МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 гx
advertisement
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 4 класс - ЛЬВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 4 класс - ЛЬВЫ 1. В группе из 7 школьников любые двое имеют общего знакомого. Докажите, что из этой группы можно не менее, чем 9 способами выбрать пару знакомых школьников. 1. В группе из 7 школьников любые двое имеют общего знакомого. Докажите, что из этой группы можно не менее, чем 9 способами выбрать пару знакомых школьников. 2. Назовем соседними такие клетки квадрата 44, у которых есть общая сторона или общая вершина. Можно ли так расставить все числа от 1 до 16 в клетках этого квадрата, чтобы разность между числами в любых соседних клетках была не меньше 3? 2. Назовем соседними такие клетки квадрата 44, у которых есть общая сторона или общая вершина. Можно ли так расставить все числа от 1 до 16 в клетках этого квадрата, чтобы разность между числами в любых соседних клетках была не меньше 3? 3. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов. 3. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов. 4. Можно ли разрезать квадрат на 17 прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой? 4. Можно ли разрезать квадрат на 17 прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой? 5. Про натуральное число n известно три факта: 1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно. 2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно. 3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно. Чему может быть равно число n? 5. Про натуральное число n известно три факта: 1) Если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно. 2) Если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно. 3) Если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно. Чему может быть равно число n? 6. В бассейн ведут две одинаковых трубы. Одна труба заполняет бассейн за 3 часа. Сначала включили обе трубы, но через час одна из труб засорилась и через нее вода стала поступать вдвое медленнее. Через сколько времени бассейн заполнится? 6. В бассейн ведут две одинаковых трубы. Одна труба заполняет бассейн за 3 часа. Сначала включили обе трубы, но через час одна из труб засорилась и через нее вода стала поступать вдвое медленнее. Через сколько времени бассейн заполнится? 7. Существуют ли такие натуральные числа a и b, что сумма цифр каждого из чисел a, b, a+b равна 999? 7. Существуют ли такие натуральные числа a и b, что сумма цифр каждого из чисел a, b, a+b равна 999? 8. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две перпендикулярные? 8. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две перпендикулярные? МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 4 класс - ТИГРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 4 класс - ТИГРЫ 1. Назовем соседними такие клетки квадрата 44, у которых есть общая сторона или общая вершина. Можно ли так расставить все числа от 1 до 16 в клетках этого квадрата, чтобы разность между числами в любых соседних клетках была не меньше 3? 1. Назовем соседними такие клетки квадрата 44, у которых есть общая сторона или общая вершина. Можно ли так расставить все числа от 1 до 16 в клетках этого квадрата, чтобы разность между числами в любых соседних клетках была не меньше 3? 2. Чтобы пронумеровать страницы объемистого тома по порядку, начиная с первой, печатник использовал 2010 цифр. Сколько страниц содержит том? 2. Чтобы пронумеровать страницы объемистого тома по порядку, начиная с первой, печатник использовал 2010 цифр. Сколько страниц содержит том? 3. Можно ли разрезать квадрат на 11 прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой? 3. Можно ли разрезать квадрат на 11 прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон вдвое длиннее другой? 4. Среди шести монет есть одна фальшивая, которая на 1 грамм легче настоящих, и одна фальшивая, которая на 1 грамм тяжелее настоящих. Как за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь найти и лёгкую и тяжёлую монеты? 4. Среди шести монет есть одна фальшивая, которая на 1 грамм легче настоящих, и одна фальшивая, которая на 1 грамм тяжелее настоящих. Как за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь найти и лёгкую и тяжёлую монеты? 5. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. 5. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. 6. Определите максимально возможное число, делящееся на 6, которое может быть получено из числа 123…200920102011 вычеркиванием некоторых из его цифр. 6. Определите максимально возможное число, делящееся на 6, которое может быть получено из числа 123…200920102011 вычеркиванием некоторых из его цифр. 7. Как провести на круглом листе бумаги пять отрезков, каждый из которых соединяет две точки на краю листа, чтобы среди частей, на которые эти отрезки делят лист, оказались хотя бы один пятиугольник и хотя бы один четырехугольник? 7. Как провести на круглом листе бумаги пять отрезков, каждый из которых соединяет две точки на краю листа, чтобы среди частей, на которые эти отрезки делят лист, оказались хотя бы один пятиугольник и хотя бы один четырехугольник? 8. На 49 карточках записаны числа от 1 до 49. Карточки выложены в квадрат 77 числами вниз. Известно, что в каждом горизонтальном ряду числа упорядочены по возрастанию слева направо, а в вертикальном – сверху вниз. Можно ли последовательно открыть не более 12 карточек, чтобы найти карточку с числом 25? 