doc 3,4 МБ

УДК
Графский О.А., Дальневосточный гос. ун-т путей сообщения, г. Владивосток
АНАЛИЗ ПОСТРОЕНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ
На основании применения разработанной методики моделирования и визуализации мнимых элементов [64] предложены способы построения семейств
силовых и эквипотенциальных линий картин электростатического поля двух
равных точечных зарядов (разноименных и одноименных) как в действительной, так и мнимой областях. Только такие полные построения отражают гео
Введение
Основными характеристиками электростатического поля являются напряженность и потенциал. Если напряженность есть величина векторная, которая
определяется в каждой точке значением и направлением, то потенциал, определяемый в конкретной точке некоторым числом, – величина скалярная. Поэтому, электростатическое поле характеризуется совокупностью двух семейств
линий: силовых и эквипотенциальных. Следовательно, моделирование и анализ
полей можно проводить и с конструктивных позиций, то есть графически, и таким образом в более эффективной форме для инженерной практики.
Целью настоящей статьи является выработка рекомендаций необходимых
для построения и анализа электростатических полей в учебном процессе при
изучения картины поля. С точки зрения практического применения результатов
исследования в дальнейшем предусматривается выполнение анализа геометрического моделирования картины электрического поля в камере осаждения износостойких покрытий при использовании ионно-плазменной технологии.
1. Электростатическое поле двух разноименных равных зарядов
Электростатическое поле двух разноименных равных зарядов можно рассматривать как картину поля поперечного перпендикулярного сечения двух-
проводной линии [1] или двух заряженных осей [2]. Подробный анализ такой
картины выполнен в диссертации Н.П. Аникеевой [3], в которой представлены
графические построения силовых и эквипотенциальных линий (рис. 1).
y
gj
ui
Z1
O
x
Z2
Рис. 1. Картина электростатического поля двух одинаковых разноименных
зарядов
Здесь автор рассматривает так называемые «базисные точки»: точки, инцидентные всем кривым пучка силовых линий g
j
и точки, инцидентные всем
i
кривым пучка эквипотенциальных линий u . Для рассматриваемого случая базисными точками пучка силовых линий g
j
являются точки Z1 и Z 2 (место
размещения точечных зарядов) и пара круговых, или циклических точек I

и
I  ; базисными точками пучка эквипотенциальных линий u i являются две пары мнимых точек: одна пара – те же циклические точки I

