнего уровня), то есть иерархическую структуру
ненаблюдаемых характеристик риска (рис.1).
рис.1.
Подобная ситуация нередко встречается в страховой практике. Примером
таковой могут являться такие факторы, влияющие на риск, как марка машины и
мощность двигателя. У автомобилей одной марки могут быть различные
мощности двигателя, поэтому риск нельзя считать однородным, то есть
автомобили с разными параметрами нельзя считать идентичными. Таким
образом, возникает некая иерархия качественных характеристик, где на верхнем
уровне находится марка автомобиля, а на нижнем - мощность двигателя. Учет
данного эффекта позволяет улучшить искомую оценку.
Ряд исследователей осветили теоретико-игровой подход к решению
проблемы оценки страховых премий и показали его эффективность в ряде
случаев. Тем не менее, не все в данной области исследовано и методы расчета
премий не совершенны.
Поэтому
цель
данного
исследования
состоит
в
разработке
усовершенствованной методики оценки нетто-премий с учетом качества данных
в сфере краткосрочного страхования.
В соответствии с целью в работе были поставлены следующие задачи:
 Проанализировать методы, используемые для оценки нетто-премий с
учетом качества данных в сфере краткосрочного страхования и научные
исследования, связанные с данной тематикой.
 Изучить влияние различных моделей качественных характеристик на
оценку премий.
 Разработать методы для оценки премий для иерархической модели
качества данных на основе теоретико-игрового подхода.
Объектом данного исследования является страховая
организация,
занимающаяся краткосрочными (имущественными) видами страхования, в
частности оценкой премий.
Предметом исследования являются методы и модели, используемые для
оценки премий в сфере краткосрочного (имущественного страхования).
Теоретической и методологической базой исследования послужили
работы российских и зарубежных авторов по страхованию, статистике,
актуарным расчетам в области оценки премий, экономико-математическому
моделированию и теории игр.
Информационной основой исследования являются научные публикации,
материалы периодических изданий, сети Интернет и электронных СМИ по
тематике исследования.
Постановка задачи.
Предполагается, что Х1,Х2,….,Хn – набор случайных величин, распределение
которых неизвестно.
Существует зависимость распределения случайных величин от набора
неизвестных параметров (Ψ,Θ), где Ψ =(ψ1,….. ψm), Θ =(θ1,…., θn) ,которые
имеют двухуровневую иерархическую структуру (рис.1).
Случайные векторы (Ψ,Θ, Х1,Х2,….,Хn) независимы.
Случайные векторы (Θ, Х1,Х2,….,Хn) условно независимы (при условии Ψ=ψ).
Вектора (Ψ,Θ) одинаково распределены.
Необходимо найти наиболее точную линейную оценку премий.
Математическая модель.
Предложенная модель представляет собой систему из n+1 игры актуария
против «злой» природы, из которых n игр решают задачу нижнего уровня, и
одна игра – задачу верхнего уровня (в дальнейшем задачи верхнего и нижнего
уровня рассматриваются отдельно). Актуарий стремится получить наиболее
точную линейную оценку премий вида 𝜸𝒋 𝑿 + 𝜹𝒋 , где 𝑿 – вектор страховых
выплат, компоненты которого случайны. Следовательно, множество стратегий
актуария можно представить как набор чисел ( 𝜸𝒋 , 𝜹𝒋 )=Aj ( для j-ой игры
нижнего уровня). Стратегиями природы являются функции распределения
ненаблюдаемых параметров верхнего и нижнего уровней (с учетом введение
новых
параметров
множество
стратегий
природы
можно
представить
следующим образом: 𝑷𝒋 = (𝒗𝒋, 𝒘𝒋 , 𝒎𝒋 ) (для j-ой игры нижнего уровня)).
Функция потерь для j-ой игры нижнего уровня имеет вид:
𝟐
𝒓𝒋 (𝑷𝒋 , 𝑨𝒋 ) = ∫[𝜸𝒋 𝒙 + 𝜹𝒋 − 𝝁(𝜽, 𝝍)] 𝒅𝑭𝜽,𝝍 (𝒙)𝒅Uψ(𝜽𝒋 )=
= 𝜸𝒋 𝟐 𝒗𝒋 + (𝟏 − 𝜸𝒋 )𝟐 𝒘𝒋 + [(𝟏 − 𝜸𝒋 )𝒎𝒋 − 𝜹𝒋 ]𝟐 .
Следовательно, решение данной подзадачи сводится к поиску минимаксной
оценки данной функции.
Найдя оптимальные стратегии актуария, мы получаем линейную оценку
премий для
j-ого подпортфеля. Но для более точного результата нам
необходимо учесть параметры верхнего уровня, для этого предлагается
реализовать игру верхнего уровня, которая представляется аналогичным
образом, с той лишь разницей, что решение некоторой игры нижнего уровня
непосредственно зависит от решения игры верхнего уровня, которое, в свою
очередь, уточняет оценку подпортфеля с учетом дополнительных условий
(характеристик риска верхнего уровня).
Заключение.
В ходе данного исследования были изучены
работы, посвященные
оценкам страховых премий с учетом качества данных, выявлены специфика и
недостатки имеющихся методов по оценки премий для краткосрочных видов
страхования. Также была выдвинута гипотеза о применимости теоретикоигрового подхода в случае иерархической модели учета качества данных,
предложена математическая модель, отражающая данную проблематику, и
получено
решение
данной
предложенного метода.
задачи.
А
также
доказана
эффективность