МСИ.ЧАСТЬ3. ПЛАНИРОВАНИЕ
advertisement
МСИ.ЧАСТЬ3. ПЛАНИРОВАНИЕ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОТСЕИВАЮЩИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ При проведении экспериментальных исследований возникает два противоречивых стремления: 1. Упростить процесс исследований, сократив число опытов, что даже в процессе активного эксперимента возможно лишь при исследовании минимального числа факторов; 2. Получить в результате экспериментальных исследований максимум информации и наиболее полные сведения об исследуемом объекте, не опустив при этом из рассмотрения ни одного существенного фактора. Стремление понятное и его можно реализовать, но лишь проведением двухэтапных исследований 105 ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ Р. ФИШЕР, 1920 Основная задача ДА: • Оценить влияние каждого из факторов и их комбинаций на выходной параметр, (выделить из всего многообразия факторов, воздействующих на процесс, лишь те, влияние которых наиболее существенно) Суть дисперсионного анализа: Если на выходной параметр У действуют взаимно независимые факторы х1, х2, …, хn , то общую дисперсию выходного параметра Dу можно представить в виде суммы дисперсий, обусловленных отдельными факторами и их комбинациями: Dy = Dх1 + Dх2 + Dх1х2 + … + Dхn 106 Анализируя составляющие общей дисперсии, можно оценить вклад каждого из исследуемых факторов на выходной параметр. Однако, чтобы точно оценить дисперсии отдельных факторов необходимо измерить их на нескольких уровнях ; Для оценки остаточной дисперсии, характеризующей разброс величины выходного параметра, необходим многократный дубляж опытов (не думайте, что это повторное измерение выходного параметра в опытах); Т.о. Для проведения ДА необходимо иметь большой объём экспериментального материала (Вы уже поняли, что это очень трудоёмкий процесс?); Изучаемые факторы должны быть независимыми; Выходной параметр должен иметь НОРМАЛЬНОЕ распределение. ИТАК, ВАМ СТАНОВИТСЯ ЯСНЫМ, ПОЧЕМУ МЫ НЕ БУДЕМ ЗАНИМАТЬСЯ ДИСПЕРСИОННЫМ АНАЛИЗОМ. 107 МЕТОД СЛУЧАЙНОГО БАЛАНСА САТТЕРЭВАЙТ, 1956 г. Используется для выявления количественных факторов, оказывающих существенное влияние на выходной параметр, т.е. ДОМИНИРУЮЩИХ ФАКТОРОВ Метод пригоден для активного эксперимента, т.е. в ходе его имеется возможность изменять выходные параметры по определённому плану При планировании отсеивающего эксперимента используют матрицу ПФЭ или ДФЭ, выбирая из неё случайным образом определённое число опытов Полученная матрица отсеивающего эксперимента является СЛУЧАЙНО СБАЛАНСИРОВАННОЙ 108 ПРИМЕР По данным дробного факторного эксперимента, представляющего собой 1/16 реплики от полного факторного эксперимента типа 27, оценить влияние на механическую скорость бурения (у, м/ ч) следующих СЕМИ факторов: •Нагрузки на долото (х1,тс); •Частоты вращения ротора ( х2, об/мин); •Интенсивности промывки (расхода бурового раствора) (х3, л/с); •Условной вязкости бурового раствора (х4, с) ; •Показателя фильтрации бурового раствора (х5, см3/30- мин); •Диаметра насадки гидромониторного долота (х6, мм) ; •Плотности бурового раствора (х7, кг/м3). УРОВНИ ФАКТОРОВ ПРИВЕДЕНЫ В ТАБЛ.1, А РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ТАБЛ. 2 109 Таблица 1. УРОВЕНЬ ЗНАЧЕНИЕ ФАКТОРА х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 Верхний (+1) 18 120 36 45 12 14 1260 Нижний (-1) 10 60 24 25 4 190 1200 Для визуального выделения доминирующих факторов по результатам эксперимента строят ДИАГРАММЫ РАССЕЯНИЯ, число которых равно числу факторов. В качестве иллюстрации рассмотрим построение диафрагмы рассеяния для фактора х1. 110 ТАБЛИЦА 2. Номера опытов 1 2 3 4 5 6 7 8 УРОВНИ ФАКТОРОВ х1 +1 х2 -1 х3 +1 х4 -1 х5 +1 х6 -1 х7 -1 у +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 52 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 30 55 32 35 36 29 28 111 1. Определим средние значения выходного параметра У в опытах, когда фактор х1 находится на нижнем (-1) и верхнем (+1) уровнях: 1 y x1 1 32 35 29 28 31 4 1 y x1 1 55 52 30 36 43.25 4 2. По полученным данным в масштабе построим диаграмму рассеяния для фактора х1 112 у 44 43,5 43,25 42 41 40 38,75 37,25 38 37 36,75 36 36,5 35,5 34 32 38,75 37,75 33,25 31 30,75 30 -1 +1 Х1 -1 +1 Х2 -1 +1 Х3 -1 +1 Х4 -1 +1 Х5 -1 +1 Х6 -1 +1 Х7 113 Аналогично строятся диаграммы рассеяния для других факторов Расстояние, обозначенное стрелками, характеризует различия между средними значениями выходного параметра на 2-х уровнях рассматриваемого фактора и ПОКАЗЫВАЕТ насколько существенно он влияет на величину выходного параметра (чем больше расстояние, тем больше влияние). Сравнивая расстояния на диаграммах рассеяния располагают их в порядке снижения влияния на механическую скорость: х3, х1, х5, х7, х2,х6, х4. При этом: х2,х6, х4 могут быть признаны как незначимые (не оказывающие на выходной параметр у существенного влияния). 114 ПЛАНЫ ПЛЕКЕТТА - БЕРМАНА Метод отсеивания несущественных факторов Когда число факторов превышает 8, метод случайного баланса становится НЕРАЦИОНАЛЬНЫМ Если число входных факторов от 9 до 15, то минимальное количество опытов должно быть 16, если факторов 16, то опытов необходимо провести уже 32!!! Размерность матриц насыщенных планов равна nх(n-1); где первый сомножитель n – число опытов, а второй - (n-1) – число факторов, каждый из которых изменяется на двух уровнях: верхнем (+1) и нижнем (-1) 115 ПРИМЕР По результатам отсеивающего эксперимента, выполненного с использованием плана Плекетта – Бермана для n = 12, оценить существенность влияния на показатель фильтрации бурового раствора (y, см330 мин) концентрации (кг / м3) следующих компонентов: глинопорошка марки ПББ (Х1); Барита (Х2); СА(ОН)2 (Х3); СаСI2 (Х4); Окзила (Х5); КМЦ – 600 (Х6); Нефти (Х7); Графита (Х8); Факторы Х9, Х10,Х11 принять фиктивными. Уровень Значения фактора Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10 Х11 Нижний (-1) 40 40 20 10 40 2.5 60 20 Верхний (-1) 80 60 40 30 80 7.5 100 40 116 МАТРИЦА ПЛАНИРОВАНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ №№ опы та Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10 Х11 1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 2 2 +1 1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 5 3 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 8 4 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 6 5 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 3 6 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 5 7 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 4 8 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 4 9 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 10 10 +1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 2 11 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 4 12 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 13 Уровни факторов y 117 1. Найдём оценки коэффициентов линейной модели при каждом из факторов по формуле: Хij= уровень j – го фактора в i – м опыте; уi – значение выходного параметра в i – м опыте; N – число опытов 2. Определим дисперсию воспроизводимости эксперимента с фиктивными факторами (если их нет, необходимо дублировать опыты) 1 N ai xij y i N i 1 (83) Dвоспр. N e 2 aei m i 1 (84) m = N - (N – 1 - e) – 1 число степеней свободы; (N - 1)общее число факторов в матрице; e – число фиктивных факторов; Aei- оценки коэффициентов при фиктивных факторах; 118 3. Определим дисперсию оценок коэффициентов (85) 4. Определим существенность влияния исследуемых факторов на выходной параметр. Фактор оказывает существенное влияние на выходной параметр, если выполняется неравенство: Dai Dвоспр. N ai t таб ,m Da i Подсчёт этих коэффициентов показывает, что только в двух случаях это неравенство выполняется. Это означает, что только эти два фактора оказывают существенное влияние на показатель фильтрации бурового раствора: концентрация глинопорошка Х1 и концентрация КМЦ – Х6 (86) 119 МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕХАНИЗМА ЯВЛЕНИЙ Цель: получение зависимости выходного параметра от входных факторов y = f(x1, x2,…, xk), анализ которой позволяет оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходной параметр, т.