3Случайные величины 72

3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
3.1. Основные понятия
Определение. Случайной величиной X называется функция X  
элементарного события  с областью определения  и областью значений
R 1 , такая что при любом действительном x  R1 событие  : X ( )  x
принадлежит  - алгебре S . Значения x функции X   называются
реализациями случайной величины X  .
Замечание. Случайные величины будем обозначать прописными
латинскими буквами X , Y , Z ,
их возможные значения (реализации) соответствующими строчными буквами x, y , z .
Определение. Совокупность всех реализаций случайной величины
называется спектром.
Определение. Спектр называется дискретным, если все его элементы
образуют конечное или счетное множество, и непрерывным в противном
случае.
Определение. Случайная величина, имеющая дискретный спектр,
называется дискретной.
Дискретные случайные величины принимают конечное или счетное
множества значений. Пусть X - дискретная случайная величина,
принимающая значения x1  x2  x3  ... с вероятностями p1 , p 2 , p3, ... .
Пример. Если опыт G состоит в бросании наугад двух монет, то число
выпавших «орлов» есть случайная величина X   с дискретным спектром
0,1,2 ,
а расстояние между центрами упавших монет является случайной
величиной Y   с непрерывным спектром 0  y   .
Определение. Законом распределения случайной величины называется
любое правило, позволяющее находить вероятности всевозможных событий,
связанных со случайной величиной.
Законом распределения дискретной случайной величины называется
всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными
значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.
Закон распределения случайной величины можно задать табличным,
графическим и аналитическим способом.
Закон распределения дискретной случайной величины X определен,
если известны все x n и вероятности pn  PX  xn  такие, что
p1  p2  p3  ...  1 . Если составить таблицу, в верхней строке которой
поместить значения дискретной случайной величины, а в нижней –
соответствующие вероятности, то получим ряд распределения случайной
величины. Сумма вероятностей, записанных во второй строке таблицы,
72
должна быть равна 1, так как события X  x0 ,..., X  xn  несовместны и
образует полную группу.
xi
x1
pi
p1
…
…
n
xn
 pi  1 .
pn
i 1
Ряд распределения можно задать графически (рисунок 3.1), если по оси
OX отложить значения случайной величины, а по оси OY - вероятности
этих значений.
Y
pn1
p2
p1
x1
x2
xn1
xn
Рисунок 3.1
Получили
ломаную,
которая
называется
многоугольником
распределения вероятностей. Сумма ординат многоугольника равна
единице. Это свойство многоугольника распределения является
определяющим.
Если в прямоугольной системе координат дана некоторая ломаная,
удовлетворяющая определению функции и обладающая указанным выше
свойством, то такая ломаная задает закон распределения некоторой
случайной величины.
3.2. Функция распределения вероятностей и её свойства
Определение.
 : X ()  x
функция
Рассмотрим
вероятность
P : X    x 
события
для различных x  R . Величина F0 x   P : X    x  как
1
x называется функцией распределения случайной величины X   .
73
Замечание. Данная вероятность
F x  определена, поскольку
рассматриваемые
события
принадлежат
классу
Будем
S.
обозначать X  X ( ) ,  : X ( )  x  X  x. При этом F ( x)  P X  x  .
Замечание. Функция распределения является разновидностью закона
распределения для случайных величин всех типов и однозначно определяет
случайную величину. Поэтому далее вместо фразы «случайная величина,
имеющая функцию распределения F x  » часто используется термин
«распределение».
Определение. Случайная величина X с непрерывной функцией
распределения F x  называется непрерывной.
Свойства функции распределения.
1. F x  определена для всех x  R1 , что следует из определения F (x) ;
2. 0  F ( x)  1 для всех
x  R1 , поскольку
F x   P( X  x)
, а
0  P( X  x )  ;
3. Функция распределения F x  является неубывающей и для   
P(  X   )  F ( )  F ( ) .
Доказательство. Рассмотрим события:
A : X   ,
B : X   ,
C :   X   .
Найдем вероятности этих событий:
P( A)  P( X   )  F ( ),
P( B)  P( X   )  F (  ),
P(C )  P(  X   ).
X
Поскольку
B  AC ,
т.е.
X     X      X   
и
то
или
    X      ,
P( B)  P( A)  P(C )
F ( )  F ( )  P(  X   ) . Отсюда P(  X   )  F ( )  F ( ) .
Так как P(  X   )  0 , то F ( )  F ( ) следовательно
F x  - неубывающая.
3. Если F x  - функция распределения, то lim F ( x)  0, lim F ( x)  1 .
x 
x 
Доказательство. Так как F x  - монотонна и ограничена, то существует, в
силу предполагаемой непрерывности F x  можно записать:
74
а) lim F ( x)  lim P( X  x)  P( X   ) . Но т.к.
x 
x 
X     ,
то
P( X  )  0 и тогда lim F ( x)  0 ;
x  
б)
lim F ( x)  lim P( X  x)  P( X   ) . Но т.к.
x 
x 
X     ,
то P( X  )  1 и тогда lim F ( x)  1 .
x 
4. PX  x  1  F x  .
Событие  : X    x является противоположным событию  : X    x
и, следовательно, PX  x  1  PX  x  1  F x  .
5.Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной
величины равна 0.
Доказательство. Рассмотрим lim P(  X   )  lim ( F (  )  F ( )) .
 
