МСС модуль 2 л13

Лекция 13
Применение метода потоков
в механике сплошных
идеальных сред
2007. Численные методы…Лекция 13
1
Цели изучения:
•
Освоение метода потоков при решении
задач в механике сплошных идеальных
сред:
- изучение численных процедур при
вычислении интегральных и
дифференциальных характеристик,
- составление алгоритма метода потоков,
- изучение методики применения метода
потока к решению задачи обтекания
прямоугольного выступа.
2007. Численные методы…Лекция 13
2
Содержание
7.12. Применение метода потоков
в механике сплошных
идеальных сред:
7.12.1. Постановка задачи.
7.12.2. Замкнутая система уравнений
сохранения в квадратурной форме.
7.12.3. Конечно-разностная схема метода
потоков.
7.12.4. Распределение скоростей и давлений
при обтекании прямоугольного
выступа эйлеровым газом.
2007. Численные методы…Лекция 13
3
7.12.1. Постановка задачи
• Общие принципы построения конечно-разностных схем метода потоков,
разработаны Севериновым и Бабаковым, [1, 2]. Основу метода составляет явная
разностная схема для переменных поля потока, которая является условно –
устойчивой и условно монотонной. Схема по её построению является
консервативной, т.к. основана на использовании замкнутой системы уравнений
сохранения массы, импульса и полной энергии (переменные поля течения).
• Решение задачи ищется в области , границы которой образованы контуром
Г0 обтекаемого тела и некоторой достаточно удаленной от тела замкнутой
поверхностью Г. Эта область разбивается на малые фиксированные в
пространстве объемы-ячейки ΔV, каждая из которых характеризуется массой
m, компонентами импульса Pl (l = x, y, z) и полной энергией газа Е. Деление
этих характеристик на объем ячейки ΔV определяет массовую плотность ρ,
компоненты импульса pl и полную энергию ε в единице объема. Эти
характеристики относят, как правило, к геометрическому центру объема ΔV.
• От функций pl и ε легко перейти к общепринятым переменным поля –
компонентам  l вектора скорости υ и внутренней энергии εвн единицы
pl
 2
массы:
l  ,  вн   .

 2
(7.12.1)
4
Переменные поля течения
и плотности потоков
Переменные поля ρ, l и ε (или εвн), а также их первые производные на
граничной поверхности S ячейки ΔV определяют на этой поверхности
векторы плотностей потоков массы jρ (п. 5.4.1) , тензор плотности потока
импульса Пik(5.6.4) и полной энергии I - вектор Умова-Пойтинга (6.2.5).
• Если воспользоваться уравнениями сохранения в дивергентном виде для
массовой плотности (5.3.5), импульса (5.6.5) и полной энергии (6.2.6) в объеме
V, то эту систему уравнений можно записать с использованием теоремы
Гаусса-Остроградского в обобщенном виде:
F
(7.12.2)
   q f n dS , F   f  dV .

t
S
( V )
Здесь величины f и q f могут принимать значения
•
f  { , l ,  },
q f  {j , Пik , I} .
(7.12.3)
В (7.12.2) n - единичный внешний к S нормальный вектор. Плотности потоков
qf определяются на поверхности S переменными поля и их производными.
• Уравнения (7.12.2,3) справедливы для произвольного объема V, и
естественно требовать их выполнения для минимального объема-ячейки ΔV
разностной сетки. Дополнительными условиями для системы (7.12.3) являются
значения плотностей потоков qf на ограничивающих объем V поверхностях.
Вид этих условий определяется постановкой рассматриваемой физической
задачи.
5
7.12.2. Замкнутая система уравнений
сохранения в квадратурной форме
Сформулированная выше задача сводится к необходимости определения
переменных l и ε (или εвн) и плотностей потоков qf в характерных точках
поля течения так, чтобы уравнения (7.12.2) выполнялись с требуемой
точностью для каждого элементарного объема ΔV.
• Интегралы в (7.12.2) вычисляются по квадратурной формуле
F n1  F n


(7.12.4)
 h   q f n dS  .

