Задание 19 базового варианта ЕГЭ 2015 года Приступим к

Задание 19 базового варианта ЕГЭ 2015 года
Приступим к детальному разбору содержания базового демоварианта ЕГЭ-2015 в
серии выпусков моей рассылки.
Задание 19. Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а
сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Решение 1. 578. Действительно, 5 + 7 + 8 = 20, 52 + 72 + 82 = 25 + 49 + 64 = 138. У числа
138 сумма цифр равна 12. Так как 12 делится на 3, но не делится на 9, то сумма
квадратов цифр числа 578 делится на 3, но не делится на 9.
Ответ: 578.
Это решение вполне допустимо и с точки зрения математики здесь все в порядке, но
не понятно, откуда взялось число 578, а не 758. Дело в том, что в условии сказано
"Приведите пример", а не "найдите числа ...".
Решение 2. Пусть а, b и с - цифры искомого трехзначного числа. Так как а + b + с = 20,
20 = 18 + 2, то сумма остатков от деления цифр а, b и с на 3 может быть равна 2, 5, так
как сумма этих остатков тоже должна при делении на 3 давать остаток 2.
Если то сумма остатков от деления цифр а, b и с на 3 равна 2, то может быть два
варианта:
а) две цифры делятся на 3, а треться при делении дает остаток 2. Этот случай нам не
подходит, так как сумма квадратов цифр искомого числа при делении на 3 дает тот
же остаток что и число 4, т.е. 1.
б) одна цифра делятся на на три, а две другие при делении дают остатки 3 по 1. Этот
случай нам также не подходит, так как сумма квадратов цифр искомого числа при
делении на 3 дает тот же остаток что и число 12 + 12, т.е. 2.
Если сумма остатков от деления цифр а, b и с на 3 равна 5, то 5 = 2 + 2 + 1 и другой
возможности представления числа 5 в виде суммы остатков от деления цифр а, b и с
на 3 с точностью до порядка следования слагаемых нет.
Значит, а + b + с = 3x + 1 + 3y + 2 + 3z + 2 = 20. При этом x ≤ 3, a y ≤ 2, z ≤ 2, так 3x + 1, 3y
+ 2 и 3z + 2 - цифры.
3(x + y + z) = 15,
x + y + z = 5.
Число 5 можно представить в вмде суммы трех чисел x, y и z (x ≤ 3, a y ≤ 2 и z ≤ 2)
только только такими способоми: x = 1, y = z = 2 или y = 1, x = z = 2 или z = 1, y = x = 2.
Если x = 1, y = z = 2, то цифры искомого числа равны 3x + 1 = 4, 3y + 2 = 3z + 2 = 8, но
тогда 42 + 82 + 82 = 144 - делится на 9.
Если y = 1, x = z = 2 или z = 1, y = x = 2, то цифры искомого числа равны 7, 5 и 8. При
этом цифры 7, 5 и 8 удовлетворяют условию задачи и из этих цифр можно составить
шесть чисел: 578, 587, 758, 785, 857, 875.
Ответ: 578 или 587 или 758 или 785 или 857 или 875.
Решение 3. Пусть а, b и с - цифры искомого трехзначного числа. Тогда а + b + с = 20.
Наименьшее из трех цифр а, b и с не может равняться 1, так как в противном случае
сумма двух других будет равна 19, а для цифр это невозможно.
Представим число 20 в виде суммы трех слагаемых от 2 до 9 с точностью до порядка
следования слагаемых.
20 = 2 + 9 + 9 = 3 + 9 + 8 = 4 + 9 + 7 = 4 + 8 + 8 = 5 + 9 + 6 = 5 + 8 + 7. Других способов
представления числа 20 нет.
Условию "сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9" удовлетворяет
только тройка цифр 5, 7 и 8. Из этих цифр можно составить шесть чисел: 578, 587,
758, 785, 857, 875.
Ответ: 578 или 587 или 758 или 785 или 857 или 875.
А теперь несколько слов о критериях оценки этого тестового задания ЕГЭ.
При любом их трех правильных решений, приведенных, например, выше, ученик
получает одно и тоже количество баллов. Однако было бы справедливо, если ученик,
который привел первое решение должен получить меньшее число баллов, по
сравнению с теми, кто решил вторым и третьим способами. Однако этого не
произойдет. Так что критерии оценок тестов ЕГЭ пока еще не совершенны.
Да достигнуть этого совершенства, на мой взгляд, принципиально невозможно, так
как человеческий способ оценки школьников пока еще не превзошел никакой
автомат или компьютер и так будет происходить еще очень долго.
Задание 19 № 506263. Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20,
а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Пояснение.
Разложим число 20 на слагаемые различными способами:
20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5.
При разложении способами 1−4 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении
пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет
условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, число 578.
Задание 19 № 507010. Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 4,
сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
Пояснение.
Пусть наше число имеет вид
. Тогда имеем
И так как число
делится на 4,
делится на 4. Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы три единицы, то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения. То же самое, если единиц меньше, чем две. В этом случае произведение будет слишком большое. Таким образом, среди
цифр есть ровно две единицы. Рассмотрим двузначные числа, которые делятся на 4, это концовка
нашего числа. Нельзя брать числа с нулём, так как в этом случае произведение будет равно нулю,
что плохо.
12: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая — 4.
16: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая никакая не подойдёт.
24: значит, оставшиеся цифры — единицы. Всё сходится.
Остальные числа будут давать слишком большое произведение или нечётную сумму.
Таким образом, исходные числа: 1412, 4112, 1124.
Задание 19 № 507052. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.
Пояснение.
Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.
Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8. Искомое
число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.
Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три послледние
цифры числа нули, первые три должны быть единицами.
Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.
Задание 19 № 507053. Найдите наименьшее трёхзначное число, которое при делении на 2 даёт
остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 даёт остаток 3 и которое записано
тремя различными нечётными цифрами.
Пояснение.
Число при делении на 2 даёт остаток 1, следовательно, оно нечётное. При делении на 3 число
даёт остаток 2, то есть число имеет вид
При делении на 5 число даёт остаток 3, то есть
число имеет вид
то есть число может оканчиваться либо на тройку, либо на восьмёрку.
Число нечётное, следовательно, может оканчиваться только на тройку. Учитывая, что число оканчивается на 3:
Перебирая значения
удовлетворяющее условиям задачи. Это число 173.
что при
получаем число,
Задание 19 № 507054. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр
которого на 1 больше их произведения.
Пояснение.
Если хотя бы одна цифра в записи числа — нуль, то произведение цифр равно 0, а тогда их
сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому
нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не меньше 1, и их сумма не меньше
четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх
хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания
суммы их цифр.
Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа
1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию.
Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной тройкой и тремя единицами или двумя
двойками и двумя единицами (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Произведение
цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию.
Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым.