Моделирование выпуска продукции с помощью

Моделирование выпуска
продукции с помощью
производственных
функций
Модели производственно-технологического
уровня.
Основные определения.
Модели производственнотехнологического уровня
Основные понятия и определения.
Выделение производственной системы из экономической системы
предполагает определение ее окружения, с которым
производственная система активно взаимодействует.
Взаимодействие производственной системы с ее окружением
происходит через множество входов и выходов.
На производственный процесс налагается множество ограничений.
Производственный процесс как упорядоченное множество
технологических действий над ресурсами управляется законами
природы, государственно-правовым регулированием,
бюджетными ограничениями.
Совокупность всех ограничений определяет область управления
производственным процессом.
Цель управления производственной системой – это наилучшее
распределение ресурсов и снижение себестоимости продукции.
Модели производственнотехнологического уровня
Основные понятия и определения (продолжение).
Определение. Блага – это объекты, имеющие
положительную общественную полезность.
Блага существуют в форме вещи и в форме деятельности.
Услуга – благо в форме деятельности, при этом время
производства и время потребления услуги совпадают.
Услуги нельзя накапливать или хранить.
Товар – это блага, которые участвуют в обмене.
Товар обладает свойствами полезности, измеримости и
редкости.
Природные блага – это существующие в природе
объекты положительной общественной полезности.
(Источники воды, полезные ископаемые, рыбные
запасы и т.п.).
Модели производственнотехнологического уровня.
Основные понятия и определения (Продолжение).
Определение. Производственный процесс – это
получение экономического продукта в результате
целенаправленной человеческой деятельности.
Определение. Процесс производства – это
целенаправленное преобразование одного набора
товаров в другой набор товаров.
Определение. Производственная система или
производство – это организация, в которой
осуществляется процесс производства.
В современной экономике существует огромное
количество производственных систем: от домашнего
хозяйства до мировой производственной системы.
Модели производственнотехнологического уровня
2. Ограничения и производственный процесс.
Наличие ограничений резко снижает количество потенциальных или
возможных производственных процессов.
Производственные системы ограничены:
В количестве доступных факторов производства;
В количестве доступных технологий;
Наличием контроля и регулирования со стороны социальных
институтов;
Поведением потребителей и конкурентов.
Уравнение материального баланса: количество товара,
поступившего в систему, произведенного в системе и находящегося
в системе равно количеству товара покинувшего систему,
накопленного в системе и используемого системой.
Уравнение материального баланса – универсальное ограничение,
которое налагается на любую производственную систему.
Модели производственнотехнологического уровня
3. Производственные функции выпуска продукции и
их свойства и назначение.
3.1.Назначение производственных функций.
Производственная функция (ПФ) определяет связь между
затратами факторов производства и выпуском
продукции в производственной системе.
Производственные функции описывают только
эффективные процессы производства.
Неэффективные процессы производства со свободным
использованием ресурсов не рассматриваются.
Каждая производственная система характеризуется своей
индивидуальной производственной функцией.
Модели производственнотехнологического уровня
3.2. Общие свойства производственных функций.
Пусть производственная система преобразует набор факторов
X={x1,x2,…,xk} за период времени Т в единственный продукт Y.
При этом предполагается выполнение следующих условий:
1. Все факторы {x1,x2,…,xk} и продукт Y являются товарами, которые
обладают свойствами измеримости, однородности,
стандартизации, пространственной и временной локализации.
2.
Существует детерминированная связь между количеством
затраченных факторов и количеством произведенного продукта за
период времени Т.
3.
Существует устойчивая связь между количеством затраченных
факторов и количеством произведенного продукта. (Устойчивость
производственной системы к малым изменениям количества
потребляемых факторов).
Свойства товаров
Измеримость товара.
Любому товару можно приписать некоторое
неотрицательное количество и однозначно поставить
в соответствие этому количеству неотрицательное
число
Количество товара может быть выражено как в
натуральных показателях, так и в денежной форме
Свойства товаров
Однородность товара
Любое количество товара бесконечно делимо
Гипотеза однородности товара позволяет использовать
свойства непрерывности и дифференцируемости,
что существенно снижает сложности при разработке
и анализе математических моделей
Свойства товаров
Пространственная локализация товара
Всякое благо как в форме вещи, так и в форме
деятельности характеризуется своим местом
нахождения
Это обстоятельство оказывает большое влияние на
пространственную организацию хозяйственной
деятельности производственной системы
Свойства товаров
Временная локализация товара
Предполагается, что однородные товары отличаются
друг от друга, если они находятся в различных
временных периодах
Процесс производства происходит полностью за один
период времени. За это время все факторы
производства исчезают, а товары появляются.