и I

; вторая пара
мнимые комплексно-сопряженные точки P и Q , которые в работе [3] пред-
ставлены как инцидентные радикальной оси (ось Oy ). Однако эти точки условно показаны на действительной оси ординат. В связи с этим рассмотрим построение этих точек, основываясь на результатах исследования [4]. В первую
очередь необходимо показать, что в данном случае ось ординат – это радикальная ось гиперболического пучка окружностей, которые являются эквипотенциi
альными линиями u .
s
6
y
g
P
u1i
S
1 K
s1
4
5
O
O1 Z1 2
u3i
O3
3 Z 2 O2
u2i
L
x
i
Рис. 2. Построение радикальной оси пучка окружностей u .
С этой целью на рис. 2 проведена вспомогательная окружность s , которая
i
пересекает окружности пучка u (достаточно двух окружностей) в действительных точках. При взаимном пересечении полученных хорд определяется
точка L , через которую проходит радикальная ось (ось ординат Oy ) перпендикулярно линии центров (ось абсцисс Ox ) окружностей рассматриваемого пучка
u i . Для построения мнимых точек пересечения этих окружностей можно воспользоваться построениями Ж.-В. Понселе [5] или А. Реуса, которые приводит
В. Шван [6], либо А.Г. Гирша [7]. На рис. 2 проведена вспомогательная окруж-
i
ность s1 . Здесь через точку K  s1  u1 проведена прямая SP , как это предложено в работе [4]. Либо можно провести дугу окружности g радиусом OK ,
тогда P, Q  g  Oy . Либо применить более простой способ (рис. 3), рассмотренный в работе [4], основанный на построении окружности g1 и прямой линии f1 (либо g 2 и f 2 ).
Геометрический смысл точек P и Q заключается в том, что они являются
мнимыми, поэтому они построены в поле  ir (рис. 3) как мнимые продолжения
i
i
i
i
i
i
i
окружностей пучка u : P, Q  u1ri  u 2ri (или u1ri  u3ri , или u 2ri  u3ri ).
y
g1
u1i
f1
G1
O1 Z1
g2
f2
P
u3i
G2
g
u2i
Z 2 O2
O
r
O3
x
 ri
g
O1 Z1
P
Z 2 O2
O
O3
x
u2i ri
u1iri
u3i ri
Q
yi
Рис. 3. Построение мнимых точек P и Q .
Автором диссертации [3] представлен оригинальный способ построения
окружностей пучка u
i
(эквипотенциальных линий). Здесь рассматривается
гармоническая четверка точек (Z1Z 2 AB )  1 (см. рис. 4) и производится построение с использованием инверсии относительно окружности g радиуса
r  c . Следует заметить, что это является обратной задачей, которую приводит
Н.А. Глаголев [8, c 66]. Кроме того, необходимо отметить, что в этом случае
можно рассматривать гиперболическую инволюцию, в которой точки Z1 и Z 2
являются двойными, а точка O (центр радикальной оси) – центром этой инволюции.
В этих построениях в качестве исходной принимается точка M  g ; здесь
M x  A , M x  B . Но с использованием этой точки, очевидно, можно построить и окружность пучка g
j
i
(пучок силовых линий). Если точка M x  u ,
j
то точка M y  g ; точка M x соответствует точке M x , а точка M y соответствует точке M y , при этом, отрезок [ M x M y ]  M .
Искомая окружность пучка g
j
пройдет через точки M y и M y , так как в
этом случае имеет место эллиптическая инволюция с двумя указанными выше
двойными мнимыми точками P и Q . Точка M y определяется как симметричная точке M y . Геометрический смысл построения точки M y заключается в
проведении касательной M y M 1 к гиперболе g1 , которая является действительной кривой, так как в этом случае окружность g следует рассматривать
как мнимую и инцидентную мнимым точкам P и Q .
Искомая окружность пучка силовых линий g
j
должна пройти и через
точки Z1 и Z 2 ; ее центр O2 является серединой диаметра ( M y M y ). Следует
отметить, что проверкой правильности построений может служить графический
прием по определению точки O2 ([8, c. 67]). Построение этой точки можно
рассматривать как точку пересечения касательной NO2 к окружности пучка u
i
i
j
с осью ординат ( N  u  g ). Так как окружности пучков u и g
j
i
взаимно
ортогональны, то отрезки NO1 и NO2 будут взаимно перпендикулярными.
y
M y
g1
P
My
M1
M
ui
N
M x  B
Mx  A
Z1
Z2
O
x
O1
O2
g
Q
gj
M y
Рис. 4. Построение окружностей пучков u
i
и g
j
по заданной точке
M g
В таком случае аналитические выражения окружностей рассматриваемых
пучков будут иметь следующие выражения:
2
i
– для окружности пучка u :
2
2
2

 c 2  m x2 
c

m
2
x
x
  y 
 ;




