Естествознание_темы

Определение средней силы,
развиваемой мышцами ног
во время прыжка в высоту.
Экспериментально-расчетная задача
Для профильных классов можно рекомендовать
задачу на расчет средней силы, развиваемой
мышцами ног во время прыжка в высоту с места.
Для повышения мотивации задача преобразуется в
экспериментально-расчетную: каждый из учеников
определяет силу мышц своих ног, выполняя
предварительно несложные измерения.
Исследование характеристик своего организма
вызывает большой интерес у учащихся.
Анализ
Во время прыжка мышцы ног сообщают телу
ускорение а1, при этом они работают до того
момента, пока человек не оторвется от пола.
Затем тело человека под действием силы
тяжести движется равнозамедленно с
ускорением a2 = -g.
Когда центр тяжести тела поднимется на
максимальную высоту, скорость движения
становится равной нулю.
Для решения задачи необходимо измерить два
расстояния: расстояние h1, на котором тело
человека движется с ускорением а1, и расстояние
h2, на котором оно движется с ускорением a2 = -g.
Расстояние h1 равно разности координат центра
тяжести тела в момент отрыва от пола (y1) и в
начале прыжка (y0).
h1 = y1 - y0
Расстояние h2 равно разности координат центра
тяжести тела в верхней точке траектории (y2) и y1.
h2 = y2 – y1
Проведение измерений
Хотя примерное расположение центра тяжести человеческого
тела известно, измерение его координат во время прыжка
затруднено. Поэтому используется следующий способ.
Прыжок выполняется около стены. Присев перед прыжком,
учащийся делает на стене отметку мелом, который он держит в
вытянутой вверх руке. В момент достижения верхней точки
прыжка делается вторая отметка. После приземления учащийся,
встав на цыпочки, делает еще одну отметку. Так как расстояние
от кусочка мела до центра тяжести тела всегда остается
постоянным (приблизительно), то координаты сделанных на
стене отметок отличаются от координат центра тяжести на одну
и ту же величину, что эквивалентно переносу начала системы
координат. При этом расстояния между меловыми отметками
будут
равны
соответствующим
расстояниям
между
положениями центра тяжести. Эти расстояния измеряют с
помощью длинной линейки.
y2 + b
y1 + b
ЦМ
y2
h2
y0 + b
ЦМ
y1
y1
h1
ЦМ
y0
h1= y1-y0=(y1+b)-(y0+b);
y0
h2= y2-y1=(y2+b)-(y1+b)
Расчеты
Движение на первом участке происходит под действием двух сил: силы мышц
Fм и силы тяжести Fт = mg, направленных в разные стороны.
Равнодействующая сила равна их разности. Ее направление совпадает с
направлением ускорения a1. Второй закон Ньютона в данном случае имеет
вид:
Fм  mg  ma1
Fм  Fт  ma 1
или
Отсюда для силы мышц получим следующую формулу:
Fм  mg  ma1
Ускорение на первом участке можно найти по формуле
12  02 12
a1 

2 h1
2 h1
Здесь 1 – конечная скорость первого этапа. Эта скорость также является
начальной скоростью для второго этапа и может быть определена из формулы
22  12  12
h2 