Различают краткосрочный и долгосрочный периоды
В краткосрочный период времени возможно изменять
количества рабочей силы и сырья
В долгосрочный – все доступные факторы
производства как переменные, так и постоянные
Модели производственнотехнологического уровня
3.2. Общие свойства производственных функций
4. Существует бесконечное множество базовых технологических
процессов, которое доступно производственной системе и
производитель имеет полную информацию о свойствах
доступных процессов и имеет возможность выбора наиболее
эффективных среди них.
5.
Производственная система имеет возможность гибко
изменять соотношения между количествами факторов
производства и заменять одни факторы другими.
6.
Связь между количествами потребляемых факторов
производства и количеством произведенного продукта может
быть выражена с помощью непрерывной и дважды
дифференцируемой функции Y=F(x1,x2,…,xk), которая
называется производственной функцией.
Модели производственнотехнологического уровня
3.2. Общие свойства производственных функций.
Как правило, все множество производственных факторов
представляется в виде двух агрегированных факторов:
труд (L) и капитал (К).
Производственная функция в этом случае имеет вид:
Y=F(K,L).
Затраты труда – переменные издержки производства.
Затраты капитала – постоянные издержки производства.
Следовательно, в краткосрочном периоде
производственная система может управляться за счет
изменения затрат труда, а в долгосрочной перспективе
как за счет изменения затрат труда, так и капитала.
Производственная функция может быть задана 4-мя
способами: 1-явно в виде Y=F(K,L), 2-неявно в виде
f(K,L,Y)=0, 3- таблично, 4-графически.
Модели производственнотехнологического уровня
Основные свойства неоклассической
производственной функции.
1.
F  x1 , x 2 ,..., x k   0
2.
F  x1 , x 2 ,..., x k 
0
 xi
для всех x i  Ω
3.
 x , x
4.
F λx1 , λ x 2 ,..., λx k   λF  x1 , x 2 ,..., x k 
2
1
2
 xi
,..., x k 
если  x i  0
2
0
для всех x i  Ω
Свойства производственных функций
Первое свойство производственной функции
показывает, что при отсутствии затрат на один из
производственных факторов производится нулевой
продукт
Не существует факторов производства абсолютных
заместителей.
Замещение возможно только в определенных пределах
В случае агрегированных факторов K и L это свойство
имеет вид:
f(0,L)=f(K,0)=0
т.е. не возможно произвести никакой продукт в
отсутствии труда или капитала
Свойства производственных функций
Второе свойство ПФ говорит о том, что при увеличении
затрат любого фактора производства выпуск
продукции возрастает в экономической области Ω
Экономической областью называют такую область
изменения факторов производства, в которой
выполняется условие
f  x1 , x 2 ,..., x n 
0
 xi
Производительность любой производственной системы
ограничено сверху, т.е. существует такое Y, что при всех
xi Yi≤Y. Следовательно, при увеличении затрат фактора
выпуск продукции вначале растет затем начинает
падать. Критическое значение затрат факторов
определяют экономическую область
Свойства производственных функций
Третье свойство указывает на то, что график
производственной функции – кривая выпуклостью
вверх
Математически выпуклость вверх отображает закон
убывания предельной эффективности производства
продукта с ростом затрат фактора
Свойства производственных функций
Четвертое свойство требует, чтобы производственная
функция была линейно однородной, т.е. при увеличении
одновременно затрат факторов в λ раз количество
производимого продукта увеличивается в те же λ раз
В случае двух агрегированных факторов это выглядит
так: F(λK,λL)=λF(K,L)
Замечание. В общем случае функция может иметь
различную однородность, т.е. справедливо тождество:
f λ x1 , λ x 2 ,..., λx n   λδ f x1 , x 2 ,..., x n 
где δ – степень однородности функции
Свойство однородных функций
Теорема Эйлера. Для любой однородной функции
всегда выполняется равенство:
f  x1 , x 2 ,..., x n 
 δf x1 , x 2 ,..., x n 

x
i
 xi
i 1
n
В случае двух агрегированных факторов это равенство
имеет вид:
F K , L 
F K , L 
K
L  δF K , L 
K
L
для линейной однородности δ  1
F K , L 
F K , L 
K
L  F K , L 
K
L
Модели производственнотехнологического уровня
4. Показатели эффективности производства: средний
и предельные продукты.
