Векторы. Действия с векторами Сложение векторов

Коллективный способ обучения (технология В.К.Дьяченко).
Основная идея: каждый обучает каждого.
Способ обучения, содержащий четыре организационные формы: индивидуальную,
групповую, парную и коллективную, где четвертая форма является ведущей,
называется коллективным способом.
Для организации КСО выбирается тема или подтема, допускающие разбивку на
относительно независимые части. Весь материал разбивается на порции и каждая
порция оформляется на карточку. Набор карточек, содержащий всю тему, называется
блоком заданий. В блоке может быть 4-9 карточек. Каждая карточка содержит идею
отличную от идеи других карточек. Причем ученик может начать работу с любой
карточки и в любой последовательности выполнять задания
Задания для ввода
Определение
Основные теоретические сведения
Примеры решения задач (1-2)
Задания для самостоятельной работы
Три варианта заданий с нарастающей
сложностью (по 2 задания в каждом)
Существует несколько способов ввода карточек в работу.
1. Самоввод.
2. ввод делают ассистенты.
3. вводит учитель.
4. групповой ввод.
Например, можно взять тему: «ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМ»
Векторы. Действия с векторами
1. Абсолютная величина и направление вектора. Координаты вектора
1. Задание для ввода.
Вектор – направленный отрезок.
2. Задания для самостоятельной
работы.
Вариант 1.
Векторы AB и CD называются одинаково
направленными, если полупрямые AB и CD 1. Даны точки A(1;5), B(3;4), C (0;1).
одинаково направлены.
Найти координаты AB и CB.
AB
Векторы
противоположно
полупрямые AB
направлены.
и
называются 2. Абсолютная величина a(5; m)
CD
направленными,
если
и CD противоположно равна 13, а b(n;1) равна5. Найти m и
n.

a  A1 A2 , A1 ( x1 ; y1 ) , A2 ( x 2 ; y 2 ) , a(a1 ; a 2 ) ,
Вариант 2.
a( x 2  x1 ; y 2  y1 ) .
1.
Даны
точки
Абсолютной величиной вектора называется
1
1
Найти
длина
отрезка,
изображающего
вектор. A( ;7), B(1;2), C (1; ).
a  x  y , где a( x; y ) .
2
2
2
координаты
2
Нулевым вектором называется вектор, у
AB, BC , CA, CA, AC , CB , BA.
которого начало совпадает с концом. 0  0 .
2. Абсолютная величина a(11; k ) равна
Задача 1. Даны точки A(3;5), B(0;7), C(-2;3), 2, а b(2; n) равна 5. Найти т и п.
D(-1;-2).Найти координаты векторов
AB, BD, DA, CB.
1.
Решение: AB(0  3;7  5), AB(3;2).
Вариант 3.
Даны
точки
BD(1;2  7), BD(1;9)
1 1
1
A(3;5), B( ; ), C ( ;5), D(0;1).
2 2
2
DA(1  3;2  5), DA(4;7)
Найти
CB(2;3  7), CB(2;4).
AB , AC , AD, BC , BD, BA, CD , CA, CB , DA
Задача 2. Абсолютная величина
a(5; m)
координаты
,
DB , DC .
равна 13, а b(n;24) равна 25. Найти n и m .
Решение:
2. Абсолютная величина a ( ; c) равна
a(5; m), a  13  5 2  m 2  13,
2, а b(d ; 2 ) равна 7. Найти c u d.
25  m  169,
2
m  144,
2
m  12.
b(n;24), b  25  n 2  24 2 
25,
n 2  24 2  25 2 ,
n  7.
1
2
Векторы. Действия с векторами
2. Равенство векторов. Координаты вектора
1.Задание для ввода.
2. Задания для самостоятельной
работы.
Два вектора называются равными, если они
совмещаются параллельным переносом.
Равные векторы одинаково направлены и равны по
абсолютной величине.
Обратно: если векторы одинаково направлены и
равны по абсолютной величине, то они равны.
Равные векторы имеют равные соответствующие
координаты. И обратно: если у векторов
соответствующие координаты равны, то векторы
равны.
A1 ( x1 ; y1 ), A2 ( x 2 ; y 2 ), A3 ( x 3 ; y 3 ).
A1 A2 ( x 2  x1 ; y 2  y1 ), A2 A3 ( x3  x 2 ; y 3  y 2 )
 x  x1  x 3  x 2 ,
A1 A2  A2 A3   2
 y 2  y1  y 3  y 2 .
Вариант 1.
1. Даны точки A(5;1), B(4;3), C(3;7),
D(2;9). Докажите равенство векторов
AB и CD.
2. Даны точки A(1;3), B(x;5), C(7;1),
D(2;3). Векторы
Найти х.
ABuCD равны.
Вариант 2.
1. Даны точки A(3;7), B(0;4), C(0;0),
D(-3;-3). Найдите равные векторы.
2. Даны точки A(-1;-2), B(
1
1
1
;0), C ( x; ), D( ; y). Векторы
2
2
2
AB и CD равны. Найти х и у.
Задача. Даны точки A(0;1), B(1;0), C(1;2), D(2;1).
Докажите равенство векторов
AB
и
CD.
Вариант 3.
1. Придумайте точки А, В, С, Д
Решение:
(координаты) так, чтобы AB  CD.
2. Даны три точки: A(1;1), B(-1;0),
C(0;1). Найдите такую точку D(x;y),
AB (1  0;0  1), AB (1;1) 