8. На 49 карточках записаны числа от 1 до 49. Карточки выложены в квадрат 77 числами вниз. Известно, что в каждом горизонтальном ряду числа упорядочены по возрастанию слева направо, а в вертикальном – сверху вниз. Можно ли последовательно открыть не более 12 карточек, чтобы найти карточку с числом 25? МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 5-6 класс МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 5-6 класс 1. В группе из 7 школьников любые двое имеют общего знакомого. Докажите, что из этой группы можно не менее, чем 9 способами выбрать пару знакомых школьников. 1. В группе из 7 школьников любые двое имеют общего знакомого. Докажите, что из этой группы можно не менее, чем 9 способами выбрать пару знакомых школьников. 2. Найдите все натуральные числа n 100 такие, что если отбросить у n две последние цифры, а затем полученное число возвести в квадрат, то получится снова n. 2. Найдите все натуральные числа n 100 такие, что если отбросить у n две последние цифры, а затем полученное число возвести в квадрат, то получится снова n. 3. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков? 3. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков? 4. Назовем соседними такие клетки квадрата 66, у которых есть общая сторона или общая вершина. Можно ли так расставить все числа от 1 до 36 в клетках этого квадрата, чтобы разность между числами в соседних клетках была не меньше 9? 4. Назовем соседними такие клетки квадрата 66, у которых есть общая сторона или общая вершина. Можно ли так расставить все числа от 1 до 36 в клетках этого квадрата, чтобы разность между числами в соседних клетках была не меньше 9? 5. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом? 5. За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый из них произнес фразу: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов». Сколько рыцарей может сидеть за этим столом? 6. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй. 6. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй. 7. Трехзначные числа abc и cba делятся на простое число p. Докажите, что хотя бы одно из чисел a+b+c, a–b+c или a–c также делится на p. 7. Трехзначные числа abc и cba делятся на простое число p. Докажите, что хотя бы одно из чисел a+b+c, a–b+c или a–c также делится на p. 8. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 13 различных. Докажите, что из этих 13 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. 8. Из чисел 1, 2, ..., 37 произвольным образом выбраны 13 различных. Докажите, что из этих 13 чисел можно выбрать четыре таких, что сумма двух из них равна сумме двух других. 9. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. 9. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. 10. Сколькими способами можно раскрасить клетки прямоугольника 22011 в два цвета так, чтобы никакие три клетки одного цвета не образовывали уголок из трех клеток? 10. Сколькими способами можно раскрасить клетки прямоугольника 22011 в два цвета так, чтобы никакие три клетки одного цвета не образовывали уголок из трех клеток? МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 6 класс МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 6 класс 1. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй. 1. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй. 2. В двух коробках лежат конфеты. Если к коробке подходит Вася, то он берет 1/17 часть конфет, имеющихся в данный момент в этой коробке, если Петя — то 1/12, а Коля всегда берет 1/4 часть. Если у берущего конфеты не получается взять ровно столько, сколько надо, то он воздерживается от сладкого. Вначале в коробках конфет было поровну, по истечении некоторого срока оказалось, что конфет снова поровну. Можно ли утверждать, что каждый из мальчиков лакомился из 1 коробки столько же раз, сколько из второй? 2. В двух коробках лежат конфеты. Если к коробке подходит Вася, то он берет 1/17 часть конфет, имеющихся в данный момент в этой коробке, если Петя — то 1/12, а Коля всегда берет 1/4 часть. Если у берущего конфеты не получается взять ровно столько, сколько надо, то он воздерживается от сладкого. Вначале в коробках конфет было поровну, по истечении некоторого срока оказалось, что конфет снова поровну. Можно ли утверждать, что каждый из мальчиков лакомился из 1 коробки столько же раз, сколько из второй? 3. Верно ли, что среди любых 100 натуральных чисел найдется число, которое делится на наибольший общий делитель всех остальных? 3. Верно ли, что среди любых 100 натуральных чисел найдется число, которое делится на наибольший общий делитель всех остальных? 4. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков? 4. В коробке лежат 10 синих и 10 красных шариков. Вася хочет набрать 5 синих шариков из коробки. Для этого он вслепую вытаскивает по два шарика. Если он вытащил два синих, то берет оба. Если синий и красный, то берет синий, а красный кладет обратно в коробку. Наконец, если он вытащил два красных, то оба откладывает в сторону. За какое наименьшее число вытаскиваний Вася заведомо сможет набрать 5 синих шариков? 5. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов. 5. На острове живут три племени: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда лгут. За круглым столом сидят представители этих племен. Каждый из сидящих за столом произнес две фразы: 1) «Слева от меня сидит лжец.» 2) «Справа от меня сидит хитрец.» Докажите, что за этим столом рыцарей сидит столько же, сколько и лжецов. 