е. установить механизм влияния. Основные методы планирования эксперимента, для изучения механизма явлений: •полный факторный эксперимент; •дробный факторный эксперимент; •латинские, греко-латинские, гипергреко-латинские и комбинационные квадраты. 120 ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ (ПФЭ) В теории планирования эксперимента связь y = f (x1, x2,…, xk) называется функцией отклика (показывает, как откликается y на изменение xi). Может быть представлена графически и аналитически. Графическое представление функции отклика называется поверхностью отклика Найти модель, значит найти вид функции отклика и записать её уравнение. Искать модель нужно среди полиномов! Простейшие полиномиальные модели для 2,3 и 4 факторов соответственно можно представить в следующем виде: 121 УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ y b 0 b1x1 b 2 x 2 b12x1x 2 ; (87) y b 0 b1x1 b 2 x 2 b 3 x 3 b12x1x 2 b13x1x 3 b 23x 2 x 3 b123x1x 2 x 3 ; (88) y b 0 b1x1 b 2 x 2 b 3 x 3 b 4 x 4 b12x1x 2 b13x1x 3 b14x1x4 b 23x 2 x 3 b 24x 2 x 4 b 34x 3 x 4 b 23x 2 x 3 b123x1x 2 x 3 b124x1x 2 x4 b134x1x 3 x4 b 234x 2 x 3 x4 b1234 x1x 2 x 3 x 3 ; (89) 122 Эффект взаимодействия двух факторов х1х2 называется эффектом взаимодействия первого порядка, трех факторов х1х2х3 – второго порядка и т.д. Полное число всех возможных эффектов, включая b0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов ПФЭ. Проверка воспроизводимости опытов Суммарная величина всех ошибок, полученных при проведении опыта называется ошибкой опыта или ошибкой воспроизводимости. Её необходимо оценить и по возможности и свести к минимуму. Не путайте повторные опыты с повторными измерениями параметра в одном и том же опыте! На следующей странице приведена схема последовательности проверки воспроизводимости опытов с равномерным дублированием 123 1. Результаты повторных опытов сводят в таблицу: Номер серии опыта Результаты повторных опытов уi Di 1 y11 y12 … y1m у1 D1 2 y21 y22 … y2m у2 D2 … … … … … … … i yi1 yi2 … yim уi Di … … … … … … … N yN1 yN2 … yNm уN DN 124 2. Для каждой серии повторных опытов вычисляют среднее арифметическое значение выходного параметра yi m 2 дисперсию (Di). y y 1 yi y i j; Di m j1 m j1 ij i и (90) m 1 где yij – значение выходного параметра в j – м повторном опыте i- ой серии опытов; m – число повторных опытов; i = 1,2,…,m; j = 1,2,…N 3. Проводят проверку воспроизводимости опытов, используя критерий Кохрена max G D G табл . N Di i 1 4. а). Если опыты воспроизводимы, то определяют дисперсию воспроизводимости эксперимента (дисперсию, характеризующую ошибку эксперимента): N Dy Di Число степеней свободы этой дисперсии i 1 N (91) m2 Nm 1 125 4. б). Если опыты не воспроизводимы, то нужно попытаться достигнуть воспроизводимости выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, а также использованием более точных методов и средств измерений. • Если же никакими способами добиться воспроизводимости опытов не удается, то к такому эксперименту данный метод планирования (ПФЭ) неприменим. Методика построения ПФЭ типа 2k • Выбор границ области определения каждого входного фактора (оптимальные добавки КМЦ для пресных растворов составляют от 0,2 до 0,5% (на сухое вещество)); Для упрощения, записи условий присвоения эксперимента и обработки экспериментальных данных верхний уровень обозначается как (+1) будет соответствовать концентрации КМЦ равной 0,5%, а (-1) – концентрации 0,2%. 126 1. Выбор основного уровня и интервалов варьирования факторов (простая процедура); Основной (нулевой) уровень фактора равен среднему арифметическому его значений на верхнем и нижнем уровнях: 0,5 0,2 ~ 0,15%. xj 2 ~x jo 0,5 0,2 0,35%. 2 Интервал варьирования фактора равен среднему арифметическому разности его значений на верхнем и нижнем уровнях: Интервал варьирования фактора это некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень, а вычитание из основного – нижний уровень. 