S

Здесь плотности потоков qf определяются по значениям переменных поля и их
производных в характерных внутренних точках объемов-ячеек, а величины
Fn+1 вычисляются с погрешностью О(τ2). Оператор  h определяет конечно –
разностное представление интеграла по некоторой квадратурной формуле,
зависящей от шага h расчетной сетки. Величина τ есть шаг по времени.
• Уравнения (7.12.4) для аддитивных характеристик m, Пi и Е среды во всех
объемах (ячейках) составляют систему нелинейных алгебраических уравнений
для переменных газодинамического поля в одной точке элементарного объема
(ячейки) . Система уравнений (7.12..4) вместе с определением (7.12.1),
уравнением состояния и граничными условиями является замкнутой.
•
6
Переменные в поле течения и
на граничных поверхностях
Отличительные особенности рассматриваемой численной модели: все
переменные в (7.12.2) естественно разделяются на две группы:
– переменные поля течения (массовая плотность ρ, компоненты скорости
l , давление Р, температура Т) имеют локальный характер, являются
интенсивными параметрами, т.к. их градиенты определяют плотности
потоков массы, импульса и энергии;
– переменные на граничных поверхностях (плотности потоков) являются
экстенсивными параметрами, и для них сформулированы законы
сохранения (7.12.2).
В соответствии с разным физическим смыслом переменных вычисление
их на границах элементарного объема ΔV также должно быть различным.
В методе потоков плотности потоков вычисляются с учетом направления
вектора скорости с использованием несимметричных апроксимационных
формул. Направление вектора скорости учитывается в том смысле, что
плотности потоков в некоторой точке определяются аналогичными в
точках, лежащих против течения. Наличие конвективного переноса делает
пространственные направления потоков неравнозначными, что необходимо
учитывать при составлении разностных схем.
Переменные же поля и их производные (в тензоре вязких напряжений и
законе теплопроводности) определяются по симметричным формулам.
•
7
Свойство консервативности
метода потоков
Переход к интегральным законам сохранения (7.12.2) требует производных
на единицу меньшего порядка по сравнению с прямыми методами численного
решения уравнений Навье – Стокса, что существенно упрощает решение.
• Метод потоков обладает свойством консервативности по массе, импульсу
и полной энергии на каждом временном слое [3], причем консервативность,
как следует из (7.12.2), имеет место как локально (для каждой ячейки
разностной сетки), так и интегрально, т.е. для всей расчетной области [4].
• Это свойство основано на разностной аппроксимации законов сохранения,
выписанных для каждой ячейки расчетной сетки через поверхностные
интегралы от плотностей потоков. Действительно, при решении конкретной
задачи поверхностные интегралы в (7.12.3) вычисляются на отдельных
участках поверхностей , являющихся границами между двумя соседними
объемами . В зависимости от направления плотностей потоков q f значения
количеств F = {m, Pl, ε} изменяются (в одних ячейках увеличиваются, а в
других уменьшаются) на величины, определяемые потоками массы, импульса
и полной энергии через совпадающие участки границы. Такой способ
вычислений не может привести с точностью до ошибок округления к потере
или образованию количеств из-за вычислительных процедур, что и
свидетельствует о консервативности метода потоков.
•
8
7.12.3. Конечно-разностная схема
метода потоков
Принципы построения конечно – разностных схем метода потоков
