Об одном методе доказательства неравенств

Автор:
Ашурбекова Карина Казимовна,
11 класс, Республиканский
многопрофильный лицей
Почтовый адрес:
367015
ул. Азиза Алиева 4/4,
г. Махачкала,
Республика Дагестан
Об одном методе доказательства неравенства
(математика)
2
Аннотация
Целью данной работы является исследование на экстремум произведения
P  ( x1  y1 )( x2  y2 )
 x1 x2 ... xn 
( xn  yn )  
,
 y1 y2 ... yn 
для двух последовательностей чисел при всевозможных перестановках чисел этих
строк.
Методом сравнения величин
Pi , при упорядочении xi и yi , показано, что
число P максимально, если эти последовательности разной монотонности, и P
минимально, если они одной монотонности.
Доказаны две теоремы, которые дают возможность составить много новых
неравенств. В работе приведены 7 оригинальных неравенств с доказательством
(некоторые из них новые). Неравенства используют при решении уравнений,
нахождении экстремумов, в различных оценках (при сравнении величин), поэтому
они представляют интерес и играют важную роль.
Научная статья
§ 1. Об одном методе доказательства неравенств
3
Введение
Рассмотрим последовательности, состоящие из
положительных
n
действительных различных чисел:
(a1 , a2 ,..., an ) и (b1 , b2 ,..., bn )
Запишем их в виде таблицы
 a1 a2 ... an 


 b b ... b 
n
 1 2
Введем удобное для дальнейших рассуждений обозначение
 a1 a2 ... an 
P
  (a1  b1 )(a2  b2 ) (an  bn ) .
b1 b2 ... bn 
Ставиться
задача:
при
каком
расположении
чисел
в
этих
последовательностях
(для
каких
перестановок),
произведения
сумм
соответствующих элементов максимально (минимально), т.е. число P максимально
(минимально).
 ai 
Заметим, что при перестановке столбцов   число P не меняется. Поэтому,
b 
 i
переставляя столбцы можно достичь в верхней перестановке порядка возрастания.
Всего перестановок из n элементов можно составить n!
Например,
5 2 6   2 5 6 
P1  

  (2  4)(5  1)(6  3)  6  6  9  324
1 4 3   4 1 3 
Другие значения Pi получим переставляя члены нижней последовательности.
Всего 3!  6 чисел.
 2 5 6
P2  
  (2  1)(5  4)(6  3)  3  9  9  243 ,
1 4 3 
 2 5 6
P3  
  (2  1)(5  3)(6  4)  3  8 10  240 ,
1 3 4 
 2 5 6
P4  
  (2  4)(5  3)(6  1)  6  8  7  336 ,
 4 3 1 
 2 5 6
P5  
  (2  3)(5  1)(6  4)  5  6 10  300 ,
3 1 4 
 2 5 6
P6  
  (2  3)(5  4)(6  1)  5  9  7  315 .
3 4 1 
Можно заметить, что максимальное из этих шести чисел равно P4  336 , а
минимальное - P3  240 . Максимальное получается, если одна последовательность
возрастающая, а другая – убывающая, минимальное значение принимает Pi , если
обе или возрастающие, или убывающие. По аналогии с векторами дадим следующие
определения.
Определение 1. Две последовательности назовем сонаправленными, если обе
являются или возрастающими, или убывающими.
4
Сонаправленные последовательности -

 ,  
 .
В этом случае P
-
минимально.
Определение2. Две последовательности назовем
противоположнонаправленными, если одна возрастающая, а другая – убывающая.
Итак, если последовательности противоположнонаправлены - 
 , 
 , то P
  
- максимально.
Это пока предположение, наблюдение, гипотеза. Сформулируем его в виде
теоремы и докажем.
Основная часть
Пусть, как и выше,
 a1 a2 ... an 
P
  (a1  b1 )(a2  b2 ) (an  bn ) .
b1 b2 ... bn 
Теорема 1. Число P максимально (минимально), если последовательности
противоположнонаправлены (сонаправлены).
Доказательство. Надо доказать, что из n! чисел Pi наибольшее получим, если

  или  
  . А наименьшее
число P получим, если они сонаправлены:  
  или  
  . Пусть последовательность
последовательности противоположнонаправлены:
i
 a1, a2 ,..., an  для числа
 a1 a2 ... an 
 - возрастающая. Находим наибольшее число
P
b j1 b j2 ... b jn 


среди b jk , k  1, n , b js  max b j1 , b j2 ,..., b jn .
Поменяем местами
b j1
и
b js
в последовательности
b j1 , b j2 ,..., b jn .
По
определению b js  b j1 .
Получим новое число (значение)
 a1 a2 ... as ... an 
  a1  b js a2  b j2 ... as  b j1 ... an  b jn .
P2  
b js b j2 ... b j1 ... b jn 
Покажем, что P1  P2  0 , т.е. P1  P2 .


