Математика, 11 класс Колегаева Елена Михайловна ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ В течение ряда лет в вариантах выпускных и вступительных работ по математике встречаются задачи, в решении которых применяется дифференциальное исчисление. Перечислим примерные типы таких задач. Это могут быть: задачи, связанные с исследованием функции и построением ее графика (в том числе при нахождении площади плоской фигуры); задачи на геометрический смысл первой производной (нахождение касательной к графику функции); задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке (представляющие, как правило, наибольшую сложность, связанную с тем, что понятия наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке часто путают с понятиями минимума и максимума). Напомним ряд определений и выясним отличия в используемых понятиях. Определение 1. Говорят, что функция y f (x) достигает на множестве X своего наименьшего (наибольшего) значения в точке x0 X , если для любого x X имеет место неравенство f ( x0 ) f ( x) ( f ( x0 ) f ( x) ). Введем для наименьшего и наибольшего значений следующие обозначения: наим f ( x) f ( x0 ) ( наиб f ( x) f ( x0 ) ). X X Рассмотрим различные случаи: 1. Пусть - отрезок. Имеет место теорема. Теорема 1. Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a, b , то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений. Следствие. Если функция y f (x) дифференцируема на интервале a, b , то она достигает на отрезке a, b наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка. (Смотри рисунок 1.) Рисунок 1 Для функции, график которой изображен на рисунке 1, имеются две точки максимума ( x1 и x3 ) и одна точка минимума ( x2 ), но для нее наиб f ( x) f ( x1 ) , а наим f ( x) f (a) . a ,b a ,b 2. Пусть X – некоторый промежуток, на котором функция имеет единственную точку экстремума. Тогда имеет место теорема. Теорема 2. Пусть x0 - единственная точка экстремума функции y f (x) на множестве X. Тогда, если x0 - точка минимума, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения. Если же x0 - точка максимума, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения. Рассмотрим пример. На рисунке 2а x0 единственная точка минимума функции y f (x) на промежутке , . Поэтому наим f ( x) f ( x0 ) . , На рисунке 2б x0 - единственная точка максимума функции y f (x) на промежутке , . Поэтому наиб f ( x) f ( x0 ) . , Рисунок 2a 3. Пусть y f (x) - периодическая непрерывная на интервале , функция. Тогда имеет место теорема. Теорема 3. Если y f (x) - периодическая непрерывная на интервале , функция, то она достигает своего наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума и наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума. Например, на рисунке 3 наиб f ( x) f ( x0 Tn) , Рисунок 2b , а наим f ( x) f ( x1 Tn) , , где Т- главный период функции, а n Z . Если же исследуемая функция y f (x) не удовлетворяет условиям теорем 1-3, то будет полезно построить график этой функции и по графику выяснить, существуют ли точки с наибольшим и наименьшим значениями. Рассмотрим примеры. Пример 1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке Х. y 43 x 3 4 x, x 0,2 Рисунок 3 Решение. Исследуемая функция дифференцируема и непрерывна на отрезке, поэтому можно применить теорему 1. а) Найдем производную: y ' ( x) 43 3x 2 4 4 x 2 4 . б) Найдем стационарные точки (в них производная обращается в нуль). 4 x 2 4 0 4( x 1)( x 1) 0 x1 1, x2 1. Точки x1 1, x2 1 - точки возможного экстремума. При этом x1 0,2, x1 0,2. Найдем значения функции в точке x1 1 и на концах отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее значения. Так как 4 8 4 32 8 f(1 ) 1 , f( 0 ) 0, f( 2 ) 2 3 4 2 8 , то 3 3 3 3 3 8 8 наиб f ( x) f (2) , наим f ( x) f (1) . 0, 2 0 , 2 3 3 Пример 2. Найти наибольшее значение функции y ln x x, при x 0, . Решение. Условия задачи подходят под условия теоремы 2. 1 1 x а) Найдем производную функции: y ' 1 . x x 1 x 0, x1 1, x1 0, . В точке б) Найдем стационарные точки: y ' 0, x x2 0 - производная не существует, однако x2 0, . Таким образом, на заданном множестве существует единственная точка, подозрительная на экстремум. в) Составим таблицу. x (0,1) 1 (1,) f’(x) + 0 f(x) max Так как единственная точка максимума, то x1 1 наиб f ( x) f (1) ln( 1) 1 0 1 1 . 