2m x 

 2m x 
2
j
– для окружности пучка g :
2

 m 2y  c 2 
m 2y  c 2 
2 
 ,
x  y


 2m y 
2m y 




где m x  OM x ; m y  OM y ; c – радиус окружности g .
Особый смысл приобретают построения силовых и эквипотенциальных
линий, инцидентных произвольной точки поля (например, точка N на рис. 5).
y
g Nj
g1
P
P2
g
N
O2
N
K2
P1
Q1
K1
Z 2 O1
M
O
Z1
u iN
x
N 
Q2
Q
M1
Рис. 5. Построение окружностей пучков u
Ng
i
и g
j
по заданной точке
j
i
В этом случае задача сводится к построению точек N   u N и N   g N .
Точка N  определяется как четвертая гармоническая к точкам P1 , Q1 , N . Здесь
можно рассматривать гиперболическую инволюцию с двойными действительными точками P1  g и Q1  g (в направлении ON ). Для построения окружj
ности g N  N используется эллиптическая инволюция. Здесь точки P1 , Q1 и
окружность g рассматриваются как мнимые, инцидентные полю  ri . Поэтому
j
точка N   g N определяется как симметричная точке N  относительно центра
инволюции O на диаметре P1 Q1 окружности g . В этом направлении строится
гипербола g1 , которая является «действительным продолжением» мнимой
i
окружности g . Если при построении окружности u N рассматривается касаj
тельная NM к окружности g , то при построении окружности g N – касательная NM 1 к гиперболе g1 . При таком построении получаем ту же точку N 
( N   M 1 N   P1Q1 , где M 1 N   P1Q1 ).
В заключение анализа поля двух разноименных равных зарядов покажем
на рис. 6 изображение образов пучков силовых g
линий в квадратичном поле
j
и эквипотенциальных u
i
 q (O~
x~
y ) , на осях которого координаты точек
x  x2 ; ~
y  y2.
принимают следующие значения: ~
~ j проходят через
Как видно из представленного рисунка, образы пучка g
~
~
пару собственных действительных совпавших точек Z1  Z 2 , а образы пучка
~ ~
u~ i – через пару собственных мнимых совпавших точек P  Q . Кроме того,
оба этих пучка проходят через одну пару совпавших в квадратичном поле мни-
~
мых несобственных точек I
~
~
 I  , которые также инцидентны прямой g –
образа действительной окружности g .
~
y
g~ j
u~ i
~ ~
P Q
~
x
~ ~
Z1  Z 2
g~
Рис. 6. Образы пучков силовых и эквипотенциальных линий в квадратичном поле.
2. Электростатическое поле двух одноименных равных зарядов
Для случая одноименных, например положительных, равных зарядов Z1 и
Z 2 семейством силовых линий будут являться равносторонние гиперболы g j ,
i
семейством эквипотенциальных линий u – овалы Кассини; эти пучки также
взаимно ортогональны [1, 2, 3, 9]. В работе [3] рассматриваются характеристики этих кривых линий, но не исследован с конструктивных позиций вопрос их
построения (рис. 7).
В первую очередь покажем построение мнимых точек P и Q , которые
вместе с точками Z1 и Z 2 являются общими (базисными) для гипербол, являющиеся композициями силовых линий. Уравнение этих линий имеет следующий вид [10, с. 203]:
x 2  2 xy ctg  y 2  a 2 ,
где угол  принимает значения от 0 до  .
Помножим левую и правую части этого уравнения на величину, равную
i 2  1 :
( xi ) 2  2 xi  yi  ctg  ( yi ) 2  a 2 ,
или, с учетом подстановки ix  xi , iy  y i ,
xi2  2 xi yi  ctg  yi2  a 2 .
Таким образом, пришли к переменным x i , y i и тем самым к координатам
точек образов в поле моделирования МЭ  i (Ox i yi ) . В этом поле также получим пучок гипербол, но пересекающихся в точках с координатами
P( xi  0; yi  c) ,
Q( xi  0; yi  c) ,
или
P( x  0; y  ci ) ,
Q( x  0; y  ci ) . Компьютерная реализация полученных точек на примере
взаимного пересечения двух гипербол представлена на рис. 8.
Рис. 7. Электростатическое поле двух положительных
равных зарядов (ксерокопия из работы [3]).
с
P
O
xi
с
Q
yi
Рис. 8. Построение мнимых точек пересечения силовых линий.
Вторым важным вопросом является построение любой из гипербол пучка
силовых линий. Так как каждая ветвь гипербол инцидентна точке Z1 или Z 2 ,
то достаточно рассмотреть только одну ветвь (рис. 9).
С этой целью через начало координат необходимо провести прямую линию l , которая определит направление мнимой оси гиперболы, а через точку
Z 2 – прямую Z 2 M // l . Тогда точки Z 2 и M будут расположены симметрично относительно действительной оси гиперболы. Построение точки S для
определения действительной оси OS можно произвести способом, предложенным в работе [4]: M1  l ; 1M  1S . Этим способом определяется любая точка
рассматриваемой ветви гиперболы; точки второй ветви определяются аналогичным образом или с использованием осевой симметрии. Следовательно, все
силовые линии g
j
можно определить конструктивным способом.
y
m
M
S
1
Z1
O
Z2
x
1
Рис. 9. Построение гиперболы пучка силовых линий
i
Рассмотрим аналогичные вопросы по отношению к пучку u эквипотенциальных линий, которые являются кривыми четвертого порядка и представляют
собой софокусные овалы Кассини
( x 2  y 2 ) 2  2c 2 ( x 2  y 2 )  a 4  c 4 ,
где с – полуфокусное расстояние ( OJ 1  c , OJ 2  c ; точки, в которых размещаются точечные заряды Z1 и Z 2 соответственно совпадают с фокусами J 1
2
и J 2 ); a – параметр, который связан с соотношением NJ 1  NJ 2  a ([9, с.
147], здесь точка N принадлежит овалу Кассини).
С точки зрения инженерной практики важно по одной заданной точке N
и установленному положению зарядов ( Z1  J1 и Z 2  J 2 ) определить прохождение эквипотенциальной линии как линии равного потенциала из всего
семейства овалов Кассини. В связи с этим геометрическая задача сводится к
определению параметра a и вершины овала (дальнейшие построения известны
[9, с. 149–150]).
В соответствии с исследованиями Ж.-В. Понселе [5], рассмотрим прямолинейный отрезок J 1 J 2 как диаметр окружности s ; здесь NJ 2  NJ 2 и
N  m (рис. 10).
L
y
l N
1
m
N
J2
N2
L
J1  Z1
O
J 2  Z2
~
L
A
~
A
x
Рис. 10. Определение данных для построения овала Кассини.
2
Тогда J 1 N  NJ 2  ( NL ) , где NL   J 1 J 2 , L  s . Следовательно, этими построениями представляем геометрический характер величины a , т. е.
a  NL . Для построения овала необходимо знать положение его вершины
A( x; y  0) , где x1,2   c 2  a 2 , x3,4   c 2  a 2 . Рассмотрим пример
действительных значений для параметра a  c и c  1 . В таком случае, по-
строим
точки
~
L
и
~
A;
здесь
~
OL  (OL ) 2  ( NL ) 2  a 2 ,
~
~
OA  (OF2 ) 2  OL  c 2  a 2 , следовательно, OA  c 2  a 2 . Таким образом, этими построениями получена одна из вершин (точка A ) овала Кассини.
Проверкой может служить известный способ построения точек, инцидентных
овалу по заданной его вершине и полуфокусному расстоянию [9, с. 149–150]. В
соответствии с рис. 10 отмечаем, что AN 1  J1 N и AN 2  J 2 N ; все три точки ( A, N1 , N 2 ) инцидентны прямой линии l .Второй важной интерпретацией
является определение базисных точек пучка овалов Кассини. Эти кривые бициркулярные, т. е. дважды проходящие через мнимые циклические точки I