2. Выбор матрицы планирования опытов. Проведение опытов. Если число факторов и уровней каждого фактора равно 2, то имеем ПФЭ типа 22. Если число факторов равно 3, то – 23и т.д. Все возможные комбинации для 2, 3 и т.д. факторов, варьируемых на верхнем и нижнем уровнях, можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбы – значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования 127 эксперимента. Матрица планирования эксперимента типа 22 Номер опыта х1 х2 у 1 1 1 у1 2 +1 1 у2 3 1 +1 у3 4 +1 +1 у4 Каждый столбец в матрице планирования называют вектор – столбцом, а каждую строку – вектор – строкой. Первая строка в таблице А соответствует первому опыту, в котором оба фактора х1 и х2 находятся на нижнем уровне. Во втором опыте фактор х1 находится на верхнем уровне, х2 – на нижнем уровне и т.д. 128 Матрица планирования ПФЭ типа 23 Номер опыта x1 х2 х3 у 1 1 1 1 у1 2 +1 1 1 у2 3 +1 +1 1 у3 4 1 +1 1 у4 5 1 1 +1 у5 6 +1 1 +1 у6 7 1 +1 +1 у7 8 +1 +1 +1 у8 129 Матрица планирования ПФЭ типа 24 Номер опыта x1 х2 х3 x4 у 1 +1 +1 +1 +1 у1 2 1 +1 +1 +1 у2 3 +1 1 +1 +1 у3 4 1 1 +1 +1 у4 5 +1 +1 1 +1 у5 6 1 +1 1 +1 у6 7 +1 1 1 +1 у7 8 1 1 1 +1 у8 9 +1 +1 +1 1 у9 10 1 +1 +1 1 у10 11 +1 1 +1 1 у11 12 1 1 +1 1 у12 13 +1 +1 1 1 у13 14 1 +1 1 1 у14 15 +1 1 1 1 у15 16 1 1 1 1 у16 130 Правила построения матриц планирования ПФЭ типа 2k: 1). число вектор – строк равно числу опытов N = 2k; 2). число вектор – столбцов равно числу факторов; 3). в каждом векторе столбце число плюсов (+1) равно числу минусов (-1); 4). в первом вектор - столбце знаки чередуются через один (один плюс, один минус или наоборот), во втором – через два (два плюса, два минуса), далее – через 4, 8, 16 и т.д. Свойства матриц планирования (независимо от числа факторов) 1. Свойство симметричности относительно центра (основного или нулевого уровня) : Алгебраическая сумма элементов вектор – столбца каждого фактора равна нулю где j – номер фактора (j = 1,2,3…k) N xij 0, i 1 (92) N – число опытов; i – номер опыта. 2. Условие нормировки. Сумма квадратов элементов каждого вектор - столбца равна числу опытов. N xij2 N . i 1 где j ≠ u. 131 3. Ортогональность матрицы: Сумма почленных произведений любых двух вектор – столбцов матрицы равна нулю где j ≠ u. N xi j xi n N . (93) i 1 Ортогональность матрицы позволяет получать оценки коэффициентов регрессии, независимыми друг от друга, это дает возможность оценить влияние каждого фактора на выходной параметр и отбросить те, коэффициенты при которых не значимы. 4. Расчет значений коэффициентов регрессии. Процедуру расчета рассмотрим на примере типа 22. Для вычисления коэффициентов b0, b1, b2, b12, уравнения составим расчетную матрицу, приведенную в таблице D. № опыта х0 х1 х2 х1х2 у 1 +1 1 1 +1 у1 2 +1 +1 1 1 у2 3 4 +1 +1 1 +1 +1 +1 1 +1 у3 у4 132 Для расчета коэффициента b0 используется столбец х0 (фиктивная переменная), для расчета коэффициента b1 – столбец х1, b2 – столбец х2, b12 – столбец х1· х2. N Для любого числа факторов вычисление оценок коэффициентов регрессии ведется по следующим формулам: j u bj y i xi j i 1 N , ( 95) N bu j y i xi u xi j i 1 N ( 96) Формула (1) используется для вычисления коэффициента b0 и коэффициентов линейных эффектов (b1, b2, . . .), а формула (2) – для вычисления коэффициентов взаимодействий всех порядков (b12, b23, b123, . . .). Рассчитаем коэффициенты регрессии b0, b1, b2, b12 с помощью приведённых формул (1) и (2) 133 1 b0 1 y1 1 y 2 1 y 3 1 y4 Вычисления сводятся к 4 приписыванию столбцу 1 у знаков 1 1 1 1 y1 y2 y3 y4 b1 соответствующего 4 фактору столбца и 1 алгебраическому b2 1 y1 1 y 2 1 y 3 1 y4 4 сложению полученных значений. 1 b12 1 y1 1 y 2 1 y 3 1 y4. Деление результата на 4 число опытов в матрице планирования дает искомый коэффициент. При числе факторов равном 3 и 4, расчет коэффициентов регрессии выполняется аналогично описанному выше, но по своим расчетным матрицам, принцип составления которых рассмотрим на примере ПФЭ типа 23. 