  AB  CD.
CD(2  1;1  2), CD(1;1)

чтобы векторы
равны.
AB и CD были
Векторы. Действия с векторами
3. Умножение вектора на число
1. Задание для ввода.
2. Задания для самостоятельной
работы.
Произведением вектора (a1 ; a 2 ) на число
называется
(a1 ; a 2 ) ,
вектор

т.е. 1.
(a1 ; a 2 )    (a1 ; a 2 )
Для любого вектора
Вариант 1.
Докажите,
что
a(1;2), b(0,5;1)
a
и чисел
,  :
направлены.
векторы
одинаково
(   )a   a   a.
Для
любых
2. Даны векторы a(3;2), b(0;1).
векторов
и
a, b
числа
 : Найдите c  2a  4b.
 (a  b)   a   b.
Вариант 2.
Докажите, что
1.
Абсолютная величина вектора
векторы
 a равна c(1;2), d (0,5;1)
  a. Направление вектора  a при a  0 противоположно направлены.
2. Даны
совпадает с направлением вектора a , если
  0, и противоположно направлению вектора
a , если   0.
(повторите доказательство теоремы п.
).
векторы
1
1
a( ;5), b(7; ). Найдите
2
3
1
ñ  a  5b.
2
Вариант 3.
Даны
векторы:
A( x1 ; y1 ), B( x 2 ; y 2 ). 1.
Докажите, что векторы AB, BA противоположно a(1;2), b( x;1), c( y;5), d (3;5).
направлены.
Найдите х и у, такие чтобы a, b
Задача 1. Даны точки
Решение:
были
AB( x 2  x1 ; y 2  y1 ), BA( x1  x 2 ; y1  y 2 ).
AB  (1)  BA  AB, BA
противоположно
ч.т.д.
направлены,
одинаково
направлены,
а
c, d  противоположно
- направлены.
2.
Дан параллелограмм ABCD,
  0.
Задача 2. Даны векторы a(2;3), b(1;1). Найдите
c  2a  3b.
Решение: 2a(2  2;2  (3)),2a(4;6)
AC  a, DB  b.
векторы
Выразите
AB , CB , CD , AD через
a, b.
3b(3  (1);3  1),3b(3;3)
c(4  3;6  3), c(1;3).
Векторы. Действия с векторами
4. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
1.Задание для ввода.
2.Задания для самостоятельной
работы.
Два
ненулевых
вектора
называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы либо одинаково
направлены,
либо
противоположно
направлены.
1.
Пусть
a, b -отличные
от
нуля
Вариант 1.
1. Изобразите
коллинеарные
и
неколлинеарные векторы.
2. Докажите,
что
векторы
a(3;5), b(6;10)  коллинеарные.
Вариант 2.
коллинеарные векторы. Существует число

