Индивидуальные задания по устранению ошибок

Индивидуальные задания по устранению ошибок
Положительный эффект индивидуальных задании несомненен. В
них можно учесть особенности каждого ученика, дать сильному трудную
задачу, а слабому — простое «алгоритмическое» упражнение. Особенно
полезно предлагать индивидуальные домашние задания. Просматривать их
лучше всего вместе с теми учащимися, которые их выполняли. По ходу
проверки можно задать различные вопросы, вовлекая учеников в беседу.
Одна из главных методических нагрузок индивидуальных домашних заданий состоит в профилактике возможных ошибок и преодолении уже
допущенных. Для того чтобы индивидуальное задание имело точное
«попадание в ошибку», учителю нужно вести учет ошибок. По каждой теме
целесообразно фиксировать основные затруднения учащихся и в
специальной учительской тетради составлять список ошибок учащихся.
Список ошибок обычно пополняется во время проверки контрольных работ. Но полезно также иметь такой список заранее, поскольку в своем
большинстве ошибки не оригинальны. По каждой теме они повторяются из
года в год. Молодому учителю будет полезно ознакомится с ошибками,
которые учащиеся допускают в самом начале изучения курса алгебры. В этой
заметке мы не только перечислим типичные ошибки, но и укажем некоторые
приемы их устранения, которые можно реализовать в индивидуальных
заданиях.
В тождественных преобразованиях целых выражений наиболее
распространены следующие ошибки:
учащиеся складывают коэффициенты, а переменные перемножают,
например: 9а + 3а=12а2;
складывают отдельно коэффициенты и отдельно — буквенные выражения, например; 8z+5z=13+2z;
вычитают коэффициенты, а про буквенные выражении «забывают»,
например: 5х—4х=1.
Такого типа ошибки связаны с непониманием распределительного
закона умножения относительно сложения и вычитания.
При сложении (вычитании) степеней учащиеся часто складывают
(вычитают) и коэффициенты, и показатели степеней. Аналогичная ошибка
наблюдается и при умножении (делении) степеней. Например:
3а2+5а2= 8а4 ; а4 - а2 = а2 ; х3 * х2 =х6 ; m6 : m2 = m3.
Для устранения всех этих ошибок мы практикуем задания, в
которых от учащихся требуются доказательства истинности или ложности
выводов, которые сделали сами учащиеся. Вот некоторые из таких заданий.
Докажите, что в равенствах bт-bл=bт+п, 2а3*3а=18а2,
3x+5x+2x=10+3x допущены ошибки. Найдите эти ошибки.
Сравните значения выражении За2+5а2, 8а4 , 8а2 при а = 1/2, а=2.
Объясните, между какими двумя из данных выражений можно поставить
знак «=» и почему.
Даны равенства 2a+□ = 8a, □*За2=6а7. Вставьте вместо квадратиков
такие числа или выражения, чтобы равенства были верными. Перечислите
свойства чисел, которыми вы при этом пользуетесь.
Среди выражений 17+2х, 7Х+10X, 20х—Зх, 17х найдите такие, которые принимают равные значения при любых значениях х.
Рассмотрим теперь ошибки, допускаемые при разложении
многочленов на множители.
Вынося за скобки общий множитель, совпадающий с одним из
членов многочлена, учащиеся забывают поставить 1 на место этого члена.
Так появляются записи вида
4a4 b2+36a2 b3 + 4a2b2 =4a2 b2 (a2 +9b) .
Если общий множитель — многочлен, то учащиеся часто записывают его дважды. Например:
т2 (т+а)— b{т + а)= (т+а) (т2 -b).
Если общий множитель — разность, то учащиеся могут не учесть, с
какими знаками входят в исходное выражение компоненты этой разности.
Такая ошибка допущена в преобразовании:
x2—х3у-у3+ху2=х3(х-у)- у2(у—х) = (х-у) (х3-у2).
Для преодоления таких ошибок мы используем следующие
индивидуальные задания.
Дан одночлен 18х4у6. Представьте его в виде произведения двух
одночленов так, чтобы у первого из них коэффициент был 3, а у второго —
множитель у3. Сколько таких произведений можно составить?
Даны одночлены 5х2у3, 25x3y4, 15х4у5 . Укажите несколько их общих
множителей.
Даны равенства:
b2(х+а)—b3(...)=b2(х+а)(1-b);
т5(1- n)— т3( п— 1) = m3(...)(m2+1).
Вместо многоточий поставьте такие выражения, чтобы равенства
получились верными.
Выполните умножение: а) 2x2(3у+1). Вынесите за скобки общий
множитель: б) 6ах2у + 2ах2. Можно ли поставить знак «=» между
выражениями а) и б)?
При умножении многочленов часто встречаются такие
ошибки:
(а + b)(а +b) = а2 + b2 , (2а + Зb)(4с + 5а) = 8ac+15ab,
(3ab +1)(3ab -1) = 9a2b2+ 3ab.
Многие ошибки являются следствием торопливости учителя. Не
отработав у учащихся должным образом навыков умножения многочленов,
учитель переходит к формулам сокращенного умножения. В торопливости
учителя отчасти виновата и слишком насыщенная программа. Сильным
учащимся быстрый темп не вредит, а для слабых его можно несколько
замедлить, воспользовавшись индивидуальными заданиями. В них
целесообразно включать наборы однотипных упражнений на умножение
двучленов, двучлена на трехчлен и т. д. Очень полезны задания, в которых
требуется возвести двучлен в квадрат или в куб непосредственно, пользуясь
определением степени и определением умножения многочленов.
В преобразованиях алгебраических дробей наиболее распространены ошибки, аналогичные тем, которые возникают в действиях с
обыкновенными дробями.
При сложении дробей складывают числители и знаменатели:
ab cd abcd


a  b.
a
b
Складывая дроби, забывают умножить их числители на дополнительные множители:
m - n m  n ( m  n)  ( m  n)


.
m
n
mn
Целое выражение прибавляют к числителю без приведения к
общему знаменателю:
a
b
с+ 
ca
.
b
Изменяют знак лишь у первого члена вычитаемого многочлена,
забывая изменить его и у последующих членов:
abc abc abcabc


.
ab
ab
a b
Учащимся, допускающим такие ошибки, можно предложить
индивидуальные задания на числовом материале. В заданиях, что приведены
ниже, фактически предлагаются контрпримеры. Учащиеся поставлены перед
необходимостью обсуждать эти контрпримеры и объяснять причину ошибки.
Найдите ошибку в «сложении» трех дробей:
1 1 1 3 1
    .
2 3 4 9 3
Заметьте, что сумма трех положительных чисел оказалась равна
второму слагаемому. Выполните сложение правильно и придумайте
аналогичное упражнение с алгебраическими дробями. Объясните, верны ли
результаты двух «вычитаний»:
3 3 33
7 7 77
 
 0 ; б) 

 0;
а b
ab
9 10
90
3 3
Может ли выражение 
принимать нулевое значение,
a b
а)
если a≠b? Не выполняя вычитания в случае б), укажите, каким числом
должна быть разность: положительным или отрицательным? Выполните
верно оба вычитания.
3
7
В «сложении» 2 + 
23
сумма целого числа и дроби оказалась
7
меньше первого слагаемого. Может ли это случиться с положительными
слагаемыми? Выполните сложение верно. Укажите аналогичное задание с
буквами вместо чисел.