Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее приложения"

Десятый международный научный семинар
"Дискретная математика и ее приложения"
Мехмат МГУ, 4 февраля, 2010 г.
Новый правильный
многогранник
Сергей Александрович Лавренченко
(С. А. Л.)
lawrencenko.ru
L. Carroll, The mathematical recreations of Lewis Carroll:
pillow problems and tangled tale (4 ed.), Mineola: Dover, 2003.
Еще в XIX-м веке Льюис Кэрролл писал:
«Правильные многогранники вызывающе малочисленны,
и было бы безнадежным делом искать какие-либо
связанные с ними вопросы, которые не были бы уже
исчерпывающе проанализированы…»
Однако при этом он добавлял: « Но, кажется, еще есть
возможность изобрести другие такие многогранники…»
Один такой многогранник удалось построить.
Итак, что же такое правильный многогранник?
Что касается 2-мерных многогранников
в евклидовом n-мерном пространстве,
примем такое определение.
Определение. Правильным многогранником будем
называть многогранник, полная группа симметрий
которого вершинно-, реберно-, гранево- или флаговотранзитивна.
В зависимости от степени транзитивности, многогранник
будет называться, соответственно, вершинноправильным, реберно-правильным, гранево-правильным
или флагово-правильным.
Абстрактный Тороидальный
Гексадекаэдр ATH
(Abstract Toroidal Hexadecahedron)
— комбинаторно-топологический
объект — правильная триангуляция
тора с 8 вершинами и 16 гранями.
Свойства:
■ Каждая грань ATH — треугольник
и степень каждой вершины равна 6.
■ Граф G (ATH) изоморфен 1-скелету
4-мерного гипероктаэдра, т.е.
полному

4-дольному графу K_{2,2,2,2}.
K_{2,2,2} — граф обычного 3-мерного октаэдра.
K_{2,2,2,2} — граф 4-мерного гипероктаэдра.
K_{2,2,2,…,2} — граф n-мерного гипероктаэдра.
n раз
4-мерный гипероктаэдр, также называемый
гексадекахороном, ограничен 16-ю правильными
тетраэдрами. У него 32 треугольные грани, 24 ребра
и 8 вершин. Его 24 ребра ограничивают 6 квадратов,
лежащих в 6 координатных плоскостях. Его восемь
вершин следующие: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0),
(0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, кроме
противолежащих пар.
Все автоморфизмы триангуляции ATH найдены
при помощи компьютера:
С. А. Л., Перечисление в явном виде всех
автоморфизмов неприводимых триангуляций тора и всех укладок на тор помечен
ных графов этих триангуляций. Харьков,
1987. – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ 01.10.87,
№ 2779 – Ук87.
α_1 = id (тождественный)
α_2 = (35) (47) α_3 = (28) (34) (57)
α_4 = (28) (37) (45)
α_7 = (1268) (3457)
α_10 = (13876524)
α_13 = (14) (23) (58) (67)
α_16 = (14836725)
α_19 = (15846327)
α_22 = (16) (37) (45)
α_25 = (17856423)
α_28 = (17) (25) (38) (46)
α_31 = (18) (26) (47)
α_5 = (12) (47) (68)
α_8 = (1268) (3754)
α_11 = (13) (27) (48) (56)
α_14 = (1467) (2385)
α_17 = (1563) (2487)
α_20 = (15276384)
α_23 = (16) (28)
α_26 = (17236485)
α_29 = (1862) (3457)
α_32 = (18) (26) (35)
α_6 = (12) (35) (68)
α_9 = (13246587)
α_12 = (1365) (2784)
α_15 = (14256783)
α_18 = (15) (24) (36) (78)
α_21 = (16) (34) (57)
α_24 = (16) (28) (35) (47)
α_27 = (1764) (2583)
α_30 = (1862) (3754)
Группу Aut (АТH) можно определить
и без компьютера.
Эта группа вершиннотранзитивная,
потому что в ней есть
единый циклический
сдвиг всех вершин:
α_20 = (15276384).
Подгруппа Shift = <α_20> ≈ Z_8.
С другой стороны, стабилизатор каждой вершины есть подгруппа
изоморфная Z_2 × Z_2.
Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппа
Stab = <α_2, α_22> ≈ Z_2 × Z_2,
порожденная 2-мя инволюциями α_2 = (35)(47) и α_22 = (16)(37)(45).