2a 2
 2g
откуда
12  2gh 2
Таким образом, для ускорения a1 получаем следующее выражение
a1 
gh 2
h1
Подставляя выражение для а1 в формулу для Fм, получим
h2
h1  h 2
Fм  mg  mg  mg
h1
h1
или
Fм  P
h1  h 2
h1
Здесь P = mg – вес человека.
Для некоторых учеников со слабой математической
подготовкой приведенные выше расчеты могут
оказаться сложными. Рекомендуется рассмотреть еще
один вариант решения - на основе закона сохранения
энергии.
Такой подход демонстрирует не только мощь и
красоту одного из фундаментальных законов, но и
важнейшее качество любой естественнонаучной
теории - приводить к правильному результату при
использовании различных методик анализа.
Полная механическая энергия тела в исходном
положении равна нулю.
В первой фазе прыжка мышцы ног совершают
работу
Aм  Fм h1 cos   Fм h1;   0, cos   1
Работа мышц переходит в механическую энергию,
которая равна потенциальной энергии тела в
верхней точке
Aм  E  Eп  mg (h1  h 2 )
Сравнивая два выражения для работы, получим
Fм h1  mg (h1  h 2 )
Откуда
h1  h 2
h1  h 2
Fм  mg
P
h1
h1
Результаты, полученные в ходе решения данной задачи позволяют
учащимся оценить уровень своего физического развития. Учитель
обращает внимание на то, что в данном случае роль играет не
абсолютная величина силы (она зависит от веса), а ее отношение к
весу: чем это отношение больше, тем лучше.
Отметим, что интерес для учащихся представляет не только
окончательная формула, но и результаты, полученные на
промежуточных этапах. Так, многие ученики по собственному
желанию рассчитывают скорость в момент отрыва от пола. Можно
также предложить им на основе полученных данных рассчитать
время прыжка, ускорение на первом этапе, сравнить его с
ускорением свободного падения и т.п.
Учащиеся работают с результатами реальных измерений
значительно активнее, нежели с абстрактными данными,
излагаемыми обычно в условиях задач.
Почему
кошка сворачивается клубком?
Математическое моделирование
Из опыта наблюдений за поведением животных,
учащиеся знают, что в жаркую погоду те принимают
такое положение, при котором поверхность контакта с
окружающим воздухом имеет наибольшее значение, в
холодную же, наоборот, сворачиваются клубком.
Обычный ответ учащихся на вопрос о причинах такого
поведения, как правило, весьма общий – так теплее, так
прохладнее. Простое математическое рассмотрение
позволяет сделать более обоснованное суждение о
наблюдаемом явлении.
Данный пример позволяет познакомить учащихся с
таким
научным
методом
исследования,
как
математическое моделирование.
Vц = Vш
Sц
?
Sш
d = 2r
L = kd
D = 2R
Sц  Sб.п.  2Sосн
d 2
d 2
1
2
2
Sц  2rL  2r  dL  2
 kd 
 d  k  
4
2
2

2
Sш  4R 2  D 2
1
d 2  k  
2
Sц
d
1
2   


   k  
2
Sш
2
D
D 
d = 2r
D = 2R
L = kd
3
2
3
4

D

d

kd
3
Vш  R 
Vц  r 2 L 
L
3
6
4
4
Vц = Vш
kd 3 D3

4
6
d 3 2

D
3k
1
d 2  k  
2
Sц
d
1
2   


   k  
2
Sш
2
D
D 
d 3 2

D
3k
Sц
4
1
 3 2  k  
Sш
2
9k 
Sц
4 
1
3

k 
2
Sш
2
9k 
Зависимость отношения площадей поверхности цилиндра и
равного ему по объему шара от величины k = L/d
2,4
Отношение Sц/Sш
2,2
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Отношение длины цилиндра к его диаметру, k
Обсуждая полученные результаты, обращают внимание учащихся на
то, что отношение Sц/Sш больше 1: поверхность цилиндра больше
поверхности шара того же объема. Таким образом, делается вывод,
что сворачивание в клубок приводит к уменьшению внешней
поверхности, а следовательно, и тепловых потерь организма в
процессе теплообмена. Как видно из графика, это уменьшение тем
больше, чем больше отношение длины цилиндра к его диаметру или,
говоря о животном, чем больше отношение длины тела к его
поперечному размеру. Необходимо обратить внимание учащихся на
то, что уменьшение поверхности контакта с окружающей средой
уменьшает также потери организмом воды вследствие испарения. В
засушливое время года дождевые черви, например, уходят глубже в
землю и сворачиваются в плотный клубок.
Используя математические модели, очень важно
в беседе с учащимися подчеркнуть их
условность, ограниченность, необходимость их
дополнения, усложнения при рассмотрении
явлений и процессов, происходящих в живых
организмах.
Так, например, в приведенном выше примере,
кроме явного геометрического несоответствия, не
учитывается
неодинаковость
испарения
различными участками поверхности животного,
различная густота шерсти, различная толщина
подкожного жирового слоя и т.п.