коллективное принятие решений

Коллективное принятие решений
Лектор:
доцент каф. АОИ
Салмина Нина
Юрьевна
Модель производства
общественного продукта.
Постановка задачи.
y – объем производства общественного продукта
c(y) – производственная функция: показывает денежные
затраты на производство
Имеется n агентов (игроков).
Запас агента i :
Затраты на производство
wi денег (до производства)
xi денег (может быть <0 или > wi)
Функция предпочтения агента i
Общие затраты на производство
ui (wi - xi ,y)

n
i 1
xi  c ( y )
Модель производства
общественного продукта.
Постановка задачи.
До производства
Запас
агента i
Затраты
агента i
Предпочтения
агента i
wi денег
После производства
wi - xi денег
xi = 0
xi
ui (wi ,0)
(м.б. <0 или > wi)
ui (wi - xi ,y)
Общие затраты на производство

n
i 1
xi  c ( y )
Представление задачи в виде
кооперативной игры
ВСЕ агенты владеют технологией производства:
любая коалиция может производить продукт.
Х.ф. коалиции:


v( S )  max  ui ( wi  xi , y )
 y iS


Пусть ui  bi ( y)  ( wi  xi ),

тогда v( S )  max max
 y

 
  bi  y   wi   с( y )  , 0, где c y    xi
iS
 iS
 
С-Ядро игры
Распределение (x1,…, xn;y)
принадлежит с-ядру, если
для любого i :
1)
2)
xi > 0 : принцип отсутствия субсидий
ui (wi - xi ,y) > ui (wi ,0) : принцип
отделения
Пример 1
Технология производства имеет вид: c(y)=2y
N=2
Функции предпочтения: ui=bi(y)-x (начальный запас денег
равен 0)
где
b1(y)=y
или
u1  y  x1
b2(y)=2√y
или
u2  2 y  x2
Пример 1. Нахождение х.ф. игры
c( y )  2 y
u2  2 y  x2
u1  y  x1




v1  max u1   max ( y  c( y))  max ( y  2 y)  max ( y)  0
 y
  y
  y
  y



v2  max u 2   max (2 y  2 y)  (2  0.5  2  0.25)  0.5
 y
  y

(2 y  2 y)'  2
1
2 y
2  0 
1
 2, y  0.5, y  0.25
y
Пример 1. Нахождение х.ф. игры
u1  y  x1
c( y )  2 y
u2  2 y  x2


v12  max (u1u2 )  max ( y  2 y  c( y))   max (2 y  y)
 y

 y

 y

(2 y  y)'  2
v12  2 1  1  1
1
2 y
1  0 
1
 1  y*  1
y

Пример 1. Нахождение с-ядра игры
по прибыли
u1  y  x1
u2  2 y  x2
v1  0 v2  0.5 v12  1
С-ядро:
u1≥0
u2≥0.5
(по прибыли u)
( 0
1 )
( 0.5 0.5 )
N-ядро:
(0.25 0.75)
c( y )  2 y
y*  1 c( y*)  2
Пример 1. Нахождение с-ядра игры
по затратам
u1  y  x1
u2  2 y  x2
v1  0 v2  0.5 v12  1
b1  y  1
b2  2 y  2
c( y )  2 y
y*  1 c( y*)  2
ui  bi  xi
С-ядро:
u1≥0
u2≥0.5
(по прибыли u)
( 0
1 )
( 0.5 0.5 )
(по затратам x)
( 1
1 )
( 0.5 1.5 )
N-ядро:
(0.25 0.75)
(0.75 1.25)
Модель распределения затрат.
Постановка задачи.
Задача: ассигнование на производство (эксплуатацию,
использование) неделимого общественного продукта
(объекта).
С – стоимость коллективного объекта ( с > 0 )
bi – доход i-го агента от использования объекта (bi ≥ 0)
n
Сооружение (эксплуатация) объекта эффективно:
 bi  c
i 1
Как распределить затраты?
Представление задачи в виде
кооперативной игры
Каждая коалиция может построить
(эксплуатировать) объект с учетом покрытия затрат.