Таким образом, группа Aut (АТH) может быть
порождена так:
Aut (АТH) = <α_2, α_22, α_20>
= (Z_2 × Z_2) Z_8,
где Z_2 × Z_2 и Z_8 — как указаны на предыдущем
слайде, причем произведение на Z_8 не является
прямым.
Таким образом,
|Aut (АТH)| = |Shift| ∙ |Stab| : |Shift ∩ Stab| = 8 ∙ 4 : 1 = 32.
БипирамидальныйТороидальный
Гексадекаэдр BTH —
геометрическая модель ATH в E³
С. А. Л., Все неприводимые
триангуляции тора реализуются в E3 в
виде многогранников, манускрипт,
Мехмат МГУ (1983).
Эта работа была выполнена под руководством профессора И. Х. Сабитова
и заняла 2-е место в конкурсе научных
студенческих работ за 1983 год, Мехмат МГУ.
 Экватор у BTH
Лавренченко
Lawrencenko
労
Rou (по-японски, читается «Ло»)
Lao (по-китайски, читается «Лао»)
Теорема (С. А. Л.):
В евклидовом 4-мерном пространстве
существует 2-мерный многогранник
с 8 вершинами и 16 треугольными гранями
без самопересечений,
который одновременно вершинно-правильный
и гранево-правильный.
Этот многогранник будет называться
правильным тороидальным гексадекаэдром
И обозначаться RTH
(Regular Toroidal Hexadecahedron).
Доказательство:
Вершинная транзитивность группы Aut (ATH) была
показана выше.
Чтобы показать ее транзитивность на гранях, достаточно
ограничиться гранями, инцидентными какой-нибудь
одной вершине, скажем, вершине 8.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
любую грань, инцидентную вершине 8, можно перевести
в любую такую грань комбинациями автоморфизмов
α_2, α_22, α_20 (образующих группы).
Реализуем теперь триангуляцию ATH в E^4 геометрически
(без самопересечений).
На рисунке справа — экватор BTH переложен из
2-пространства в 3-пространство в геометрически
симметричном виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра.
Затем к координатам каждой вершины добавили четвертую
координату w = 0, тем самым поместив экватор уже
в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1 и 6,
располагаются на четвертой координатной оси Ow и имеют
координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно.
1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс
6 (0, 0, 0, -1) — южный полюс
ATH реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета
4-мерного гипероктаэдра в 4-мерном евклидовом пространстве.
Его восемь вершин: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1).
1 (0, 0, 0, 1) и 6 (0, 0, 0, -1)
Вспомним, что Aut (АТГ) порождается тремя автоморфизмами:
α_2 = (35) (47), α_22 = (16) (37) (45),
α_20 = (15276384)
A_2 =
║1 0
║ 0 -1
║0 0
║0 0
0 0║
0 0║
-1 0║
0 1║
и соответственно
представима в 4-пространстве
дискретной группой движений,
порожденной следующими
ортогональными матрицами:
A_22 =
A_20 =
║ 1 0 0 0║
║ 0 0 1 0║
║ 0 0 -1 0║
║ 1 0 0 0║
║ 0 -1 0 0║
║ 0 0 0 1║
║ 0 0 0 -1║
║ 0 -1 0 0║
Таким образом, группа Aut (ATH) точно представима
в 4-мерном пространстве дискретной группой движений,
порожденной этими тремя ортогональными матрицами,
т.е. группой Sym (RTH).
Таким образом, группа Sym (RTH) вершинно- и граневотранзитивна, как и группа Aut (ATH). Теорема доказана.
Открытые вопросы
■ Существуют ли другие правильные 2-мерные
многогранники, кроме RTH, в (евклидовом)
пространстве размерности 4 ?
■ А в пространствах высших размерностей?
■ Существуют ли в 3-мерном пространстве
правильные многогранники топологических
типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет.
Существуют ли другие правильные 2-мерные
многогранники, кроме RTH, в пространствах
размерностей ≥ 4 ?
В частности, реализуется ли
правильная триангуляция
тора с полным графом K_7
в виде правильного
многогранника
в евклидовом пространстве
высшей размерности?
«В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.»
(Давид Гильберт)
Построенный многогранник RTH
вершинно- и гранево-правильный.
Таким образом, он более правильный, чем
полуправильные многогранники.
Потому что у полуправильных многогранников уже два
или более классов конгруэнтности граней.
Например, у Архимедовых многогранников два таких
класса.
RTH же имеет только один такой класс.
Однако RTH менее правильный, чем флаговоправильные Платоновы многогранники, потому что
группа Aut (ATH) не является реберно-транзитивной.
Спасибо за внимание.