Функция у = f

Функция. Основные определения,
способы задания и классификация
Пусть даны два множества Х и Y.
Определение 1. Если каждому элементу х из множества Х по
определённому правилу или закону f ставится в соответствие
один элемент у из множества Y, то говорят, что на
множестве Х задана функция f и пишут
f
X  Y , или у = f(x).
При этом величина х называется аргументом функции f, а
множество Х – областью определения функции f. Величина х
называется также независимой переменной, а величина у –
зависимой переменной. Множество Y называется областью
значений функции f. Область определения функции f
обозначается через D(f), а область значений – через E(f).
Функция, соответствующая определению 1, называется
однозначной. Если же одному значению аргумента
соответствует не одно, а несколько значений функции, в этом
случае функция называется многозначной.
Способы задания функции
Задать функцию – значит указать область её определения и правило, по которому по
данному значению независимой переменной можно найти соответствующее ему
значение функции.
Существует три основных способа задания функции:
 аналитический,
 табличный,
 графический.
Аналитический способ заключается в том, что зависимость между переменными
величинами задаётся с помощью формулы, указывающей, какие действия надо
выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее ему значение функции.
При этом функция может быть задана как одной формулой, например,
f ( x)  4  x 2
1  x 2 ,

g ( x )  0,
 1,

так и несколькими формулами, например
если x  0,
если x  0,
если x  0.
Табличный способ заключается в том, что зависимость между переменными задают с
помощью таблицы. Хорошо известны, например, таблицы логарифмов,
тригонометрических функций.
Графический способ состоит в том, что соответствие между переменными х и у задаётся с
помощью графика функции. Графиком функции y = f(x) называется множество всех
точек (х, у) плоскости XOY, координаты которых связаны соотношением y = f(x). Так,
графики вышеназванных функций: f(x) и g(x)
y
y
2
1
0
2
0
2
x
x
Элементарные и не элементарные функции
• Вещественные функции вещественного аргумента делят на два
класса: элементарные и не элементарные.
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция,
которая может быть задана одной формулой у = f(x) , где f(x) –
выражение, составленное из основных элементарных функций и
действительных чисел с помощью конечного числа операций
сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от
функции.
•
Основными элементарными функциями называются следующие
функции:
•
•
•
•
•

степенная функция y  x , где   ℝ;
x
показательная функция y  a , где a  0 и a  1;
логарифмическая функция y  log a x , где a  0 и a  1;
тригонометрические функции y  sin x , y  cos x , y  tg x , y  ctg x ;
обратные тригонометрические функции y  arcsin x , y  arccos x ,
y  arctg x , y  arcctg x
.
Алгебраические и трансцендентные функции
Элементарные функции делят на два класса: алгебраические и
трансцендентные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется алгебраической, если ее значение
можно получить из аргумента и действительных чисел с помощью
конечного числа алгебраических операций (т.е. сложения, вычитания,
умножения, деления) и возведения в степень с рациональным
показателем. Функция, не являющаяся алгебраической, называется
трансцендентной.
Алгебраические функции делят на рациональные и иррациональные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическая функция называется рациональной,
если среди действий, которые производятся над независимой
переменной, отсутствует извлечение корня. Функция не являющаяся
рациональной называется иррациональной.
Рациональные функции бывают двух видов:
y  Pn (x) ,
целые рациональные (многочлены)
где Pn ( x)  a0 x n  a1x n 1  a2 x n  2    an 1x  an ;
дробные рациональные (рациональные дроби)
P ( x)
y n
Pm ( x)
Четность, нечетность функций
Определение . Функция у = f(x) называется чётной, если f(x) = f(x) для всех х из
области определения функции.
График чётной функции расположен симметрично относительно оси Оу.
Например, функция f ( x)  4  x 2 является чётной. Функция у = cosx является
чётной, поскольку выполняется равенство cos(x) = cosx (см. рис. ).
Определение . Функция у = f(x) называется нечётной, если f(x) = f(x) для всех х
из области определения функции.
График нечётной функции расположен симметрично относительно начала
координат. Например, функция у = sinx – нечётная, т. к. справедливо равенство
sin(x) = sinx.

y
y
1
1
  /2 0

/2

3
/2
x

  /2
0

/2

3
/2 x
Периодичность
• Определение . Функция у = f(x) называется
периодической, если существует число Т, отличное от
нуля, такое, что выполняется равенство f(x  Т) = f(x) для
всех х из области определения функции. При этом
наименьшее из положительных Т является периодом
функции f(x).
• Например, функция у = sinx имеет период Т = 2, т. е.
у(х + 2n) = y(x), где n = 0, 1, 2, …
y
1


 /2
0

/2

3
/2
x
Возрастающие и убывающие функции
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция у = f(x) называется возрастающей
(неубывающей) на интервале (a; b) если для любых x1, x2  (a; b)
таких, что x1  x2 значения функции f ( x1 ) и f ( x2 )
удовлетворяют неравенству f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 ) ).
• Функция у = f(x) называется убывающей (невозрастающей) на
интервале (a; b) если для любых x1, x2  (a; b) таких, что значения
функции f ( x1 ) и f ( x2 ) удовлетворяют неравенству f ( x1 )  f ( x2 )
( f ( x1)  f ( x2 ) ).
• Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции
называются монотонными.
y
y
2
1
0
2
0
2
x
x
Ограниченность.
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция у = f(x) называется ограниченной снизу,
если существует a  ℝ такое, что a  f (x) , x  D( f ) .
• Функция у = f(x) называется ограниченной сверху, если существует
b  ℝ такое, что
.
f ( x)  b , x  D( f )
• Функция, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной.
• Если функция у = f(x) ограничена, то существует M  0 такое, что
f ( x)  M , x  D( f ).
• Действительно, если у = f(x) ограничена, то она ограничена сверху и
снизу. Значит, существуют a, b ℝ такие, что a  f ( x)  b x  D( f )
• Обозначим через M= max{| a |, | b |}.Тогда  M  a и b  M .
Следовательно,  M  f ( x)  M , x  D( f ) ,
• или f ( x)  M , x  D( f ) . y
y
y
1

  /2
0

/2

3
/2
0
x
1
3
x
0
2
x
Простые и сложные функции
Определение . Пусть функция z = g(x) определена на
множестве Х, а функция y = f(z) определена на
множестве Z, причём область значений функции g
содержится в области определения функции f. Функция
y = f(g(x)) называется сложной функцией, или функцией
от функции, или суперпозицией функций z = g(x) и y = f(z).
Переменная х называется независимой переменной
функции у, а функция z = g(x) – зависимой переменной, или
промежуточным аргументом функции y = f(x).