такое, что b   a.
2.
Пусть
a, b  отличные от нуля
неколлинеарные векторы. Любой вектор c
можно представить в виде c   a 
 b.
a(2;4), b(1;2).
Задача. Даны векторы
Докажите, что a, b  коллинеарные.
Решение: a(2;4)    b(1;2)
т.к.
1
2
 ,
это равенство выполняется,
значит, a, b -коллинеарные.
1. Известно, что a(1;1), b(2; m)
коллинеарные.
Найдите, чему
равно т..
2. Докажите,
что
векторы
c(0;2), d (1;3) неколлинеарные.
Вариант 3.
1. Даны
a(1;0), b(1;1), c(1;0).
Найдите такие числа
, ,
чтобы имело место векторное
равенство c   a 
вывод можно сделать.
2. Известно, что
коллинеарные,
ч.т.д.
 b. Какой
1
a(1;2), b( ; m) 
2
а
1
b( ; m), c(2; n) 
2
неколлинеарные. Найти т и п.
Векторы. Действия с векторами
5. Скалярное произведение векторов
1.Задание для ввода.
Скалярным
произведением
называется
a(a1 ; a 2 ), b(b1 ; b2 )
a1 b1  a 2 b2 .
2.Задания для самостоятельной работы.
векторов
число
Для векторов a, b, c : (a  b)  c  ac  bc.
Углом между ненулевыми векторами AB, AC
называется угол BAC.
Углом между любыми двумя ненулевыми
векторами a, b называется угол между равными
им векторами с общим началом.
Угол
между
одинаково
направленными
векторами считается равным нулю.
Скалярное произведение векторов равно
произведению их абсолютных величин на
косинус угла между ними.
a  b  a  b  cos.
Если a  b  a  b  0.
векторы
c1  a  b, c 2  a  b,
2
2
если
a(1;4), b(4;8).
2. В
параллелограмме
AB  a,
диагональ
АВСД
AC  b.
Выразите BC , AD, CD через a, b.
Вариант 2.
1. Найдите
векторы
c1  a  b, c 2  a  b,
если
a(2;7), b(4;1).
2. В
параллелограмме
АВСД
диагонали пересекаются в точке М.
Выразите
(a(a1 ; a 2 )  a  a  a )
2
1
Вариант 1.
1. Найдите
AB, CD
a  AM , b  BM .
Вариант 3.
через
1. Найдите
Если a  b  0 и a  0, b  0  a  b.
Задача.
Найдите
угол
между
Решение:
1
a  b  1  1  2  ( )  1  1  0,
2
a  b  a  b cos ,
a  1  4  5, b  1 
0 5
c1  a  b, c 2  a  b,
3 1
1
a( ; ), b( 2 ; ).
4 5
4
векторами
1
a(1;2), b(1; )
2
векторы
если
2. Дан
параллелограмм
Найдите
АВСД.
AB  BC , AB  BC  CD ,
AB  AD, BC  CD , AB  CD.
1
5

,
4
4
5
 cos  cos  0    90  .
4
Векторы. Действия с векторами
6. Сложение векторов
1. Задание для ввода.
2. Задания для
самостоятельной работы.
Суммой векторов a, b с координатами a1 , a 2 и
b1 , b2 называется вектор
a1  b1 , a 2  b2 , т.е.
c
с
координатами
c1  a  b, c 2  a  b, если
a(1;4), b(4;8) .
a(a1 ; a 2 )  b(b1 ; b2 )  c(a1  b1 ; a 2  b2 ).
2.В параллелограмме АВСД
Для векторов справедливо: a  b  b  a,
AB  a,
a  (b  c)  (a  b)  c.
Каковы бы ни были точки А,В,С имеет место
векторное равенство
AB  BC  AC.
(правило
Вариант 1.
1.Найдите
векторы
треугольника
).
диагональ
Выразите
AC  b.
BC , AD, CD через a и
b.
Вариант 2.
1.Найдите
векторы
Правило параллелограмма: для векторов с общим
началом – их сумма изображается диагональю
параллелограмма, построенного на этих векторах.
AB  AD  AC , т.к. AB  BC  AC , BC  AD.
Разностью векторов
a(a1 ; a 2 ) и
b(b1 ; b2 )
называется такой вектор c(c1 ; c 2 ), который в сумме
ñ1  a  b, c 2  a  b, если
a(2;7), b(4;1).
2.В параллелограмме АВСД
диагонали пересекаются в
точке М. Выразите
AB и
CD
a  AM , b  BM .
через
Вариант 3.
векторы
b  c  a 1. Найдите
c1  a  b, c 2  a  b, если
3 1
1
a( ; ), b( 2 ; ).
Задача. Даны векторы с общим началом: AB , AC .
4 5
4
с вектором
b дает вектор a :
(c1  a1  b1 , c 2  a 2  b2 )
Докажите, что AC  AB  BC.
Решение: имеем AB  BC  AC
(правило
ч.т.д.
.
треугольника)
 AC  AB  BC.
2. Дан параллелограмм АВСД.
Найдите
AB  BC ,
AB  BC  CD ,
AB  BC  CD  DA,
AB  AD , AB  CD.