Х.ф. коалиции: v( S )   bi  c 
 iS

Общие затраты:

 xi  c
i
Общая прибыль:
 yi  v(N )
i
yi  bi  xi
Пропорциональный дележ
Затраты агента:
xi  c 
bi
N
bj
j 1
Прибыль агента:
yi  bi  xi
 xi  с
Пример. Пропорциональный дележ
Имеется пять агентов с доходами
b1  4, b2  12, b3  20, b4  24, b5  30
Общий доход равен  bi  90
Затраты на строительство коллективного объекта составляют:
c  30
Необходимо определить, каким образом распределить
затраты между агентами.
Здесь: x  c  bi  bi ,
i
90
3
или х=(1.33 4 6.67 8 10)
1
2
x1  1 , x2  4, x3  6 , x4  8, x5  10.
3
3
y=(2.67 8 13.33 16 20)
Эгалитарное распределение
Эгалитаризм: РАВНОЕ отношение ко всем
агентам (всем поровну)
Два варианта:
1)
2)
Равное распределение затрат:
Равное распределение прибыли:
(или
e
yi 
N
N
где
с
xi 
N
xi
e   bi  c )
i 1
b

j 1 j
b 
N
i
N
Проблемы эгалитарного
распределения
может быть:
1.
Равное распределение
затрат
с
xi 
2.
(не согласится агент)
N
Равное распределение
прибыли
b

j 1 j
b 
N
xi
i
bi  xi  c n
N
 n


bi    b j  c  n или
 j 1

xi  0
(не согласятся другие
агенты)
Подушный и уровневый налоги
Эгалитарное распределение при условии
ограничений
i 0  xi  bi
приводит к следующим решениям:
1) Подушный налог – равное распределение затрат
2) Уровневый налог – равное распределение
прибыли
Пример. Подушный налог
Имеется : b1  4, b2  12, b3  20, b4  24, b5  30
Общий доход равен  bi  90
c  30
Затраты составляют:
Определение затрат:
30
 6  b1  4
5
x1=4
Пример. Подушный налог
Имеется : b1  4, b2  12, b3  20, b4  24, b5  30
Общий доход равен  bi  90
c  30
Затраты составляют:
30
 6  b1  4
Определение затрат:
5
30  4 26

 6.5
4
4
или х=(4 6.5 6.5 6.5 6.5)
x1=4
xi=6.5
y=(0 5.5 13.5 17.5 23.5)
Пример. Уровневый налог
Имеется : b1  4, b2  12, b3  20, b4  24, b5  30
Общий доход равен  bi  90
Затраты составляют:
c  30 (прибыль e=90-30=60)
Определение прибыли:
60
 12  b1  4
5
y1=4
Пример. Уровневый налог
Имеется : b1  4, b2  12, b3  20, b4  24, b5  30
Общий доход равен  bi  90
Затраты составляют:
c  30 (прибыль e=90-30=60)
Определение прибыли:
60
 12  b1  4
5
60  4 56

 14  b2
4
4
y1=4
y2=12
Пример. Уровневый налог
Имеется : b1  4, b2  12, b3  20, b4  24, b5  30
Общий доход равен  bi  90
Затраты составляют:
c  30 (прибыль e=90-30=60)
Определение прибыли:
60
 12  b1  4
5
60  4 56

 14  b2
4
4
56  12 44

 14.67
3
3
или y=(4 12 14.67 14.67 14.67)
y1=4
y2=12
yi=14.67
x=(0 0 5.33 9.33 15.33)
N-ядро игры
соответствует следующим долям затрат:
если
1 n
c  i 1 bi
2
– равное распределение
1 n
c  i 1 bi
2
– равное распределение
затрат (аналогично подушному налогу)
если
прибыли (аналогично уровневому налогу)
при ограничениях i 0  xi  bi / 2 (0  yi  bi / 2)
Пример. N-ядро игры
Имеется : b1  4, b2  12, b3  20, b4  24, b5  30
Общий доход равен  bi  90
Затраты составляют:
c  30 (c<1/2*90=45)
Уравниваем затраты:
30
 6  b1 / 2  2
5
30  2 28