 
 

P1  P2  (a2  b j2 )...(an  b jn )((a1  b j1 )(as  b j s )  (a1  b j s )(as  b j s )) 
 (a2  b j2 )...(an  b jn )(b j s  b j1 )(a1  as )  0
так как b js  b1  0, a1  as  0 , а остальные скобки – множители положительны.
Отсюда и следует P1  P2 . Теперь выбираем наибольшее среди остальных (кроме
первого) и ставим его на второе место и можно аналогично показать, что P2  P3  0
или P2  P3 и т.д. продолжая этот процесс, получим P1  P2  P3  ...  Pn . В этом случае
 
последовательности 
 противоположно направлены и Pn - максимально.
Покажем, что для одновременно убывающих или возрастающих
(сонаправленных) последовательностей эта величина минимальна.
Пусть  a1 , a2 ,..., an  - возрастающая последовательность и b js - наименьшее
число из b jk ; b js  b jk при k  1, n .
5

b js  min b j1 , b j2 ,..., b jn

Поменяем местами b j1 и b js и покажем, что P1  P2  0 , т.е. P1  P2 .
Действительно, как и в первом случае,
P1  P2  a2  b j2 ... an  b jn  a1  as  b js  b1   0 ,


так как последние два множителя отрицательны, а остальные все положительны.
Значит, P1  P2  0  P1  P2 . Аналогично можно продолжить, что P2  P3 и т.д.
P1  P2  P3  ...  Pn .
Получилось, что для одновременно возрастающих последовательностей это
произведение минимально. Итак, для сонаправленных 
 , 
 P - минимально, а
 



  
для противоположнонаправленных 
 , 

Замечание. При

   
P - максимально.
доказательстве можно рассматривать отношение
P1
P2
и
показать, что оно больше (меньше) единицы.
Пример 1. Доказать, что если a, b, c, d - положительные различные
вещественные числа, то
 a  a 3  b  b3  c  c 3  d  d 3    a  b3  b  c 3  c  d 3  d  a 3  .
Решение. Пусть 0  a  b  c  d . Тогда
a b c d 
 a  a3 b  b3  c  c3  d  d 3    3 3 3 3   P1
 a b c d 
сонаправленные последовательности 
 .
 
a b c d 
  P2 .
b3 c3 d 3 a3 
По доказанной теореме 1. справедливо неравенство P1  P2 .
 a  b b  c  c  d  d  a   
3
3
3
3
Пример 2. Доказать, что
( S  arb )( S  brc )( S  cra )
,
ra  rb  rc
где S , p - площадь и полупериметр, a, b, c, ra , rb , rc - стороны и радиусы вневписанных
окружностей треугольника.
Решение.
Пусть
Тогда
известны
формулы
abc.
S  ra ( p  a), S  rb ( p  b), S  rc ( p  c) и по доказанной теореме 1 для 
 :
p3 
 
b
c   a
b
c 
 a



 p  a p  b p  c   p  b p  c p  a 

( S  arb )( S  brc )( S  cra )
S 
S 
S
, что и требовалось
p3   a   b   c    p 3 
ra  rb  rc
rb 
rc 
ra 

доказать.
6
Пример 3. Пусть 0  a1  a2  ...  an , 0  b1  b2  ...  bn . Доказать неравенство:
 (a1  b1 )(a2  b2 )
(an  bn )     ai  b j    (a1  bn )
n
n
n
i 1
j 1
(an  b1 )  .
n
Решение.
a1 a2 ...an 
,
 b1 b2 ... bn 
Пусть Р1 
по теореме 1 справедливы следующие
циклической перестановкой bi (назад):
 a1
a1 a2 ...an  a1 a2 ...an 

,
P

 b b ... b   b b ... b  1 
n  1
n
 1
2
2
b2
n
неравенств,
a2 ... an 
 a1
,...,
P

1 
b3 ... b1 
bn
полученных
a2 ... an 
.
b1... bn 1 
Перемножая их, получаем левую часть доказываемого неравенства.
 a1
bn
a2 ... an 
, по теореме 1 для максимального значения при
bn 1... b1 
Опять пусть Р 2  
 