рассматриваются на примере решения задачи внешнего обтекания
двумерного прямоугольного выступа для двух случаев: первый – обтекание
эйлеровым газом, второй – вязким теплопроводным газом.
• Многие этапы разработки конечно – разностных схем для обоих случаев
идентичны, однако выражения для расчета обтекания вязким
теплопроводным газом является более сложными и громоздкими.
• Задача состоит в отыскании распределений параметров поля течения при
обтекании бесконечного прямоугольного выступа потоком набегающего
эйлерова газа (рис. 3.1). На рис. 3.1 использованы следующие обозначения:
Λ - расчетная область; Г - граница расчетной
области; υ- скорость набегающего потока; Vi, jрасчетная ячейка с индексами i и j ; S i 1 2, j граница между ячейками i-1/2 и j; Lx,y линейные размеры расчетной области; Lmx , Lmy линейные размеры обтекаемого тела; Lвыстрасстояние от левой границы расчетной
области до левого края выступа.
Рис. 7.27
•
9
Координаты ячеек и узловые точки
•
Стороны ячейки ΔVij образованы линиями
xi  i  x,
y j  j  y,
i  0,1,...N  Lx / x,
j  0,1,...M  Ly /y .
(7.12.5)
В качестве характерных внутренних точек объемов ΔVij , к которым относят
переменные поля, выбираются на плоскости точки с координатами
xi  (i  1 / 2)x, y j  ( j  1 / 2)y, i  0,1,...N  1, j  0,1,...M  1 . (7.12.6)
Через ΔVij обозначают объем, содержащий точку (xi, yj).
• Потоки соответствующих величин в ΔVij с координатами (7.12.5) имеют
место через четыре участка его внешней поверхности , которые обозначим
соответственно через S i 1 2, j , S i 1 2, j , S i , j 1 2 , S i , j 1 2 , так что S i 1 2, j , например,
разделяет ячейки Vi , j и Vi 1, j и т. д. Вычисление потоков выполняется с
использованием квадратурной формулы прямоугольников с центральной
узловой точкой, координаты которой на границе S i 1 2, j , например, равны
xi 1 2  (i  1) x, y j  ( j  1 / 2) y .
(7.12.7)
• Такая квадратурная формула требует определения в узловых точках
переменных поля и первых производных компонент скорости υ и внутренней
энергии εвн. Эти величины в дальнейшем будем обозначать с помощью
i 1 2, j
полуцелых индексов, например, (υx )
есть значение υх на S i 1 2, j .
10
Плотности потоков для эйлерова газа
• В данном варианте метода потоков в основу алгоритма положены
нестационарные уравнения (7.12.2). Если в момент времени t k   k известны
значения величин-количеств в какой-либо ячейке m(t k )  m k , Pl k , E k , где τ шаг интегрирования по времени, то в момент t k 1   (k  1) эти величины могут
быть вычислены с погрешностью O(τ2) следующим образом:
mk 1  mk    j  n dS ,
Pl k 1  Pl k     Пls  ns dS ,
k
S
E
k 1
k
 E    I  n dS .
k
k
S
(7.12.8)
S
• Решение задачи обтекания выступа эйлеровым газом ищется при условии
T = const в системе, что соответствует εвн = const и отсутствию потоков εвн
через границы ячеек. Поэтому на каждом шаге расчета для каждой стороны
ячейки необходимо вычислять плотности потока массы jl и компоненты
плотности потока импульса Пls (l , s  x, y ) , т.е. плотность потока l-компоненты
импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси s, которые для
эйлерова газа равны (см.( 5.6.4), (6.4.2,3) и (6.5.1)):
jl  ρ  l , Пls   l s  P   ls .
(7.12.9)
11
Потоки и переменные на границе
• Конечно–разностные выражения для плотностей потоков, например, через
площадку S i 1 2, j можно записать согласно (7.12.9), если в них переменные поля ρ
и υl заменить на их значения на границе между ячейками ΔVij и ΔVi+1,j :
q 
m i 1 2, j
x
 ρ
i 1 2, j
  x 
i 1 2, j
q 
  i 1 2, j   x 

