Математические софизмы

Группа учащихся 8Б класса: Туркова
Анастасия

Софизм- последовательность высказыва-
ний, содержащая скрытую ошибку, за
счёт чего удаётся сделать неправдоподобный вывод. Эти ошибки допускают
сознательно, с целью увлечь собеседника
по ложному пути.
 Софизм - доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована.
Софизмы появились еще в Древней
Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов —
платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и
искусству красноречия). Одна из основных задач софистов заключалась
в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логичес-
кие, риторические и психологические
приемы.
К логическим приемам нечестного, но удачного
ведения дискуссии и относятся софизмы.
Однако, одних только софизмов для победы в
любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего,
то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это
хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и
психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для
них), состоявшая в том, что никакой объективной
истины не существует: сколько людей, столько
и истин.
Тематика софизмов охватывает все разделы математики и частично выходит за её
рамки. Приведем примеры софизмов в
алгебре и геометрии.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
16 - 36 = 25 - 45
16 – 36 + 81/4 = 25 – 45 + 81/4
42 – 2 * 4 * 9/2 + (9/2)2 = 52 – 2 * 5 * 9/2 + (9/2)2
( 4 - 9/2 )2 = ( 5 - 9/2 )2
4 - 9/2 = 5 - 9/2
4=5
Пусть c = a + b, где a, b – произвольные числа
 a2 – b2 = ( a – b ) ( a + b )
 т.к. a + b = c, то получим следующее тождество: a2 - b2 = ( a – b ) c
 раскроем скобки в правой части:
a2 - b2 = ac – bc
 добавим к правой и левой части "ab" :
a2 + ab - b2 = ac – bc + ab






перенесём из левой части в правую "b2":
a2 + ab = ac – bc + ab + b2
перенесём из правой части в левую "ac":
a2 + ab – ac = ab – bc + b2
перенесём из правой части в левую "ac":
a2 + ab - ac = ab – bc + b2
вынесем за скобку в левой части "a", а в
правой "b": a(a – c + b) = b(a – c + b)
сократим левую и правую части на "a –
c + b": и получим, что a = b
т.к. a и b –произвольные числа, то
отсюда следует, что все числа равны
друг другу.
1) 4 : 4 = 5 : 5
2) вынесем за скобку в левой части 4, а в
правой 5 и получим: 4 (1:1) = 5 (1:1)
3) сократим в левой и в правой части на
скобку (1:1) и получаем: 4 = 5
Рассмотрим произвольный
треугольник АВС (рис.).
Проведем в нем биссектрису угла В и серединный
перпендикуляр к стороне
АС. Точку их пересечения
обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОД на сторону АВ и
перпендикуляр ОЕ на
сторону ВС. Очевидно, что
ОА=ОС и ОД=ОЕ..

Но тогда прямоугольные треугольники АОД и
СОЕ равны по катету и гипотенузе.
Поэтому тр-к ДАО = тр-ку ЕОС. В то же время
тр-к ОАС = тр-ку ОСА, так как тр-к АОС равнобедренный.
Получаем равенство:
Тр-к ВАС = тр-к ДАО+ тр-к ОАС = тр-к ЕОС +
тр-к ОСА = тр-к ВАС
Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому тр-к
АВС- равнобедренный: АВ=ВС.
Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника, пересекаются вне этого
треугольника.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их
пересечения назовем O. Опустим из
нее перпендикуляры EO и OF на
стороны AB и BC соответственно.
Т.к. DO одновременно и высота и
медиана треугольника AOC, то он
равнобедренный и AO = OC.
Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства
треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF),
EO = OF. Следовательно, треугольник AEO =
треугольнику FCO, т.е. AE = FC.
Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB =
BC.
Проведя такое же рассуждение для основания не
AC, а, например, AB, получим, что BC = CA.

Из этого следует, что все треугольники на
свете - равносторонние. В частном случае,
если треугольник прямоугольный, то катеты
равны гипотенузе.