Производственная система считается успешной или
результативной, если она достигает поставленной цели.
Производственная система называется эффективной,
если она достигает цели при низких издержках
производства при условии постоянства цен на рынке.
Математически показателями эффективности
производства являются средний и предельный продукты
факторов производства.
Из двух производственных систем более эффективной
считается та, которая производит больше продукта в
единицу времени при заданных затратах факторов.
Модели производственнотехнологического уровня
4. Показатели эффективности производства: средний и
предельные продукты.
Определение. Средний продукт i-го фактора производства (xi)
определяется отношением количества произведенного продукта к
количеству затраченного фактора (xi) за один период времени:
Ayxi = Y/xi = F(x1,x2,…,xk)/xi
(10.1)
Для случая двух агрегированных факторов производства K и L
получим:
Ayk = Y/K
(10.2)
AyL = Y/L
(10.3)
Выражение (10.2) называют средней фондоотдачей или средним
продуктом по капиталу, которые равны количеству продукта
произведенного на единицу капитала.
Выражение (10.3) называют средней производительностью труда или
средним продуктом по труду, которые равны количеству
произведенного продукта на единицу затрат труда.
Модели производственнотехнологического уровня.
4. Показатели эффективности производства:
средний и предельные продукты.
Геометрически средний продукт можно интерпретировать
как отношение длин катетов
Увеличение затрат факторов
приводит к уменьшению среднего
продукта по этому фактору.
c
Y
О
B
Рис. 10.1
xi
Причиной тому служит выпуклость
производственной функции.
Модели производственнотехнологического уровня
4. Показатели эффективности производства: средний и предельные
продукты.
Определение. Предельным продуктом фактора производства (xi)
называется отношение приращения продукта ΔY к приращению
фактора Δxi его вызывающее.
Чем меньше предельный продукт фактора, тем больше его
требуется для увеличения производства продукта Y на единицу.
Предельный продукт – это дополнительный продукт, произведенный
системой при изменении фактора на единицу.
Математически это выражается так:
MYxi = dY/dxi = dF(x1,x2,…,xk)/dxi
(10.4)
В случае использования агрегированных факторов K и L:
MYk = dY/dK = dF(K,L)/dK
(10.5)
MYL = dY/dL = dF(K,L)/dL
(10.6)
Выражения (10.5) и (10.6) называются соответственно предельной
фондоотдачей и предельной производительностью труда.
Модели производственнотехнологического уровня
5. Коэффициенты эластичности производства.
Определение. Коэффициентом эластичности или просто
эластичностью продукта по фактору производства xi называется
изменение производимого продукта, выраженное в процентах,
при увеличении затрат фактора xi на 1 процент:
dY
Y i MYXi

εi  dYx   x
Y
i
xi
A YX
(10.7)
i
x
i
Отсюда, вытекает соотношение:
MYxi= εi AYxi
(10.8)
В случае двух агрегированных факторов вводятся понятия
эластичности по труду и эластичности по капиталу:
εL=K/F(K,L)*dF(K,L)/dK
(10.9)
εK= L/F(K,L)*dF(K,L)/dL
(10.10)
Модели производственнотехнологического уровня
5. Коэффициенты эластичности производства.
Задача. Определить изменение объема выпуска продукции при
одновременном изменении затрат факторов на ΔL и на ΔK.
Y
Y
ΔK 
ΔL  Y K , L   M YK ΔK  M YL ΔL
K
L
Y K  ΔK , L  ΔL   Y K , L   εK AYK ΔK  εL AYL ΔL
Y K  ΔK , L  ΔL   Y K , L  
ΔY  Y K  ΔK , L  ΔL   Y K , L   εK AYK ΔK  εL AYL ΔL  M YK ΔK  M YL ΔL
(10.11)
Свойство эластичности.
Если производственная функция имеет степенную зависимость от iго фактора Y=xiαg(x1,x2,…,xm), то коэффициент эластичности εi по
этому фактору равен показателю степени при i-ом факторе εi =α.
К числу таких функций относится функция Кобба-Дугласа
Модели производственнотехнологического уровня
6. Матрица Гессе.
Матрица Н, элементами hij=d2F/dxidxj которой являются
вторые производные производственной функции,
называется матрицей Гессе.
Теорема. Матрица Гессе производственной функции
полуотрицательно определена, т.е. для любого
вектора Х справедливо неравенство: ХтНХ≤0.
Экономический смысл этого свойства.
Линейное приближение ПФ дает завышенное значения
при росте производства и заниженные значения при
спаде производства