0, Рассмотрим теперь примеры использования метода нахождения наибольших и наименьших значений при решении других задач. Задача 1. Нахождение области значений функции Напомним, что геометрически область значений функции представляет из себя промежуток (или несколько промежутков) на оси OY , являющийся проекцией графика этой функции на данную координатную ось. Например, на рисунках 4а) и 4б) указаны области значений функции y f (x) . y [1,) Рисунок 4а y (1,6] Рисунок 4б Поэтому, если функция y f (x) - непрерывна, то множество ее значений – это промежуток (открытый или замкнутый), левый конец которого равен наименьшему, а правый – наибольшему значениям функции в области ее определения. x2 1 Пример 3. Найти множество значений функции y 2 . x x 1 Решение. Так как знаменатель x 2 x 1 всегда положителен (объясните, почему?), то областью определения функции является вся числовая ось и функция на ней везде непрерывна. Исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значения. а) Найдем производную: y( x) ( x 2 x 1) 2 x ( x 2 1)(2 x 1) = ( x 2 x 1) 2 x 2 1 2x3 2x 2 2x 2x3 x 2 2x 1 = . ( x 2 x 1) 2 ( x 2 x 1) 2 б) Найдем точки возможного экстремума: y ( x) 0 ; x 2 1 0 x1 1, x 2 1. в) Исследуем функцию на экстремум x (- ;-1) -1 (-1; 1) 1 (1,) f’(x) + 0 0 + f(x) max min 2 f max f (1) 2 ; f min f (1) . При этом, так как степени числителя и 3 x2 1 1 знаменателя равны, то предел lim 2 x x x 1 г) Построим для наглядности график функции 2 Ответ: область значений функции Y ;2 3 y 2 sin 2 x cos 4 x Пример 4. Найти множество значений функции Решение. Эта функция является непрерывной и периодической на всей числовой прямой, поэтому из теоремы 3 следует, что множество ее значений есть У= [ наим f ( x) , наиб f ( x) ] или У = [ f min , f max ] . = , , а) Найдем точки экстремума. Для этого найдем производную функции: y ( x) 4 cos 2 x 4 sin 4 x = 4 cos 2 x(1 2 sin 2 x) . Приравняем полученную производную к 1 2 x n, n Z или нулю: 4 cos 2 x(1 2 sin 2 x) 0 c o2sx 0 или sin 2 x 2 2 2 x (1) k k , k Z . То есть получим следующие точки возможного экстремума: 6 3 5 x1 n, n Z ; x2 k , k Z ; x3 l , l Z ; x4 m, m Z . 4 4 12 12 б) Найдем значение функции в полученных точках и выберем из них самое большое и самое маленькое значение. f ( x1 ) 2 sin( 2n) cos( 4n) 2 1 1 ; 2 3 f ( x2 ) 2 sin( 2k ) cos(3 4k ) 2 1 3 ; 2 1 3 f ( x3 ) 2 sin( 2l ) cos( 4l ) 1 ; 6 3 2 2 5 5 1 1 f ( x4 ) 2 sin( 2m) cos( 4m) 1 . 6 3 2 2 3 Следовательно наиб f ( x) = ; наим f ( x) = -3. , 2 , 3 Ответ: Y 3; . 2 Пример 5. (Выпускной экзамен по математике для классов с углубленным изучением математики) Найти множество значений функции f ( x) sin( x 6 ) cos 2 x . Решение. Преобразуем функцию f ( x) 1 cos(2 x 3 ) cos 2 x 12 12 cos 2 x cos 3 sin 2 x sin 3 cos 2 x 12 54 cos 2 x 2 3 4 sin 2 x , f ( x) 12 54 cos 2 x 43 sin 2 x . Данная функция непрерывна на всей числовой оси и периодична, поэтому множество ее значений является отрезком f max , f min . Найдем производную f (x) . f ( x) 52 sin 2 x 3 2 sin 2 x . Приравняв производную к нулю найдем точки 3 . Особенность данной задачи в том, что нам не нужно 5 находить значения x, при которых производная равна нулю, достаточно только узнать значения функции в этих точках и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение. Пользуясь известными тригонометрическими тождествами выразим через тангенс значения cos 2x и sin 2 x в точках экстремума: (cos 2 x)1 2825 (cos 2 x) 2 2825 . 3 3 (sin 2 x)1 28 (sin 2 x) 2 28 возможного экстремума tg 2 x Подставив эти значения в (преобразованную) функцию f (x) получим f ( x1 ) Поэтому f наим 1 7 и. 2 1 7 1 7 1 7 , , и множество значений функции равно . 2 2 2 Задачи для самостоятельного решения Необходимо решить предложенные ниже задачи, оформить их решения отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физикоматематической школы. М11.11.1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения на данном промежутке. а) y x 3 x , x 0;4 б) y x 4 8 x 2 9 , x 1;3 в) y x 2 ln x , x 1; e г) y 2 2 3 x 9 2 2 x 12 2 x , x 1;1 д) y 2 sin 2 x cos 4 x , x 0; . 3 М11.11.2. Найти множество значений функции x2 2 а) y ln x x б) y 2 x x 1 1 в) y sin 2 x cos x г) y cos 2 x 2 sin( 2 x ) 2 4 М11.11.3. Найти точку графика функции y ln x , сумма расстояний, от которой до оси ординат и до прямой y 2,4 x наименьшая (задача выпускного экзамена для классов с углубленным изучением математики) М11.11.4. Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого, должна быть равна диагонали основания, а площадь основания – 4 кв.м. При каких значениях сторон основания площадь поверхности постамента наименьшая. М11.11.5. Определить значение параметра а так, чтобы сумма квадратов корней трехчлена x 2 (2 a) x a 3 0 была наименьшей. М11.11.6. Найти все значения а из промежутка 1; , при каждом из которых больший корень уравнения x 2 6 x 2ax a 13 0 принимает наибольшее значение.