Коллективные решения: современное состояние и перспективы Ф.Т.Алескеров НИУ ВШЭ [email protected] Семинар факультета БИ, Москва 10.06.2010 1 План доклада • • • • • • • • • • • История Модели агрегирования Задача индивидуального выбора Аксиоматический синтез процедур а) локальные процедуры б) нелокальные процедуры Модели выбора на мажоритарном графе Механизмы Оценки влияния участников и формирование коалиций Эксперименты Приложения 2 История (Плутарх «Жизнеописания») • "Кто подавал голос за избрание, просто бросал хлебный шарик, но кто желал сказать "нет", предварительно сильно сдавливал его в руке. Если таких находили хоть один, просившему о своем избрании отказывали в его просьбе..." • “Выборы происходили следующим образом. Когда народ успевал собраться, выборные запирались в одной комнате соседнего дома, где не могли никого видеть, так же, как никому нельзя было видеть их. До них могли доноситься только крики собравшегося народа: как в этом случае, так и в других он решал избрание криком. Избираемые выходили не все сразу, но поодиночке, по жребию и шли молча через все собрание. У тех, кто сидел запершись в комнате, были в руках дощечки для письма, на которых они отмечали только силу крика, не зная, к кому он относится. Они должны были записать лишь, как сильно кричали тому, кого выводили первым, вторым, третьим и т. п. Того, кому кричали чаще и сильнее объявляли избранным.” 3 Модели агрегирования A – множество альтернатив, A = {x1, …, xm}, m >=3 N = {1, …, n} – множество участников, n >= 3 {мнения участников об альтернативах из A}1n коллективное решение • • • • Три модели {Pi }1n –> P {Ci(.)} –> C(.) {Pi} –> C(.) Функции группового выбора Функциональные правила Соответствия группового выбора Другие приложения: {ui(.)} –> u(.) {ui(.)} –> C(.) 4 Задача индивидуального выбора • Pi - линейные порядки • P – линейный порядок acyclic частичный порядок ациклическое отношение произвольное transitive Транзитивность Запрещено Пример частичного порядка 5 Функции выбора C: 2A -> 2A with X 2 A C( X ) X предъявление, допустимое множество Рациональный выбор C( X ) y X X C( X ) y X x X x X P т.ч. xPy т.ч. u( x) u( y) C(*) B C П п 6 Аксиоматический синтез процедур 7 Ограничения на правила 8 Функции группового выбора {Pi } -> P • Локальность xPy = F (x Pi y) IIA x x y z y w x y x y x y y w y x x x y z IIA – Arrow (1951) 9 Нормативные условия 1. Ненавязанность NI x, y Pi т.ч. Pi 2. т.ч. Монотонность xPy xP y M x x x y y 3. Нейтральность y x y x y x y x y Ne Имена альтернатив не имеют значения 4. Анонимность An Имена участников не имеют значения 5. Принцип Парето P x x y x x y y y Правила, удовлетворяющие Ni, M, Ne, P w4 P1 w1 Qr=B с P2 W3 W2 Pi Pi Pi P P i iw iw 1 2 iw3 iw4 P Pi - федерация w iw 1 P Pi - олигархия iw w 1 P Pi* - диктатор Анонимность - k-большинство 11 Ограничения рациональности • Qr – линейные порядки LO • Qr – частичные порядки PO • Qr – ациклические отн. AC • Теорема AC C collegium SC Brown (1975) + PO olygarchy ananimity Gibbard (1969) LO dictator Arrow (1951) 12 Нелокальные процедуры (пример) качество восприятия телевизионной программы = качество изображения + качество звука Изображени е 5 Звук 5 Качество восприятия 10 3 7 10 1 9 10 Верно ли это? 13 Аксиоматический синтез процедур • N критериев, m альтернатив • Каждая альтернатива оценивается, используя трехградационную шкалу (хороший, средний, плохой – 3,2,1), т.е. x=(x1,x2,…,xn) • Мы строим результирующее ранжирование альтернатив 14 Аксиомы • Парето оптимальность x, y A i 1,..., n : xi yi и i0 : xi0 yi0 ( x) ( y) • Парная взаимозаменяемость x, y A i, j 1,...n : xi yi x j y j и k i, j xk yk ( x) ( y) • Некомпенсируемость x A ((c,...,c))> (x), где c {2,..., m}, x : i0 {1,..., n} xi0 c • Снижение размерности x, y A i xi yi ( x) ( y ) ' ( x1...xi 1 , xx 1...xn ) ' ( y1... yi 1 , y x 1... yn ) где ' - сужение на подпространство (n 1) 15 Теорема о представлении • Единственной процедурой, которая удовлетворяет этим аксиомам, является пороговое (lexmin) правило т.е. вектор с большим числом единиц, хуже (располагается в ранжировании ниже), чем вектор с меньшим числом единиц, иначе сравниваем количество двоек и т.