таком расположении последовательностей 
 , имеем:
 a1
b
 n
a2 ... an 
 a1
, P2  

bn 1... b1 
bn 1
a2 ... an   a1

bn 1... b1  bn
a2 ... an 
a a2 ... an 
,..., P2   1


bn  2 ... bn 
b1 bn ... b2 
Переставляя циклически bi в правой части, получим n неравенств. Затем,
перемножая их, имеем правую часть исходного неравенства.
  ai  bi     ai  b j     ai  bn1i 
n
i 1
n
n
n
n
i 1
j 1
i 1
n
Пусть даны последовательности вещественных чисел:
0  x1  x2  ...  xn


0  y1  y2  ...  yn
T ( x1 )  1,..., T ( xn )  n
Введем
функцию
каждому
члену
(числу)
последовательности x1 , x2 ,..., xn ставим в соответствие его номер в возрастающей
последовательности. Итак,
T : x1 , x2 ,..., xn   1, 2,3,..., n .
 
Если
T ( xi )  T ( y j ) ,
то
последовательности
сонаправлены
и
число
 x1 x2 ... xn 
P
  ( x1  y1 )( x2  y2 ) ( xn  yn ) наименьшее.
 y1 y2 ... yn 
Если T ( xi )  T ( y j )  n  1 , то последовательности противоположнонаправлены

  , и в этом случае число P - максимально.
7
Пусть задана функция y  f (t ) на промежутке  a, b и последовательность
чисел t1 , t2 ,..., tn на
a, b .
Если функция
y  f (t ) является возрастающей на
промежутке  a, b , то T (ti )  T ( f (ti )) , т.е. эти последовательности сонаправлены и
t2 ... tn 
 t1
число P  
 наименьшее.
 f (t1 ) f (t2 ) ... f (tn ) 
Если функция y  f (t ) является убывающей на промежутке
T (ti )  T ( f (ti ))  n  1 .
a, b ,
то
 
В этом случае последовательности противоположнонаправлены 
 и число
t2 ... tn 
 t1
P
 - наибольшее.
 f (t1 ) f (t2 ) ... f (tn ) 
Рассмотрим теперь две функции y  f (t ), y  g (t ) определенные на
промежутке  a, b и t1 , t2 ,..., tn - любая последовательность чисел из промежутка  a, b .
Определяем, как и выше, число
 f (t1 ) f (t2 ) ... f (tn ) 
P
   f (t1 ) g (t1 )   ...   f (tn ) g (tn )  .
 g (t1 ) g (t2 ) ... g (tn ) 
Теорема 2. Если функции y  f (t ), y  g (t ) одной монотонности, то число P
минимально. Если эти функции разной монотонности, то число P максимально.
Доказательство. Пусть дана любая последовательность чисел t1 , t2 ,..., tn из
промежутка  a, b , и функции y  f (t ), y  g (t ) одной монотонности.
Тогда
сонаправлены
T ( f (ti ))  T ( g (ti ))
и
последовательности

 ,  
 .
 f (t1 ) f (t2 ) ... f (tn ) 


 g (t ) g (t ) ... g (t ) 
2
n 
 1
Следовательно, в силу теоремы 1 число
 f (t1 ) f (t2 ) ... f (tn ) 
P
   f (t1 )  g (t1 )   f (tn )  g (tn ) 
 g (t1 ) g (t2 ) ... g (tn ) 
минимально.
Если функции y  f (t ) и y  g (t ) имеют разную монотонность (одна
возрастающая, другая убывающая), то T ( f (ti ))  T ( g (ti ))  n  1 и последовательности
 f (t1 ) f (t2 ) ... f (tn ) 


 противоположнонаправлены
 , 
 . Опять по теореме 1
 g (t ) g (t ) ... g (t ) 
2
n 
 1
число P максимально.
Пример 4. Пусть a, b, c,  ,  ,  , R - длины сторон, углы и радиус описанной
окружности остроугольного треугольника. Доказать неравенство
abc  ( 2 R  1)3  sin  sin  sin   (ac  b sin  )(ba  c sin  )(cb  a sin  )
Решение. Пусть a  b  c . Тогда sin   sin   sin  . По доказанной теореме 1
  