134 Расчётная матрица эксперимента типа 23 Номер опыта х0 х1 х2 х3 х1х2 х1х3 х2х3 х1х2х3 у 1 +1 1 1 1 +1 +1 +1 1 у1 2 +1 +1 1 1 1 1 +1 +1 у2 3 +1 1 +1 1 1 +1 1 +1 у3 4 +1 +1 +1 1 +1 1 1 1 у4 5 +1 1 1 +1 +1 1 1 +1 у5 6 +1 +1 1 +1 1 +1 1 1 у6 7 +1 1 +1 +1 1 1 +1 1 у7 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 у8 135 Обработка результатов ПФЭ I. Проверка адекватности модели; II. Проверка значимости коэффициентов регрессии; III. Интерпретация результатов эксперимента; IV. Переход от кодированных значений факторов к натуральным. Под адекватностью понимается способность математической модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью или, иными словами, способность полученного уравнения регрессии достаточно точно описывать объект исследования 136 I. Гипотезу об адекватности модели проверяют с помощью F – критерия Фишера: F Dад Fтабл. (97) Dy где Dy - дисперсия воспроизводимости (см. формулу 91) с числом степеней свободы m2 N(m 1); Дисперсия адекватности (остаточная дисперсия) (98) y i ŷ i N Dад i 1 m1 * m1 N k 1 где: уi – экспериментальное значение выходного параметра в i – ом опыте; ŷ i - значение выходного параметра в i – ом опыте, рассчитанное по уравнению регрессии; m1 – число степеней свободы дисперсии адекватности; N – число опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии; k* - число факторов и их взаимодействий, включенных в уравнение регрессии. 137 2 m1 4 3 1 0 3 2 m1 8 7 1 0 4 2 m1 16 15 1 0 2 2. Определяем дисперсию адекватности для линейных моделей; 3. Находим расчетное значение критерия Фишера; 4. Сравниваем его с табличным значением. Если неравенство (97) выполняется, то гипотеза об адекватности линейной модели принимается. 1. Из уравнений регрессии исключаем все эффекты взаимодействия (приводим уравнения к линейному виду и проверяем адекватность линейных моделей) ŷ b0 b1 x1 b2 x2 ; (99-101) ŷ b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3 ; ŷ b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b4 x4 ; Если модель оказывается НЕАДЕКВАТНОЙ… ЧТО ДЕЛАТЬ? 138 1). В уравнения (100) и (101) для расчета включаем эффекты взаимодействия, коэффициенты при которых имеют наибольшую абсолютную величину (можно включить все эффекты взаимодействия, кроме одного, так как в противном случае m1 = 0). 2). Для того, чтобы m1 = 1 и можно было включать в уравнения (99) – (101) все эффекты взаимодействия, выполняют дополнительный опыт в центре области эксперимента (на основном уровне), результаты которого используют только для проверки гипотезы об адекватности модели. Если ни одним из этих приёмов адекватность модели не достигнута, то необходимо построить новый план эксперимента, уменьшив интервалы варьирования факторов. В конце концов, не мытьём, так катаньем, добиваемся АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ 139 Для адекватных моделей II. (Проверка значимости коэффициентов регрессии) Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t - критерия Стьюдента: b t где i Db i t табл. (102) bi - абсолютная величина i – го коэффициента регрессии; tТАБЛ. - табличное значение критерия Стьюдента для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы * N(m 1) (см. формулы 17 и 18); Dbi - дисперсия i – го коэффициента регрессии. m D( y ) (103) Db i N D( y ) - дисперсия воспроизводимости. Т.е. дисперсии двух коэффициентов регрессии равны друг другу, так как они зависят только от ошибки эксперимента, которую характеризует D( y ) и числа опытов. 140 Таким образом, если выполняется (102), коэффициент регрессии считается значимым! III. Интерпретация результатов эксперимента. Интерпретация результатов эксперимента – это перевод полученной модели с абстрактного математического языка на язык экспериментатора. 1. Устанавливается степень влияния каждого из факторов на исследуемый параметр. 2. Устанавливается характер влияния факторов на исследуемый параметр. 3. Интерпретируются эффекты взаимодействия первого порядка 4. Интерпретируются эффекты взаимодействия более высоких порядков Не значимость коэффициента регрессии может быть вызвана одной из следующих причин: • малым интервалом варьирования фактора (факторов); • низкой воспроизводимостью опытов; • нахождением данного фактора на уровне, близком к оптимальному; • не влиянием или очень малым влиянием данного фактора на изучаемый процесс. 