д. 16 Выбор на мажоритарном графе 1-й изб. 2-й изб. 3-й изб. А С В В А A С В C В : А С 17 Парадокс Кондорсе 1-й изб. 2-й изб. 3-й изб. А С В В А C С В A В : А С 18 Различные концепции решений • Ядро (von Neumann – Morgenstern) Множество недоминируемых элементов в • Непокрытое множество (Miller) • Доминирующее множество (Miller, Fishburn, Schwartz) B y B 19 Различные концепции решений • Слабоустойчивое множество (Aleskerov&Kurbanov) x z y • k-устойчивое множество (Aleskerov&Subochev) x y z3 z z1 z2 Манипулирование при голосовании • Предпочтения участников • • Группа 1 (3 чел.) Группа 2 (2 чел.) Группа 3 (2 чел.) И С П с П И С п С П И и Если в качестве правила голосования используется правило относительного большинства голосов, то кандидат И получит 3 голоса и будет избран, поскольку кандидаты П и С получат только по два голоса. При манипулировании будет избран C 4-мя голосами. Исследование степени манипулируемости процедур агрегирования 21 Механизмы • Какой должна быть процедура, чтобы участникам было невыгодно искажать свои мнения? (Маскин) • Ответ: Федерации q-Паретовских правил 22 Механизмы s F (I , q I ) q - федерация F (I , q I ) q - олигархия t 1 I t I F ( i , qi ) F ( i ,0) q - диктатор диктатор 23 Механизмы • Экономическая наука, в большей своей части, объясняет и описывает существующие институты и предсказывает, к чему приводят эти институты. • Конструирование экономических механизмов, наоборот, имея в виду некоторую цель, пытается построить необходимые институты. Пример: продажа радиочастот - компании хотят купить лицензию - правительство хочет продать и выручить побольше 24 Английский аукцион • Аукцион с правилом высшей цены (английский аукцион) работать не будет участники Готовы заплатить Объявлен. цена Объявлен. цена’ 1 10 5 6 2 8 4 6 3 7 3 5 4 5 2 4 5 4 1 3 25 Аукцион второй цены (Vikri) • Участники объявляют свои цены, выигрывает предложивший максимальную цену, но платит он следующую по величине цену участник готов заплатить 1 10 2 8 3 7 4 5 5 4 • Выгодно ли занизить цену? 26 Влияние в выборных органах • Парламент с 99 местами. Правило принятия решений – простое большинство, т.е. 50 голосов. 3 партии: A – 33 места, B – 33 места, C – 33 места. Выигрывающие коалиции А+В, А+С, В+С, А+В+С. • Распределение мест изменилось: A и B имеют по 48 голосов, C - 3 голоса. Однако, выигрывающие коалиции те же, т.е. каждая партия равным образом влияет на решение. 27 Индекс Банцафа bi - число коалиций, в которых партия i ключевая, тогда индекс Банцафа bi (i) bj j 28 Пример В парламенте 100 мест, 3 партии A, B, С имеют 50, 49 и 1 место. Правило принятия решений – простое большинство. Тогда выигрывающие коалиции A+В, A+С, A+B+С. Партия А является ключевой во всех трех коалициях. Тогда 3 3 ( A) 3 11 5 Партии B и C являются ключевыми в одной коалиции каждая, т.е. 1 1 ( B) (C ) 3 11 5 29 Communists Liberal-Democrats Russia Regions 0 Yabloko Agrarians 30 oct.03 may.03 feb.03 nov.02 jun.02 mar.02 dec.01 sep.01 may.01 dec.00 sep.00 may.00 jan.-feb.00 oct.99 jul.99 apr.99 jan.99 oct.98 jul.98 apr.98 jan.98 oct.97 jul.97 apr.97 jan.97 oct.96 jul.96 apr.96 jan.96 oct.95 jul.95 apr.95 jan.95 oct.94 jul.94 apr.94 jan.94 Banzhaf index Power distribution of some parties in Russian parliament (1994-2003) 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 А что если не все коалиции возможны? В предыдущем примере с тремя партиями А (50 мест), В (49 мест) и С (1 место) предположим, что партии А и В в коалицию не вступают. Тогда 2 2 ( A) 2 1 3 1 1 (C ) 2 1 3 ( B) 0 или даже 1 1 ( A) 11 2 ( B) 0 . 1 1 (C ) 11 2 31 Интенсивность вхождения в коалицию pij -желаниеi -того участника войти в коалицию с j -тым pij p ji Интенсивность предпочтения коалицию f (i, ) j i -того участника войти в pij 1 Интенсивность предпочтения j -тых по вхождению f (i, ) j i -ого в p ji 1 32 Интенсивность i f (i, ) . Индекс влияния (аналог индекса Банцафа) i (i) i 33 Индекс согласованности cq1 , q2 1 q1 q2 max q1 ,1 q1 , q2 ,1 q2 C =1, если позиции групп совпадают ( q1= q 2 ), и =0, если позиции противоположны (e.g., q1 =0 и q 2 =1). 34 1 , если , c(q1 , q2 ) 0.4 pij , в противном случае 0 Далее рассчитываем f , (i, ) , f (i, ) , f (i, ) и (i ) . 35 Распределение влияния крупных объединений (КПРФ, Единство, «Народный Депутат»), сценарий 0.4 Приложения • Многокритериальные модели (принятие решений – много задач) • Механизмы в прикладных задачах (аукционы, конкурсы, распределение студентов по ВУЗам, …) • Распределение влияния (I – IV Думы РФ, царские Думы, МВФ, Рейхстаг 1919-1933, эффективность банков,…) • Мультиагентные системы (управление транспортом) • Эксперименты 37 Благодарю за внимание 38