Определенный интеграл. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). y

Определенный интеграл.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y
M
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.
[an error occurred while processing this directive]
[x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn.
Составим суммы:
n
n
= m1x1 + m2x2 + … +mnxn =
= M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =
Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма
интегральной суммой.
Т.к. mi  Mi, то
n

n,
а m(b – a) 
n

n
– верхней
 M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .
x0 < 1 < x1, x1 <  < x2, … , xn-1 <  < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется
интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =
Тогда можно записать: mixi  f(i)xi  Mixi
Следовательно,
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен
сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если
maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.
[an error occurred while processing this directive]
Если
, то
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и
произвольном выборе точек i интегральная сумма
стремится к пределу
S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначение :
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок
интегрирования.
Определение: Если для функции f(x) существует предел
то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
Также верны утверждения:
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом
отрезке.
Свойства определенного интеграла.
[an error occurred while processing this directive]
1)
2)
3)
4) Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на
отрезке [a, b], то:
6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом
отрезке существует точка  такая, что
Доказательство: В соответствии со свойством 5:
т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все
значения от m до М. Другими словами, существует такое число  [a, b], что если
и  = f(), а a    b, тогда
. Теорема доказана.
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в
него интегралов.
8)
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b],
и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что
3. Определенный интеграл. Основные методы интегрирования.
Определенным интегралом функции
y  f (x)
на отрезке
a, b называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю
длины наибольшего «элементарного» отрезка:
n
 f ( x )x
i
где i  1
i
a, b ; n – число «элементарных» отрезков, на
x , x 
x i .
- произвольная точка внутри отрезка i 1 i , длина которого равна
- интегральная сумма для функции
которые разбивается отрезок
a, b ; xi
y  f (x)
на отрезке
Основные свойства определенного интеграла
1°. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак на противоположный:
2°. Каковы бы ни были числа а, b, с, имеет место равенство
3°. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме
определенных интегралов от этих функций:
5°. Теорема о среднем значении. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка
интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумента
где
c  a, b  .
6о. Если
F (x)
- какая-либо первообразная от непрерывной функции
f (x) , то справедлива формула Ньютона - Лейбница
Вычисления определенных интегралов
a). Основным способом вычисления определенных интегралов является определение первообразной для подынтегральной функции и
использование формулы Ньютона-Лейбница, которая может быть записана в виде
b). Замена переменной в определенном интеграле
где

и

x   (t )
определяются в силу замены из условий
осуществляется по следующей формуле
 ( )  a и  (  )  b . Следует отметить, что при замене переменной в
определенном интеграле, в отличие от замены переменной в неопределенном интеграле, возвращаться к старой переменной после
замены не надо.
c). Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид
Рекомендации по выбору u и dv остаются точно такими же, как и для формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
В задании 6 необходимо вычислить определенный интеграл. В некоторых случаях необходимо воспользоваться заменой переменной в
определенном интеграле, в других - формулой интегрирования по частям.
Задание 6. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой
a).
, b).
d).
,
, c).
e).
,
f).
,
.
Решение: В заданиях a), b), c), d) выполним или замену переменной или внесение под знак дифференциала. В заданиях e), f) применим
формулу интегрирования по частям.
1
x
3
4  5 x 4 dx
Задание 6 a). 0
.
Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле
t  4  5 x 4 . Тогда dt  20 x 3 dx
или
1
x 3 dx 
dt
20 . Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования
старой переменной
x  0
в выражение
t  4  5x 4
и найдем нижний предел интегрирования новой переменной
t  4  5  0 4  4 . Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной x  1 , найдем верхний
предел интегрирования новой переменной
t  4  5  14  9 . Тогда
Отметим, что предложенный пример можно было вычислить, используя метод внесения под знак дифференциала (можно было внести
под знак дифференциала
4  5 x 4 ). В этом случае пересчет пределов интегрирования не осуществляется. Этот метод будет
проиллюстрирован в следующем примере.
 2
 sin x cos
Задание 6 b).  6
3
x dx
.
Воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Внесем под знак дифференциала функцию
d ( ( x))  d (cos x)  (cos x)  dx   sin xdx ,
 ( x)  cos x . Так как
то получим
e

Задание 6 с). 1
ln 2 x
dx
x
.
dt 
t  ln x . Тогда
x  e получим t  ln e  1 . Тогда получим
Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле
пересчет пределов интегрирования. При
2

Задание 6 d). 1
x  1 получим t  ln 1  0 . При
dx
x . Осуществим
xdx
4  x2
.
Воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Внесем под знак дифференциала функцию
 ( x)  4  x 2 .
e
 x ln x dx
Задание 6 e). 1
.
Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Данный интеграл является интегралом II типа.
 8
x
Задание 6 f). 0
2
sin 4 x dx
.
Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла два раза, так как под знаком интеграла стоит многочлен
второй степени. Данный интеграл является интегралом I типа.