и
I  [9, 11]. Интерпретацию такого положения рассмотрим в квадратичном поле
 (O~
x~
y ) ; на рис. 11 дана метрическая модель, а на рис. 12 – проективная.
q
~
y1
~ ~
A1  A2
~
y
~ ~
B1  B2
~
x1
~ ~
A1  A2
O
~
x
~ ~
J1  J 2
~ ~
B1  B2
~ ~
J1  J 2
Рис. 11. Образы овалов Кассини в квадратичном поле
(метрическая модель)
~
Y
~
y
~
l
~
~
x X
O
~ ~
J1  J 2
~ ~
J1  J 2
~
~
~
C  I   I 
~ ~ ~
lo  so  so
Рис. 12. Проективная модель интерпретации овалов Кассини.
В квадратичном поле образами всех овалов Кассини являются параболы
(~
x~
y ) 2  2c 2 ( ~
x~
y)  a4  c4,
x1 ~
y1 ), повернутой на угол
которые в новой системе координат ( O~
следующий вид:
~
x12
a4  c4
~
.
y1 

2 2c 2 c 2 2

4
, имеют
Ветви парабол с двух сторон подходят к образам циклических точек
~
~
~
~
С   I   I  , замыкаясь на них. Точку С  следует считать как двойную, а
каждую в отдельности точку I