lim P(  X   )  P( X   ) , а
 
 
lim ( F (  )  F ( ))  0 , т.к.
 
F (x) -
непрерывна. Итак, получили, что P( X   )  0 .
Тогда
равенство
P(  X   )  P( X   )  P(  X   ) можно
преобразовать к
следующему виду P(  X   )  F ( )  F ( ) , т.к.
P( X   )  0 и P(  X   )  F ( )  F ( ) .
Следствие.
P(  X   )  P(  X   )  P(  X   )  P(  X   ) .
6. F x  – непрерывная слева функция, т.е.:
F ( x)  lim F ( x  ) , где   0 .
 0
Для доказательства свойства 6 рассмотрим бесконечно убывающую
монотонную
положительную
последовательность
чисел
и
обозначим
через
событие
1   2  ...   n  ...
An
An   : x   n  X    x, n  1,2,... . Очевидно, An1  An и пересечение
всех событий An является событием невозможным (не существует такого

   , что x   n  X    x для любых n ),  An   .
n 1
По
аксиоме
непрерывности,
свойству P An   F x   F x   n  .
Таким образом, получаем
lim P An   P  0 ,
n
75
но
согласно
0  lim P An   lim F x   F x   n   F x   lim F x   n  ,
n
n
n
откуда lim F x   n   F x  .
n
Рассмотрим функцию распределения F (x) для дискретной случайной
величины X . Если x  x1 , то F ( x)  PX  x  0 , так как в этом случае
событие X  x является невозможным. Если x1  x  x2 , то событие
X  x наступит тогда и только тогда, когда наступит событие X  x1 ,
поэтому F ( x)  PX  x  PX  x1   p1 . Если x2  X  x3 , то событие
X  x равно сумме событий X  x  и X  x 
1
2
и
F ( x)  PX  x  PX  x1  PX  x2   p1  p2 и т.д.
то
Если
xn1  x  xn ,
F ( x)  p1  p2  ...  pn1 .
x  xn ,
то F ( x)  p1  p2  ...  pn  1
Таким образом, функция распределения дискретной случайной
величины равна
F ( x )   pi ,
Если
xi  x
где pi  PX  xi и суммирование производится по тем i , для которых
xi  x .
если
x  x1 ,
0,

если x1  x  x2 ,
 p1 ,
 p1  p 2 ,
если x2  x  x3 ,
F ( x)  
.......... .......... .......... .......... .......
 p1  p 2  ...  p n1 ,
если x n1  x  xn ,

если x  xn .
1,
Функция распределения дискретной случайной величины постоянна на
x1 , x2 , x3 ,... функция распределения имеет
1
1
2
i
i 1
скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет
соответствующее значение.
Пример. Найдем функцию распределения случайной величины, равной
числу выпадений «герба» при бросании двух монет.
Решение. Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2 с
вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно. Функция распределения при
x  0 равна нулю. В точке x  0 она имеет скачок, равный 1/4, в точке x  1
— скачок, равный ,1/2, и в точке x  2 — скачок, равный 1/4. Между этими
 ; x , x ; x ,..., x ; x  . В точках
76
точками функция распределения постоянна. При x  2 функция F ( x)  1 .
Таким образом,
0, если x  0;
1
 , если 0  x  1;

F ( x)   4
 3 , если 1  x  2;
4
1, если x  2.