141 Количественная мера степени влияния каждого из факторов на исследуемый параметр – абсолютная величина коэффициента регрессии, вычисленного по результатам эксперимента. Чем она больше, тем сильнее влияет фактор на выходной параметр. О характере влияния говорят знаки коэффициентов регрессии: (+) свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора величина параметра растёт, () убывает. для увеличения исследуемого параметра необходимо увеличивать значения тех факторов, коэффициенты регрессии при которых имеют знак плюс; при уменьшении значений «плюсовых» факторов параметр также будет уменьшаться; для уменьшения исследуемого параметра необходимо увеличивать значения тех факторов, коэффициенты регрессии при которых имеют знак минус; при снижении значений «минусовых» факторов значения выходного параметра возрастают. 142 Если эффект взаимодействия двух факторов имеет положительный знак, то для увеличения исследуемого параметра требуется одновременно увеличение (уменьшение) значений факторов, например, х1= +1 и х2= +1, или х1= -1 и х2= -1. Для уменьшение параметра факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях, например, х1= +1 и х2= -1, или х1= -1 и х2= +1. Если эффект взаимодействия двух факторов имеет отрицательный знак, то для увеличения параметра факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях, например, х1= +1 и х2= -1, или х1= -1 и х2= +1. Для уменьшения параметра требуется одновременное увеличение ( уменьшение) факторов, например, х1= +1 и х2= +1, или х1= -1 и х2= -1. 143 IV. Переход от кодированных значений факторов к натуральным. Уравнения регрессии для натуральных, а не кодированных значений факторов, можно получить, используя формулу перехода ~ xj ~ x j0 хj , ~ x (104) j где хj - кодированное значение фактора; ~х - натуральное значение фактора; ~х j - натуральное значение основного уровня; j0 ~х j - интервал варьирования фактора; j - номер фактора. При этом коэффициенты регрессии изменяются и возможность интерпретации влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов регрессии пропадет, зато появляется возможность прогнозировать результаты опытов (значения выходного параметра) при любых натуральных значениях факторов в исследованной области факторного пространства, что имеет большое практическое значение. 144 Метод крутого восхождения Бокса-Уилсона Предложен в 1952 году и является одним из наиболее популярных методов выхода в область оптимума или в так называемую «почти стационарную (постоянную) область». Применение этого метода требует: высокой точности измерения факторов и параметров, а также большой варьируемости факторов, что достижимо преимущественно при лабораторных исследованиях; выполнения значительного числа опытов, особенно при большом числе входных факторов; строгого соответствия функции отклика у = f(x1, х2, …хk) линейной модели. Предположим, что имеется некоторый выходной параметр (критерий оптимизации) у (выход керна в %), зависящий от факторов x1(GОС; ТС) и х2 (u,об/мин), изолинии (линии равных значений) которого приведены ниже на рисунке, и нам необходимо найти условия (пределы значений x1 и х2), при которых у достигает максимума. 145 +1;+1 -1;+1 х2 в2 А х1 +1;-1 -1;-1 в1 0 90 50 70 В 30 10 х2 х1 146 Для решения этой задачи требуется: В окрестности некоторой начальной точки, например, А, осуществить ПФЭ типа 22 ; 2. Определить адекватную результатам эксперимента линейную модель; 3. Выбрать направление наибольшего роста выходного параметра у, т.е. кратчайший путь движения к области экстремума (оптимума); Очевидно, что самым кратчайшим путем будет путь перпендикулярный изолиниям, т.е. движение по самому крутому склону куполообразной поверхности (отсюда название метода – крутое восхождение). 4. Двигаться в выбранном направлении, определяя условия проведения новых «мысленных» опытов по формулам 1. 147 где N1 ~ ~ ~ х1 х10 а в1 х1 (105) N1 ~ ~ ~ х2 х20 а в2 х2 (106) ~х N 1 i - натуральное значение I – го фактора в N+1 опыте; ~х - натуральное значение i–го фактора в i0 начальной точке (на новном или нулевом уровне ПФЭ); ~х i - интервал варьирования i–го фактора; а - величина шага, который должен быть разумным. 148 Проверка правомерности использования исходной линейной модели в новой области факторного пространства крутое восхождение, особенно вблизи оптимума, проконтролировать опытами, сравнивая полученные экспериментальные значения у с расчетными (прогнозными) с помощью t - критерия Стьюдента по формуле у̂ у N Dу t табл (107) При выполнении неравенства (107) исходной линейной моделью можно пользоваться, она остается адекватной. В противном случае модель неадекватна и нужно принять одно из следующих решений: область оптимизма достигнута; необходимо выбрать новое направление движения. При принятии второго решения вся процедура, начиная с п. 1, полностью повторяется, только начальной точкой уже является не точка А, а достигнутая в движении точка, например, точка В. 149 Метод эволюционного планирования (ЭВОП) Предложен Боксом. Заключается в поиске области оптимальных условий адаптивных путей, т.е. путем определения направления дальнейшего поиска или условий новых опытов по результатам предыдущих опытов. Для реализации метода ЭВОП в соответствии с матрицей планирования ПФО типа 22 выполняется серия опытов, дополненная опытом на основном (нулевом) уровне. Допустим, что по результатам I серии опытов получены следующие данные (рис.): при (х11, х21) у = 10; при (х12, х21) у = 11; при (х10, х20) у = 11; при (х11, х22) у = 12; при (х12, х22) у = 14. Из анализа результатов I серии опытов следует, что основной или нулевой точкой во II серии опытов должна быть точка с координатами (х12, х22), в которой значение критерия оптимизации максимально (у = 14). 150 22 х2 23 20 19 18 15 х22 12 14 17 22 11 х20 х21 23 13 10 11 х11 х10 х12 х1 151 Допустим, что II серия опытов, в которых опыты в точках (х10, х20) и (х12, х22) относятся к I серии, дала следующие результаты: 15,18 и 13. Тогда во II серии опытов основной точкой должна быть точка с у = 18. При этом дополнительные опыты дали такие результаты: 19, 20, 17. В IV серии опытов были получены значения критерия оптимизации равные 22, 23, 24, а в последней серии 23, 22. Таким образом, достигнута «почти стационарная область», находящаяся вблизи точки с у = 24. 152 СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД Предложен в 1962 г. По своей сути близок к методу ЭВОП. Является адаптационным методом пошагового экспериментального поиска области оптимальных условий. В n мерном случае под симплексом понимается гипермногогранник с n+1 равноудаленной вершиной, в трехмерном тетраэдр, в двухмерном правильный треугольник. ПРИМЕР Осуществим три опыта с координатами (х11, х22), (х12, х22), и (х13, х23), для которых значения критерия оптимизации будут соответственно равны 10, 13 и 12. Следующий опыт разумно выполнить на максимальном удалении от «худшей» точки, в котором у = 10. 153 х2 37 38 40 32 36 33 33 13 х22 (х21) х23 35 10 12 х11 х12 х13 х1 154 Новый исходного симплекс симплекса образованной вершины образуется и новым зеркальным относительно двумя вершинами опытом отражением в точке, «худшей» противоположной стороны (перенос вершины показан пунктиром). Таким образом, для определения условий нового опыта достаточно знать условия предыдущих опытов и значения критерия оптимизации. Достижение «почти стационарной области» видно из приведенного рисунка (вокруг точки с у = 40 последовательное экспериментирование привело к циклическому повторению симплексов). 155 ПЛАНИРОВАНИЕ И ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ 1. Установить основной уровень х0j и интервал варьирования Δхj для каждого j-го фактора; 2. Определить условия проведения опытов для исходного симплекса хij = х0j+ rij · Δхj при i ≤ j; хij = х0j- Rij · Δхj при i = j + 1; (108) хij = х0j при i > j + 1; где хij –значение j - го фактора в i - ом опыте (при получении k факторов исходный симплекс содержит k+1 опыт; 1 j rij при i j ; R ij при i j 1 2 jj 1 2j 1 156 3. Проводят опыты для исходного симплекса и определяют «худший» опыт, который необходимо отбросить; 4. Определяют условия проведения следующего (k+2) опыта по формуле x нов j k 1 2 х ij i 1 k (110) х отбр iА j хjотбр значение j го фактора в отброшенном опыте; хjнов значение j го фактора в новом опыте; А номер отброшенного опыта. 5. Осуществляют новый (k+2) опыт, вновь отбрасывают опыт с «худшим» значением критерия оптимизации и по формуле (110) определяют условия следующего нового опыта (k+3); 157 6. Последовательное экспериментирование продолжают до достижения области оптимума, которое характеризуется или одинаковыми результатами во всех вершинах симплекса (что бывает весьма редко), или циклическим возвратом к реализованным ранее симплексам (см. рис.); 7. При достижении области оптимума необходимо провести несколько опытов (обычно 3-4) в центре последнего симплекса, координаты которого определяют по формуле 1 k 1 x оj х ij k 1 i 1 (111) где хij – значения j - го фактора; bi = (k+1) вершине проверяемого симплекса. 158 8. Полученный в центре последнего симплекса результат оценивают с позиции достижения «почти стационарной области» по условию (112) у у 0 D( у ) где D( у-) дисперсия воспроизводимости по результатам m опытов в центре последнего симплекса; у - среднее значение критерия оптимизации в (k+1) вершине последнего симплекса; у0 - среднее значение критерия оптимизации по результатам m опытов в центре последнего симплекса. Выполнение неравенства (112) указывает на достижения области оптимума. 159 Метод поиска области оптимальных условий по результатам «пассивного» эксперимента R j х ij х j у i N 1. Найти значение условной величины Rj по формуле (113) i 1 (113) 2. Определить условия проведения нового опыта (N+1), хNj1 х j k R j (114) В формуле (114) знаки плюс или минус ставятся при поиске соответственно максимума или минимума целевой функции. Обратите внимание на то, что при малом числе опытов и низкой их воспроизводимости (при больших искажениях) данный метод может дать неверные результаты. 160 Алгоритм обработки результатов экспериментов с целью получения квадратичной модели 1. Вычисляют вспомогательные коэффициенты λ, А, С kN k 2N n0 1 A 2k 2 k где k - число факторов; N - общее число опытов; n0 число опытов в центре плана (в нулевой точке). (117) C N N 2 х ij i 1 (118) (119) 2). Определяют величины S0, Sj, Sju, Sjj N S0 y i ; i 1 (120) N S ju xij xiu y i ; N S j xijy i ; i 1 (121) i 1 (122) N (123) S jj xij2 y i i 1 161 3). Вычисляют коэффициенты модели k А 2 b0 2 k 2 S 0 2 C S jj N j1 C bj Sj N C2 b ju S ju N (124) (125) (126) k А 2 2 b jj C k 2 k S jj C 1 S jj 2 C S0 N j1 (127) 162 4) Находят дисперсию воспроизводимости опытов n0 1 Dy y i 0 y 0 n 0 1 i 1 2 (128) 5) Оценивают значимость коэффициентов модели по условию bj Dbj t табл (129) При выполнении неравенства (129) рассматриваемый коэффициент модели значим. Db 0 где bi -абсолютное значение j – го коэффициента модели; Dbj -дисперсия j – го коэффициента модели; tтабл.-табличное значение критерия Стьюдента при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы m = N - k* k*- число коэффициентов в модели. (131) D y 2 C 2A k 2 D bj Dy N (130) N 163 (132) Dbju (133) C2 Dy N Dbjj A k 1 k 1 C2 Dy N 6) Проверяют адекватность модели по условию F m1 D ад . Dу Fтабл . (134) где Fтабл- табличное значение критерия Фишера при заданном уровне значимости α и числа степеней свободы k 2k 1 N n 2 0 1 (135) m 2 n0 1 (136) Dад. –дисперсия адекватности (остаточная дисперсия) Dад . 2 1 N y i y i n0 1 Dy m i 1 При выполнении неравенства (134) модель адекватна. (137) 164 7) Исследуют полученную квадратичную модель на экстремум, для чего решают следующую систему уравнений y 0 x1 y 0 x 2 y 0 x k Решение этой системы уравнений позволяет найти оптимальные значения х1, х2-,…хk, соответствующие экстремуму критерия оптимизации (целевой функции). (138) 165