 7  b2 / 2  6
4
4
28  6 22

 7.33
3
3
х1=2
х2=6
хi=7.33
или х=(2 6 7.33 7.33 7.33) y=(2 6 12.67 16.67 22.67)
Пример. Все решения игры
Имеется : b1  4, b2  12, b3  20, b4  24, b5  30
Общий доход равен  bi  90
Затраты составляют:
c  30
вектор затрат
вектор прибыли
Пропорц.налог
(1.33 4 6.67 8 10)
(2.67 8 13.33 16 20)
Подушный налог (4 6.5 6.5 6.5 6.5)
(0 5.5 13.5 17.5 23.5)
Уровневый налог (0 0 5.33 9.33 15.33) (4 12 14.67 14.67 14.)
N-ядро
(2 6 7.33 7.33 7.33)
(2 6 12.67 16.67 22.67)
Вектор Шепли
(1.4 4.07 6.73 8.07 9.73) (2.6 7.93 13.27 15.93 20.27)
Пример. Освещение улиц
Три игрока (объекты) расположены в
вершинах треугольника, стороны
которого представляют существующие
улицы.
Решается задача коллективного
уличного освещения.
Освещение любой улицы стоит 20.
Полезность игрока (ui ) от
использования освещения равна:
0 - если соседние улицы неосвещены,
30 – если освещена одна соседняя улица
40 – если освещены обе соседние
улицы.
Необходимо определить сколько улиц
освещать, каковы будут затраты и
прибыль каждого игрока.
А
C
B
Пример. Определение х.ф. для
одиночных коалиций
Освещение любой улицы стоит 20.
Полезность игрока (ui ) от
использования освещения равна:
0 - если соседние улицы неосвещены,
30 – если освещена одна соседняя улица
40 – если освещены обе соседние
улицы.
А
1)
C
1) Освещена одна соседняя улица
ui=30-20=10
max
2) Освещены две соседние улицы
ui=40-20-20=0
v1= v2= v3=10
А
B
2)
C
B
Пример. Определение х.ф. для
двойных коалиций
Освещение любой улицы стоит 20.
Полезность игрока (ui ) от
использования освещения равна:
0 - если соседние улицы неосвещены,
30 – если освещена одна соседняя улица
40 – если освещены обе соседние
улицы.
1) Освещена одна улица
uАС =30+30-20=40
max
2) Освещены две улицы
uАС =40+30-20-20=30
2) Освещены три улицы
uАС =40+40-20-20-20=10
v12= v23= v13=40
А
1)
C
А
B
2)
C
А
B
3)
C
B
Пример. Определение х.ф. для
тройной коалиции
Освещение любой улицы стоит 20.
Полезность игрока (ui ) от использования
освещения равна:
0 - если соседние улицы неосвещены,
30 – если освещена одна соседняя улица
40 – если освещены обе соседние улицы.
1) Освещена одна улица
uАВС =30+30-20=40
2) Освещены две улицы
uАВС =40+30+30-20-20=60
2) Освещены три улицы
uАВС =40+40+40-20-20-20=60
v123=60
А
1)
C
А
B
2)
max
max
C
А
B
3)
C
B
Пример. Нахождение решения игры
(по прибыли)
Х.ф. игры: v1= v2= v3=10
v12= v23= v13=40
v123=60
N-ядро = Вектор Шепли
(20 20 20)
А
1)
B
C
А
2)
C
B
Пример. Нахождение решения игры
(по затратам)
Х.ф. игры: v1= v2= v3=10
v12= v23= v13=40
v123=60
N-ядро = Вектор Шепли (по
прибыли):
(20 20 20)
1) Освещены две улицы.
Решение по затратам:
(20 10 10)
2) Освещены все три улицы.
Решение по затратам:
(20 20 20)
А
1)
B
C
А
2)
C
B