График функции F (x) изображен на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2
Если по оси абсцисс отложить
x1 , x2 , x3 ,..., а по оси ординат –
соответствующие вероятности p1 , p 2 , p3, ... и соединить соседние точки
отрезками, то получим многоугольник распределения случайной величины X.
Многоугольник распределения – это графическое изображение ряда
распределения дискретной случайной величины. На рисунке 3.3 приведен
многоугольник распределения случайной величины, равной числу
выпадений «герба» при подбрасывании двух монет.
Рисунок 3.3
77
3.3 Плотность распределения случайной величины
и ее свойства
Определение. Плотностью распределения (плотностью вероятности)
случайной величины называется неотрицательная кусочно-непрерывная
функция f x  , для которой при любом x  R1 выполняется равенство
x
F ( x) 
 f (t )dt .

Определение. Случайная величина, у которой существует плотность
вероятностей, называется абсолютно непрерывной.
Кроме абсолютно непрерывных случайных величин, существуют
непрерывные случайные величины, называемые сингулярными, которые не
имеют плотности вероятности. В дальнейшем такие случайные величины не
рассматриваются, и под непрерывными случайными величинами понимаются
абсолютно непрерывные случайные величины.
Замечание 1. Плотность вероятности является разновидностью закона
распределения для непрерывных случайных величин.
Замечание 2. Рассмотрим непрерывную случайную величину с
функцией распределения F (x) , относительно которой будем предполагать,
что она непрерывна и дифференцируема в исследуемом интервале.
Рассмотрим вероятность попадания значений случайной величины в
интервал ( x; x  x) :
P( x  X  x  x)  F ( x  x)  F ( x) .
Определим вероятность, которая приходится на единицу длины
рассматриваемого интервала:
P( x  X  x  x) F ( x  x)  F ( x)

.
x
x
Перейдем к пределу при x  0 :
P( x  X  x  x)
F ( x  x)  F ( x)
 lim
 F ( x)  f ( x) .
x
x
x0
x0
lim
Таким образом, f x  аналогична плотности массы в механике, где роль
f 0 ( x)   , то из формулы для
производной F '0 ( x)  f ( x) , получаем, что Px  X  x  x   0 при
x  0 . Следовательно, для непрерывной случайной величины
вероятности играет масса. Далее, если
78
P X  x   0 , т.е. вероятность того, что непрерывная случайная величина X
примет в опыте некоторое наперед заданное значение x , равна нулю.
Замечание 3. Для характеристики дискретной случайной величины f x 
неприменима, т.к. для существования f x  требуется непрерывность и
дифференцируемость функции F (x) , а для дискретной случайной величины
эти требования не выполняются.
График f x  называется кривой распределения.
Свойства функции плотности f x  .
1. f ( x)  0 для всех x  R1 .
Неотрицательность
плотности
определения.
вытекает
непосредственно
из

2.  f (t )dt  P  X    .

Доказательство. Действительно,





 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt  F (  )  F ( )  P  X    .


3.  f ( x)dx  1 (условие нормировки).

Доказательство.



  
 
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim ( F (  )  F ( )) 
 
 
 lim F (  )  lim F ( )  1  0  1.
 
Поскольку
x
F ( x)   f (t )dt ,
 
то
по
свойству
F x 
получаем


 f (t )dt  F ()  1 .

4. Пусть случайная величина Y   (X ) , где  (x) - строго
возрастающая функция скалярного аргумента x , а X – непрерывная
случайная величина с плотностью f x  . Тогда плотность распределения
случайной величины Y
f1  y  имеет вид
79
f1 ( y)  f X ( ( y)) ' ( y) , где
 ( y)   1 ( y) - обратная по отношению к  (x) функция. Действительно,
согласно определению функции распределения
FY ( y )  P  X   y  

 P X 
1
 ( x),  1 ( x)
строго возрастающие

 y    f ( x)dx 
 1 ( y )

y
замена переменной

  f ( (t )) ' (t )dt.
x на t , x   (t )

Наконец, из замечания следует
d y
(  f X ( (t ))' (t )dt)  f X ( ( y))'  ( y) .
dy 
Пусть теперь Y   (X ) , где  (x) - строго убывающая по x , тогда
f Y ( y)  F ' y ( y) 


F ( y )  P ( X )  y  P X   1 ( y ) 



 1 ( y )

y
y

f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt  1   f ( (t )) ' (t )dt;
y
d
(1   f X ( (t )) ' (t )dt )   f X ( ( y)) ' ( y).
dy

Окончательно для строго монотонной функции  (x) получаем
f ( y) 
f ( y)  f X ( ( y)) ' ( y) .
3.4. Операции над случайными величинами
Вначале введем понятие независимости случайных величин.
Определение. Две случайные величины называются независимыми,
если закон распределения одной из них не меняется от того, какие
возможные значения приняла другая величина.
Так, если дискретная случайная величина X может принимать
значения x i ( i  1,2,..., n ), а случайная величина Y - значения
y j ( j  1,2,..., m) , то независимость дискретных случайных величин X и Y
означает независимость событий X  xi и Y  y j при любых i  1,2,..., n и
j  1, 2 ,...,m . В противном случае случайные величины называются
зависимыми.
Например, если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то
случайные величины X и Y , выражающие соответственно выигрыш по
каждому билету (в денежных единицах), будут независимыми, так как при
80
X  xi ) закон
распределения выигрыша по другому билету (Y ) не изменится. Если же
случайные величины X и Y выражают выигрыш по билетам одной
денежной лотереи, то в этом случае X и Y являются зависимыми, ибо
любой выигрыш по одному билету ( X  xi ) приводит к изменению
вероятностей выигрыша по другому билету (Y ) , т.е. к изменению закона
распределения Y .
Дадим определение операциям над дискретными случайными
величинами:
- произведением случайной величины X на постоянную величину k
называется случайная величина kX , которая принимает значения kxi с теми
любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при
же вероятностями pi (i  1,2,..., n) ;
- m  й степенью случайной величины
X , т.е. X m , называется
случайная величина, которая принимает значения xim с теми же
вероятностями pi (i  1,2,..., n) ;
- суммой (разностью или произведением) случайных величин X и Y
называется случайная величина, которая принимает все возможные значения
вида xi  y j , ( xi  y j или xi  y j ), где i  1,2,..., n и j  1,2,...,m , с
вероятностями p ij того, что случайная величина X примет значение x i , а
Y - значение y j :



pij  P  X  xi  Y  y j .
Если случайные величины X и Y независимы, т.е. независимы любые
события X  xi  и Y  y j , то по теореме умножения вероятностей для

независимых событий



pij  P X  xi  P Y  y j  pi  p j .
Замечание. Приведенные
выше
определения
операций
над
дискретными случайными величинами нуждаются в уточнении, так как в
ряде случаев одни и те же значения xim , xi  y j , xi  y j могут получаться
разными способами при различных значениях x i , y j , вообще говоря, с
различными вероятностями p ij , которые складываются.
81
3.5 Числовые характеристики случайных величин
Определение.
Неслучайная

m X  M ( X )   xf ( x)dx
называется
постоянная
математическим
величина
ожиданием

непрерывной случайной величины X .
Величину M  X  иногда называют средним значением случайной
величины X . Размерность M  X  совпадает с размерностью случайной
величины X .
Замечание 1. Для дискретной случайной величины X под
математическим ожиданием понимается величина
n
m X  M ( X )   pi xi , где pi  P X  xi  .
i 0
Замечание 2. Для случайной величины Y   (X ) математическое