и I

как двукратную.
Необходимо отметить, что предложенным методом можно интерпретировать еще одну пару фокусов J 1 и J 2 , которые совпадают с указанными выше
мнимыми точками P и Q взаимного пересечения пучка гипербол. Таким образом, пучок силовых линий (гиперболы) проходит через два действительных фокуса и два мнимых фокуса эквипотенциальных линий (овалы Кассини).
В заключение на рис. 13 приведем прохождение пучка эквипотенциальных
линий как через действительную область (поле
 r ), так и через мнимые обла-
сти (поля  ir ,  i ,  ri ). По изображению мнимых ветвей овалов Кассини в поле  ri можно отчетливо представить как прохождение их через циклические
точки, так и взаимное пересечение любой пары овалов, которое находится в
полном соответствии с теоремой Безу.
На полях
 r ,  ir ,  i ,  ri совокупность силовых линий не показана, но
можно проследить следующий факт. Среди всех гипербол (рис. 7) рассмотрим
такую, вершины которой инцидентны заданным точечным зарядам. Тогда такая
гипербола будет иметь мнимое продолжение в поле  ri . Это будет окружность,
проходящая через действительные и мнимые фокусы овалов Кассини. Указав
на этой окружности стрелки от точек J 1 и J 2 , отмечаем, что они будут
направлены в точки J 1 и J 2 . Эта окружность имеет мнимое продолжение в
поле  i , в котором она имеет вид равносторонней гиперболы с вершинами в
мнимых фокусах.
Следовательно, на рис. 8 на гиперболах как на парной совокупности силовых линий так же нужно показать стрелки, как если бы в поле  i были размещены отрицательные заряды.
Поле  ir
Поле  r
y
B1
A1
B1
A2
A1
A2
J1
O
xi
J2
O
B2
Поле  ri
B2
I
B2
J1
J1
A1
A2
A2
J1
J2
O
O
J2
B1
x
B2
Поле  i
xi
y
A1
x
J2
yi
B1
yi
I
Рис. 13. Полная модель интерпретации пучка эквипотенциальных линий
Заключение
На основании применения разработанной методики моделирования и визуализации мнимых элементов предложены способы построения семейств силовых и эквипотенциальных линий картин электростатического поля двух равных
точечных зарядов (разноименных и одноименных) как в действительной, так и
мнимой областях. Только такие полные построения отражают геометрический
смысл картины поля в целом. Результаты исследований внедрены в учебный
процесс на кафедре «Электротехника, электроника и электромеханика»
(ДВГУПС, Хабаровск).
Библиографический список
1. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле / Л.А. Бессонов. – М.: Гардараки., 2001. – 317 с.
2. Татур, Т.А. Основы теории электромагнитного поля / Т.А. Татур. – М.:
Высш. шк., 1989. – 271 с.
3. Аникеева, Н.П. Геометрическое моделирование картины электрического
поля в камере осаждения износостойких покрытий: Дис. … канд. техн. наук /
Н.П. Аникеева. – М., 1998. – 127 с.
4. Графский, О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости: Монография / О.А. Графский. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. – 161 c.
5. Poncelet, J.-V. Traitè des propriètès projectives des figures / J.-V. Poncelet //
Applications ďAnalyse et des Gèomètrie. – Paris, 1862. – Т.1. – 563 p., 1864.– T. 2.
– 602 p.
6. Шван, В. Элементарная геометрия. Геометрия на плоскости / В. Шван;
Пер. с нем. – М.: Гос. учебно-пед. изд-во, 1937. – Т. 1. – 400 с.
7. Гирш, А.Г. Точки пересечения и общие касательные двух окружностей /
А.Г. Гирш // Начертательная геометрия и машинная графика в практическом
решении инженерных задач: Межвузовский тематический сб. науч. тр./ ОмПИ.
– Омск, 1987. – С. 53–57.
8. Глаголев, Н.А. Проективная геометрия / Н.А. Глаголев. – М.: Высш. шк.,
1963. – 344 с.
9. Савелов, А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения:
Справочное рук. / А.А. Савелов; Под ред. А.П. Нордена, – М.: Гос.изд-во физико-мат. лит., 1960. – 293 с.
10. Милн-Томсон, Л.М. Теоретическая гидродинамика / Л.М. МилнТомсон; Под ред. Н.Н. Моисеева; Пер. с англ. – М.: Мир, 1964. – 655 с.
11. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований)/ Г.С. Иванов. – М.:
Машиностроение, 1987. – 192 с.