Паутинообразная модель

Паутинообразная
модель
Рахманова И.О.
Паутинообразная модель
Постановка задачи

Паутинообразная модель иллюстрирует
простейший вариант взаимодействия
фирмы с рынком
Исходные предположения
Производители в период t – 1
определяют объем предложения
Qi S
= QiS(Pt-1) следующего периода t,
предполагая что цены периода t-1
сохранятся в период t
 Объем спроса QiD = QiD(Pt) зависит от
уровня цен текущего периода

Паутинообразная модель
Постановка задачи

Фирма выпускает продукт на рынок:


S(t) – предложение фирмы в момент
времени t по ценам предыдущего
периода
На рынке в момент времени t на
продукт предъявляется спрос:

D(t) – рыночный спрос на продукт фирмы
по ценам текущего периода
Паутинообразная модель
Математическое описание

Функции спроса и предложения неизменны во
времени и линейны:
 Спрос
D  a  b  P (t )
 Предложение
S  c  d  P(t  1)
 Время

t = 0,1,2,…T -> ∞
Условие баланса спроса и предложения:
a  b  P(t )  c  d  P (t  1),
P (t )  P (t  1)  PE
Паутинообразная модель
Математическая модель

Уровень рыночной цены в любой момент
1
времени:
P(t )  (a  c  d  P(t  1))
b
t
P(t )  ( P0  PE )( d / b)  PE
– цена в начальный момент (t=0)
 PE – равновесная цена, при которой S=D
 P0

Равновесная цена определяется из условия
PE =P(t)=P(t-1):
a  b  PE  c  d  PE
PE  (a  c) /( d  b)

P(t) будет колебаться вокруг PE, так как:
 (-d/b)t
>0
 (-d/b)t <0

Параметры d и b характеризуют
наклоны линий предложения S(t) и
спроса D(t)
Траектории P, D, S


(-d/b)t -> 0 при t -> ∞, если |d/b| < 1, т.е. |d| < |b|.
Абсолютный наклон линии S меньше наклона линии D,
колебания постепенно затухают, нарушенное
равновесие восстанавливается
Рыночная цена будет приближаться к равновесной
Траектории P, D, S


|d| > |b|, абсолютный наклон линии спроса D больше наклона
линии предложения S , отклонение от равновесия ведет к
увеличению колебаний цен и объемов, все более удаляющихся от
равновесного состояния.
Рыночная цена будет удаляться от равновесной
Траектории P, D, S


|d| = |b|, абсолютные наклоны линий спроса и
предложения одинаковы, всякое первоначальное
отклонение ведет к колебаниям цен и объемов
одинаковой амплитуды вокруг равновесного уровня
Рыночная цена останется прежней
Математическая модель
с учетом случайных процессов
Спрос:
D(t )  a  b  P(t )  u (t )
 Предложение:

S (t )  c  d  P(t  1)  v(t )
 Условие равновесия S (t )  D(t )  w(t )
 u(t), v(t), w(t) – случайные величины с
известным распределением, м.о.=0 и
известной дисперсией, w(t) - точность
Математическая модель
с учетом случайных процессов

Из условия равновесия S=D следует:
c  d  P(t  1)  v(t )  a  b  P(t )  u (t )  w(t )

Решаем уравнение относительно P(t):
1
P(t )   (a  u (t )  w(t )  c  d  P(t  1)  v(t ))
b
Математическая модель
с учетом случайных процессов

Для дальнейшего исследования модели
необходимо:
 задать
P(0),
 применить датчики случайных чисел
Модель с обучением
Фирма будет планировать цены с
учетом тенденций предыдущих
периодов
 Планирует выпуск на момент t,
ориентируясь на следующие цены:

Модель с обучением

Цена сегодня с учетом прошлых периодов:

=const – значение, которое фирма придает

P(t )  P(t  1)    P(t  2)
P(t  2)  P(t  1)  P(t  2)
наблюдаемым колебаниям цен. Влияет на
0   1
сходимость к равновесию
Должны быть заданы начальные условия:
P(0), P(1)
Модель с запасом
В модель вводится дополнительная
группа участников – коммерсанты,
которые держат запас и организуют
торговлю.
 Обозначим Q(t) величину запаса на
складе в момент времени t.

Q(t )  Q(t )  Q(t  1)  S (t )  D(t ), т.к.
Q(t )  Q(t  1)  S (t )  D(t ).
Модель с запасом

Коммерсант устанавливает высокую
цену, если запас уменьшился по
сравнению со вчерашним, и уменьшает
цену, если запас увеличился.
Изменение цены происходит
пропорционально изменению запаса.
P(t )  P(t  1)    Q(t  1),   0
Модель с запасом

Функции спроса и предложения те же,
но и спрос и предложение
ориентируются на одну и ту же цену
Q(t )  S (t )  D(t )  c  d  P(t  1)  a  b  P(t )
Q(t  1)  S (t  1)  D(t  1)  c  d  P(t  1)  a  b  P(t  1).
Q(t  1)  c  a  (d  b) P(t  1)
Модель с запасом

Формальная запись модели
P(t )    (a  c)  (1    (d  b) P(t  1)
S (t )  c  d  P(t  1)
D(t )  a  b  P(t )
Q(t )  S (t )  D(t )  Q(t  1)