ожидание вычисляется следующим образом: M ( ( X ))    ( X ) f ( x)dx , если


интеграл
  ( X ) f ( x)dx
сходится. Доказательство этого факта основано на

сведениях из математического анализа.
Определение. Дисперсией D X  случайной величины X называется
математическое ожидание квадрата её отклонения от математического
ожидания:
D X   M ( X  M ( X )) 2 .
Замечание. Дисперсия D X  характеризует степень рассеивания
реализаций случайной величины X около ее математического ожидания.
Размерность дисперсии совпадает с размерностью случайной величины X 2 .
Определение.
Среднеквадратическим
отклонением
случайной
величины X называют величину   X    X  D X   0 .
Определение.
Случайная
центрированной, а X 1 
величина
X  M (X )
X0  X  M (X )
называется
называется нормированной.
X
3.5.1.Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой
постоянной:
82
M C   C .
Постоянную величину C можно рассматривать как величину,
принимающую значение C с вероятностью 1. Поэтому по определению
M C   C 1  1 .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания, т.е.
M kX   kM  X  .
Так как случайная величина kX принимает значения kxi с
вероятностью
n
n
i 1
i 1
p i ( i  1,2,..., n ), то M kX    kxi  pi  k  xi pi kM  X  .
3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа
случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.
M  X  Y   M  X   M Y  .
Пусть даны две независимые случайные величины X и Y
xi
x1
pi
p1
yj
y1
pj
p1
…
…
n
xn
…
…
 pi  1 ,
pn
i 1
ym
 pj 1.
m
j 1
pm
В соответствии с определением суммы и разности случайных величин
X  Y ( X  Y ) представляют случайную величину, которая принимает
значения xi  y j , ( xi  y j ), где i  1,2,..., n и j  1,2,...,m , с вероятностями



pij  P  X  xi  Y  y j  pi p j .
Поэтому
n m


n m
n m
i 1 j 1
i 1 j 1
M  X  Y     xi  y j p ij    xi p ij    y j p ij 
i 1 j 1
n
m
m
n
n
m
i 1
j 1
j 1
i 1
i 1
j 1
  x i p i  p j   y j p j  p i   xi p i   y j p j  M ( X )  M (Y ).
83
Так как в первой двойной сумме x i не зависит от индекса j , по
которому ведется суммирование во второй сумме, и аналогично во второй
двойной сумме y j не зависит от индекса i и
n
m
i 1
j 1
 pi  1 ,  p j  1 .
4. Математическое ожидание произведения конечного числа
независимых случайных величин равно произведению их математических
ожиданий, т.е.
M  X  Y   M  X  M Y  .
В соответствии с определением произведения случайных величин X  Y
представляет случайную величину, которая принимает значения xi  y j , где



i  1,2,..., n и j  1,2,...,m , с вероятностями pij  P  X  xi  Y  y j , причем
в силу независимости X и Y pij  pi p j .
Поэтому
M  X  Y     x i  y j p ij    x i y j p i p j   x i p i  y j p j  M  X  M Y  .
n m
n m
n
m
i 1 j 1
i 1 j 1
i 1
j 1
5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на
постоянную C , то на эту же постоянную C увеличится (уменьшится)
математическое ожидание этой случайной величины.
M X  C   M X   C .
Учитывая свойства математического ожидания, получим
M  X  C   M  X   M C   M  X   C .
6. Математические ожидания центрированной
и нормированной
 X  M (X ) 
  0 .
случайных величин равны нулю: M ( X  M ( X ))  0 и M 
X


Доказательство. Пусть математическое ожидание M  X   a . Тогда
получим
M X  a  M X   a  a  a  0 ;
 X a
1
1
 