  x 
p i 1 2, j
xx
,
q 
p i 1 2, j
xy
i 1 2, j
i 1 2, j
i 1 2, j
  y 
i 1 2, j
  x 
i 1 2, j
.
 Pi 1 2, j ,
(7.12.10)
• Согласно соображениям, приведенным в п. 7.12.2, массовую плотность ρ
необходимо аппроксимировать по несимметричной формуле, учитывающей
направление потока: i 1 2, j 1,5 i , j  0,5  i 1, j при x  0


.
i 1, j
i 2, j
(7.12.11)
 0,5 
при  x  0
1,5
Компоненты скорости на границе определяются по симметричным формулам:
i 1, j
i, j
i 1, j
i, j














i

1
2
,
j
y
x
 y
.
x i1 2, j  x
,  y 
(7.12.12)
2
2
• Давление Р можно получить из уравнения состояния идеального газа,
записанного для конечно-разностных аналогов параметров газа:
RT
(7.12.13)
Pi 1 2, j   i 1 2, j
.

Здесь R – газовая постоянная, µ - молярная масса газа.
12
Первый тип граничных условий
• Следует заметить, что существует определенная неоднозначность выбора
аппроксимаций для термодинамических параметров. Причем некоторые из этих
аппроксимаций являются аналогичными с точки зрения точности.
Предпочтительность каких-то конкретных вариантов необходимо определять
опытным путем. Например, численные эксперименты показали, что с точки
зрения устойчивости расчета в (7.12.13) для определения давления лучше
использовать среднее арифметическое плотностей граничащих ячеек, а не
плотность, вычисленную по формуле (7.12.11). Формулы (7.12.10-13) имеют
второй порядок точности О(τ2). Аналогичным способом записываются
выражения для потоков и переменных на других трех границах ячейки ΔVij .
• Для приграничных ячеек необходимо задать граничные условия двух типов:
1. на внешней границе рассматриваемой области течения;
2. на границе обтекаемого тела.
• Первый тип условий связан с ограниченностью расчетной области, на
внешней границе которой должны быть заданы условия, не оказывающие
существенного влияния на решение вблизи обтекаемого тела. Используются
различные варианты организации этих условий: первый - вводится слой
приграничных ячеек, в которых параметры вычисляются как среднее между их
значениями в набегающем потоке и ближайшей ячейке внутри области.
13
Условия непротекания и прилипания
Другой вариант заключается в аппроксимации с различной точностью
изменения параметров в соседних ячейках внутри области и экстраполяцией
их на приграничные ячейки.
• Второй тип граничных условий отражает физическую модель
взаимодействия газа с обтекаемым телом и их подразделяют на два вида:
– условие непротекания,
– условие прилипания.
• Условие непротекания означает, что газ не может попасть в твердое тело
и накапливаться с течением времени на его поверхности, и выражается в
равенстве нулю нормальной к поверхности тела компоненты скорости газа.
• Условие прилипания означают, что на границе с твердым телом газ
полностью тормозится, и вектор скорости газа на границе газ - твердое
тело равен нулю. Условие прилипания бессмысленно формулировать для
невязкого (эйлерова) газа, т.к. для него отсутствует механизм, который
позволил бы другим слоям газа (не прилегающим к поверхности)
«чувствовать» торможение около твердого тела.
• В методе потоков для обеспечения условий на границе с твердым телом
необходимо задавать плотности потоков импульса.
•
14
Этапы вычислительного цикла
• Основные этапы вычислительного цикла:
• 1. Задание начальных условий (как правило, в невозмущенный поток газа
расчетной области мгновенно помещается тело).
• 2. Аппроксимация параметров потока в приграничных ячейках (на
свободной границе). Причем, значения параметров внутри расчетной зоны
известны, а также известны условия набегающего потока.
• 3. Вычисление плотностей потоков через каждую площадку ячейки
внутри расчетной зоны. Необходимо учитывать условия на границе с
обтекаемым телом, это осуществляется за счет задания потоков импульса (и
энергии, в общем случае) через площадку, примыкающую к твердому телу.
• 4. Вычисление изменения массы, компонент импульса и полной энергии
для каждой ячейки умножением плотностей потоков на шаг по времени и на
соответствующую площадь (в двумерном случае длину) и суммированием по
всем границам,
• 5. Перерасчет массы, компонент импульса и полной энергия газа в каждой
ячейке по известному их изменению за временной шаг,
• 6. Пункты 2-5 повторяются до тех пор, пока по какому-либо критерию не
будет принято решение, что расчет закончен.
15
Массовая плотность на границе
• При организации граничных условий газ – твердое тело необходимо
модифицировать расчетные формулы (7.12.11) для массовой плотности ρ. Это
связано с тем, что при расчете плотности в приграничной ячейке в формуле
(7.12.11) для этой ячейки должны использоваться плотности газа в ячейках,
которые находятся внутри твердого тела, а для них плотность газа не
определена. Поэтому, например, в случае ячейки, приграничной с твердым
телом, которое прилегает к стороне S i 1 2, j , и в случае, если  x  0 , плотность
на стороне S i 1 2, j определяется по формуле