8
b
c   a
b
c 
 a



sin  sin  sin   sin  sin  sin  
(a  sin  )(b  sin  )(c  sin  )  (a  sin  )(b  sin  )(c  sin  ) .
Из теоремы синусов имеем
a
b
c
sin  
, sin  
, sin  
.
2R
2R
2R
Получим
a 
b 
c  
b 
c 
a 

a 
 b 
 c 
  a 
 b 
 c 
,
2 R 
2 R 
2R  
2 R 
2 R 
2R 

abc(2R  1)3  (a  2 R  b)(b  2R  c)(c  2R  a) ,



c
a
b

abc(2 R  1)3   a 
 bb
 c c 
 a ,
  sin 
 sin 
  sin 

3
Что
и
abc  ( 2 R  1)  sin  sin  sin   (ac  b sin  )(ba  c sin  )(cb  a sin  ) .
требовалось доказать.
a, b, c,  ,  ,  длины сторон и углы остроугольного
Пример 5. Пусть
треугольника. Доказать неравенство
abc  (a cos2   b sin2  )(b cos2   c sin2  )(c cos 2   a sin2  )
Решение. По теореме 1
b
c   a
b
c 
 a


,
 atg 2 btg 2  c tg 2  btg 2  ctg 2 atg 2 
a(1  tg 2 )  b(1  tg 2  )  c(1  tg 2 )  (a  btg 2  )(b  c tg 2 )(c  atg 2 ) ,
abc
 (a  btg 2  )(b  c tg 2 )(c  atg 2 ) ,
2
2
2
cos   cos   cos 
abc  (a cos2   b sin2  )(b cos2   c sin2  )(c cos 2   a sin2  ) . Доказали.
Пример 6. Доказать неравенство
(n  1)n  2n  n ! , где n  N .
Решение. Следует из неравенства
1 2 3 ... n  1 2 3 ... n 



 n n  1 n  2 ...1 1 2 3 ... n 
(n  1)n  2  4  6  8  2n  2n  n!
(n  1)n  2n  n !
Пример 7. Для положительных a, b, c доказать неравенство
(a8  1)(b8  1)(c8  1)  (a 3b5  1)(b3c 5  1)(c 3a 5  1) .
Решение. Рассмотрим возрастающую функцию f (t )  t 3 и убывающую
1
функцию g (t )  5 . По теореме 1.
t
3
3 3
 a b c   a 3 b3 c 3 

 

 1 1 1  1 1 1 ,
 5 5 5  5 5 5
 a b c  b c a 
 3 1  3 1  3 1   3 1  3 1  3 1 
 a  5  b  5  c  5    a  5  b  5  c  5  ,
a 
b 
c  
b 
c 
a 

8
8
8
3 5
3 5
3 5
(a  1)(b  1)(c  1)  (a b  1)(b c  1)(c a  1) . Доказали.
Итак,
9
Заключение
Получены результаты:
a1 a2 ... an 
   a1  b1  a2  b2   an  bn 
1) Пусть P  
b1 b2 ... bn 
Число P максимально, если последовательности разной монотонности, P
минимально, если последовательности одной монотонности;
10
2) Пусть
y  f ( t ), y  g( t ) непрерывные на промежутке
t1 , t 2 , ..., t n - последовательность чисел из промежутка a, b .
 a , b
функции,
Число P   f (t1 )  g(t1 ) f (t2 )  g(t2 )  f (tn )  g(tn ) максимально, если эти
функции разной монотонности, минимально, если они одной монотонности.
3) Доказаны новые неравенства:
n
а)
 a
i 1
б) p3 
 bi     ai  b j     ai  bn1i  ;
n
i
n
n
i 1 j 1
n
n
i 1
( S  arb )( S  brc )( S  cra )
, для элементов треугольника;
ra  rb  rc
в) abc  ( 2 R  1)3  sin  sin  sin   (ac  b sin  )(ba  c sin  )(cb  a sin  ) ;
г) abc  (a cos2   b sin2  )(b cos2   c sin2  )(c cos 2   a sin2  ) ;
д) (a8  1)(b8  1)(c8  1)  (a 3b5  1)(b3c 5  1)(c 3a 5  1) ;
е) (n  1)n  2n  n ! , где n  N .
Остаются не изученными вопросы:
1) При каких условиях для трех последовательностей (для
n
последовательностей) число P максимально (минимально)?
2) Можно ли упорядочить числа Pi (внутри как себя они ведут)?
3) Можно ли доказать некоторые классические неравенства этим методом?
В заключении еще раз хочется добавить, что этим методом можно составить
и решить много новых неравенств.