6. Трехзначные числа ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 и ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑏𝑎 делятся на простое число p. Докажите, что хотя бы одно из чисел a+b+c, a–b+c или a–c также делится на p. 6. Трехзначные числа ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 и ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑏𝑎 делятся на простое число p. Докажите, что хотя бы одно из чисел a+b+c, a–b+c или a–c также делится на p. 7. Таблица 4848 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 96 сумм стали попарно различны? 7. Таблица 4848 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 96 сумм стали попарно различны? 8. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. 8. Аня, Боря, Вика и Галя навещали Диму. Договорились они прийти в один день, но в разное время и пробыли у Димы по 15 минут. Аня посетила Диму в 8 часов, Боря пришел в 9 часов, Вика — в 10 часов, а Галя пришла в 11 часов, только неизвестно кто из них приходил утром, а кто вечером. Известно, что: 1) К Диме кто-то приходил между Аней и Борей; 2) Какая-то из девочек пришла к Диме до Ани; 3) Вика не заходила к Диме между Борей и Галей. Определите кто в какое время приходил к Диме. 9. Найдите наибольшее число, делящееся на 72, которое можно получить из числа 123...20092010 (все натуральные числа от 1 до 2010 записаны подряд) вычеркиванием некоторых цифр 9. Найдите наибольшее число, делящееся на 72, которое можно получить из числа 123...20092010 (все натуральные числа от 1 до 2010 записаны подряд) вычеркиванием некоторых цифр 10. Сколькими способами можно раскрасить клетки прямоугольника 22011 в два цвета так, чтобы никакие три клетки одного цвета не образовывали уголок из трех клеток? 10. Сколькими способами можно раскрасить клетки прямоугольника 22011 в два цвета так, чтобы никакие три клетки одного цвета не образовывали уголок из трех клеток? МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 7 класс МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ 18 июня 2014 г., 7 класс 1. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. На стороне BC отмечена такая точка K, что KH = KC. На стороне AB отмечена такая точка L, что KL — биссектриса угла BKH. Докажите, что AL = LH. 1. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. На стороне BC отмечена такая точка K, что KH = KC. На стороне AB отмечена такая точка L, что KL — биссектриса угла BKH. Докажите, что AL = LH. 2. Докажите, что если числа ab, cd и ac+bd делятся на k, то ac и bd тоже делятся на k. 2. Докажите, что если числа ab, cd и ac+bd делятся на k, то ac и bd тоже делятся на k. 3. Можно ли вырезать из доски 88 восемь клеток так, чтобы из оставшихся клеток нельзя было вырезать по клеткам прямоугольник площади, не меньшей 8? 3. Можно ли вырезать из доски 88 восемь клеток так, чтобы из оставшихся клеток нельзя было вырезать по клеткам прямоугольник площади, не меньшей 8? 4. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точка K — середина диагонали BD. Оказалось, что AK — биссектриса угла CAD и AD = 3BC. Докажите, что AC = 2BC. 4. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точка K — середина диагонали BD. Оказалось, что AK — биссектриса угла CAD и AD = 3BC. Докажите, что AC = 2BC. 5. Таблица 5050 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны? 5. Таблица 5050 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны? 6. Найдите все такие натуральные m и простые p, что число 7m 2 p 7m 2 p — нату- 6. Найдите все такие натуральные m и простые p, что число 7m 2 p 7m 2 p — нату- ральное. ральное. 7. Начала лучей, лежащих на прямой, разбивают ее на несколько частей. Докажите, что количество частей, покрытых ровно q лучами, не превосходит q+1 7. Начала лучей, лежащих на прямой, разбивают ее на несколько частей. Докажите, что количество частей, покрытых ровно q лучами, не превосходит q+1 8. По кругу записаны в порядке возрастания по часовой стрелке числа от 1 до 31. Разрешается взять любые три числа a, b, c (не обязательно соседние и стоящие в любом порядке) и заменить их числами c, a–1/10, и b+1/10 соответственно. Докажите, что, применяя такие операции, можно добиться, чтобы числа стояли в порядке возрастания против часовой стрелки. 8. По кругу записаны в порядке возрастания по часовой стрелке числа от 1 до 31. Разрешается взять любые три числа a, b, c (не обязательно соседние и стоящие в любом порядке) и заменить их числами c, a–1/10, и b+1/10 соответственно. Докажите, что, применяя такие операции, можно добиться, чтобы числа стояли в порядке возрастания против часовой стрелки. 9. В каждом из 100 сосудов лежит по 97 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер? 9. В каждом из 100 сосудов лежит по 97 камней. Два игрока ходят по очереди. Каждый игрок при своем ходе должен взять по одному камню из 98 сосудов. Игрок, после хода которого два сосуда оказались пусты, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его партнер? 10. Докажите, что при любых положительных a, b и c выполнено неравенство 10. Докажите, что при любых положительных a, b и c выполнено неравенство 2 a b c 1 1 1 (a b c) b c a a b c . 2 a b c 1 1 1 (a b c) b c a a b c .