i 1 2, j

 i 1, j   i , j
.
(7.12.14)
• Кроме того, для организации условия непротекания необходимо задавать
нулевые плотности потока импульса через границу газ – твердое тело.
2
16
7.12.4. Распределение скоростей и давлений
при обтекании прямоугольного выступа
эйлеровым газом
•
В двух численных экспериментах использовались геометрические
параметры расчетной зоны, приведенные в таблицах 7.1, а в таблице 7.2 –
параметры газового потока гексафторида урана.
Таблица 7.1
Δy,
м
Lтx ,
Lтy ,
Lвыст ,
0,03
0,05
0,45
0,75
0,6
0,025
0,05
0,375
0,75
2,5
№
эксперимента
Lx,
м
Ly,
м
Δx,
1
3
1,5
2
5
1,5
м
м
м
Таблица 7.2
,
T,
м/с
,
кг/м3
К
кг/моль
1333
1
0,188
300
0,352
1333
200 (М ≈ 2)
0,188
300
0,352
№
эксперимента
P,
Па
1
2
υ ,
17
Поля скоростей и давлений
На рис. 7.28 приведено полученное в численном эксперименте № 1 поле
скоростей, а на рис. 7.29 – поле давления. При обтекании выступа
эйлеровым газом при заданных условиях образуется две зоны циркуляции:
сверху над выступом и справа от выступа. На рис. 4.29 можно видеть, что в
тех местах, где возникают зоны циркуляции потока (Рис. 28), давление
заметно уменьшается. И напротив, слева от выступа, где поток
набегающего газа «упирается» в стенку, давление возрастает.
•
P = 1333 Па
Па
1333
P = 1330 Па
Па
1330
1335
ПаПа
P = 1335
Рис. 7.28
Рис. 7.29
18
Зоны вихревого движения
• В увеличенном масштабе эти зоны вихревого движения изображены над
выступом на рис. 7.30, а за выступом на рис.7.31. Как видно на рис. 7.30, в
отсутствии сил вязкости вблизи твердой стенки над выступом поток
гексафторида урана циркулирует в двух вихрях: по набегающему потоку по
часовой стрелке в передней части и против направления набегающего
потока против часовой стрелки в задней части, в которую наблюдается заброс
среды из глобального вихря за выступом, как видно на рис. 7.31.
Рис. 7.30
Рис. 7.31
19
Распределение давления
• При обтекании прямоугольного выступа сверхзвуковым потоком газа ( эксперимент
№2 в табл. 7.1, 7.2) образуется ударная волна перед выступом (рис 4.32 и 4.33). На
рисунках видно, что перед пластинкой образуется ударная волна, давление в которой
почти в 5 раз превышает давление в набегающем потоке, а за пластинкой образуется
обширная разреженная зона, давление в которой в 1.5 раза меньше давления в
набегающем потоке.
P=1333 Па
P = 800 Па
P = 6000 Па
Рис. 7.32
Рис. 7.33
20
Выводы
•
•
•
•
•
Введены основные определения и получены основные
законы сохранения, описывающие изменение характеристик
сплошной среды в поле течения эйлерова газа около прямого
выступа.
Изучен численный метод потоков решения замкнутой
системы уравнений для эйлерова газа.
Получены знания по составлению алгоритма и составлению
программы расчета параметров поля течения.
Рассмотрены результаты расчета по распределению
скоростей и давлений в поле течения эйлерова газа при
дозвуковом и сверхзвуковом обтекании плоской пластинки.
Описано возникновение ударной волны при обтекании
пластинки сверхзвуковым потоком.
2007. Численные методы…Лекция 13
21
Информационное обеспечение лекции
•
1.Бабаков А.В., Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Численное
исследование течения вязкого теплопроводного газа у тупого тела
конечных размеров.- Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1975, №3,
с. 112-123.
•
2. Бабаков А.В. Численное моделирование некоторых задач
аэрогидродинамики.-М.: ВЦ АН СССР, 1986, с. 56.
•
3. Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Консервативный метод
потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким
теплопроводным газом.- ЖВМ и МФ, 1973, 13, №2, с. 385-397.
•
4. Самарский А.А. О консервативных разностных схемах.- В кн.:
Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с.129-136.
2007. Численные методы…Лекция 13
22
Справочные данные
Курс лекций является частью учебно-методического
комплекса «Численные методы расчета задач механики
сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная
среда».
Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.
Учебно-методический комплекс подготовлен на
кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.
электронный адрес: [email protected]
23