M 
M ( X  a) 
0  0 .
X
 X  X
3.4.2. Свойства дисперсии случайной величины
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю DC   0 .
DC   M (C  M (C )) 2  M (C  C ) 2  M 0  0 .
84
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя
его при этом в квадрат: D(kX )  k 2 D( X ) .
Учитывая свойство математического ожидания, получим:
D(kX )  M (kX  M (kX )) 2  M (kX  kM ( X )) 2  k 2 M ( X  M ( X )) 2  k 2 D( X )
3. Дисперсия
случайной
величины
равна
разности
между
математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её
математического ожидания:
2
D( X )  M X 2   M  X  .
Или
D( X )  M  X 2   a 2 , где a  M (X ) .
Доказательство. Пусть M ( X )  a .
Тогда D( X )  M ( X  a) 2  M ( X 2  2aX  a 2 ) . Учитывая, что a - величина
постоянная, неслучайная, найдем
D( X )  M X 2   2aM ( X )  a 2  M ( X 2 )  2a  a  a 2  M ( X 2 )  a 2 .
4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых
случайных величин равна сумме их дисперсий:
D( X  Y )  D X   DY  .
Доказательство.
D( X  Y )  M ( X  Y ) 2  M  X  Y 2  M ( X 2  2 XY  Y 2 )  M  X   M Y 
Обозначая M ( X )  a x , M (Y )  a y и учитывая, что для независимых
2
случайных величин M  X  Y   M  X  M Y  , получим:
D( X  Y )  M ( X 2 )  2a x a y  M (Y 2 )  a x2  2a x a y  a y2 
 M X 2   a x2   M Y 2   a y2   D X   DY .
Обращаем внимание на то, что дисперсия как суммы, так и разности
независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий, т.е.
D( X  Y )  D( X  Y )  D X   DY  .
5. Дисперсия центрированной случайной величины равна D(X ) .
Доказательство.
D( X  M ( X ))  D( X  a)  D( X )  D(a)  D( X )  0  D( X ) .
6. Дисперсия нормированной случайной величины равна 1.
Доказательство.
 X  M (X ) 
1
1
1
  2 D( X  M ( x))  2  D( X )  2   X2  1 .
D




X
X
X
X


85
Определение. Модой Mo(X ) случайной величины X называется её
наиболее вероятное значение (для которого вероятность p i или плотность
вероятности f x  достигает максимума).
Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в
одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.
Определение. Медианой Me( X ) непрерывной случайной величины X
называется такое её значение, для которого
1
P( X  Me X )  P( X  Me( X ))  .
2
Квантилем уровня q (или q - квантилем) называется такое значение x q
случайной величины, при котором функция её распределения принимает
значение, равное q , т.е.:
 
F x q  P( X  x q )  q .
Под 100q% - ной точкой подразумевается квантиль x1 q , т.е. такое
значение случайной величины X , при котором P( X  x1 q )  q
Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что
введенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, т.е.
Me( X )  x0, 5 . Квантили x0 , 2 5 и x 0 , 7 5 получили название соответственно
верхнего и нижнего квартилей.
Определение . Начальными v r и центральными  r моментами порядка
r (r  1,2,...) непрерывной случайной величины X называются величины




 r  M ( X r )   x r f ( x)dx;  r  M ( X  M ( X )) 2   ( x  M ( X )) r f ( x)dx.
Замечание. Для дискретной случайной величины интегралы заменяются
суммами:
n
n
k 0
k 0
 r   xkr pk ,  r   ( xk  M ( X )) r p k .
Замечание. Центральный момент второго порядка
дисперсией случайной величины X
 2  M ( X  M ( X )) 2  D( X ) .
 2 является
Центральные моменты  r могут быть выражены через начальные
моменты v r по формулам:
86
1  0,
 2   2  12 ,
 3   3  3 1 2  2 13 ,
 4   4  4 1 3  6 12 2  3 14
и т.д.
Например,
 3  M ( X  a) 3  M ( X 3  3aX 2  3a 2 X  a 3 ) 
 M ( X 3 )  3aM ( X 2 )  3a 2 M ( X )  a 3 
  3  3 1 2  3 12 1  13   3  3 1 2  2 13
(при выводе учли, что  1  M ( X )  a - неслучайная величина).
Выше отмечено, что математическое ожидание M (X ) , или начальный
момент первого порядка, характеризует среднее значение или положение
распределения случайной величины X ; дисперсия D(X ) , или центральный
момент второго порядка  2 , - степень рассеяния распределения X
относительно M (X ) . Для более подробного описания распределения служат
моменты высших порядков.
Центральный момент третьего порядка  3 служит для характеристики
асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба
случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, её делят на
 3 , где  - среднее квадратическое отклонение случайной величины X .
Полученная величина A называется коэффициентом асимметрии
случайной величины:

A  33 .

Если распределение симметрично относительно математического
ожидания, то коэффициент асимметрии A  0 .
Центральный момент четвертого порядка
 4 служит для
характеристики крутости (островершинности или плосковершинности)
распределения.
Эксцессом случайной величины называется число

E  44  3 .

Если распределение симметрично относительно математического
ожидания, то эксцесс E  0 .
Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают
положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным
эксцессом.
87