Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Смоленский политехнический колледж»

Областное государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Смоленский политехнический колледж»
КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
по учебной дисциплине
«Элементы математической логики»
основных профессиональных образовательных программ (ОПОП)
по специальностям СПО
230115 «Программирование в компьютерных системах»
Смоленск
1
2014
РАССМОТРЕНО
на заседании ЦМК
радиотехнических дисциплин
протокол № _____ от «___»______2014г.
Председатель ЦМК________________
Лабустко Ю.Н.
УТВЕРЖДАЮ
зам. директора по УР
_______________ Казакова С.П.
«____»__________2014 г.
Разработчик: Фатов В.В., преподаватель Смоленский политехнический техникум
2
СОДЕРЖАНИЕ
1 Паспорт комплекса оценочных средств………………………………………. 4
2 Спецификация оценочных средств
12
3 Комплекты вариантов оценочных средств…………………………………….
17
3
ПАСПОРТ
комплекса оценочных средств
по учебной дисциплине
«ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ»
основных профессиональных образовательных программ (ОПОП)
по специальностям СПО
230115 «Программирование в компьютерных системах»
4
Содержание
1 Назначение комплекса оценочных средств (КОС)…………………………...
2 Перечень основных показателей оценки результатов, элементов знаний и умений,
подлежащих текущему контролю и промежуточной аттестации……
3 Распределение основных показателей оценки результатов по видам
аттестации…………………………………………………………………………
4 Содержательно-компетентностные матрицы оценочных средств…………..
5 Структура банка КОС для текущей контроля и промежуточной
аттестации………………………………………………………………………....
5
6
7
8
10
11
1 Назначение комплекса оценочных средств (КОС)
Комплекс
оценочных
средств
(КОС)
предназначен
для
контроля
и
оценки
образовательных достижений обучающихся при освоении программы учебной дисциплины
«Элементы математической логики».
КОС включает контрольные материалы для проведения текущего контроля и
промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачёта.
КОС разработан на основании положений:
ФГОС СПО по специальностям 230115 «Программирование в компьютерных системах»;
основных профессиональных образовательных программ по специальностям
«Программирование в компьютерных системах»;
рабочей программы учебной дисциплины «Элементы математической логики».
6
230115
2. Перечень основных показателей оценки результатов, элементов знаний и умений,
подлежащих текущему контролю и промежуточной аттестации
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные
знания)
Формирование задач логического
характера и решение их
Код
и наименование
элемента умений
У1 Решение задач на выполнение
теоретико-множественных операций
и
на
расчет количества элементов с
использованием формулы количества
элементов в объединении
нескольких конечных множеств»
У.2
Нахождение
логических
значений
для
высказываний.
Построение таблицы истинности для
высказываний
У3 Минимизация формул алгебры
логики с помощью равносильных
преобразований
У4 Приведение формул алгебры
логики
к
совершенной
дизъюнктивной
и конъюнктивной нормальной форме
У.5 Представление формул алгебры
логики в виде многочлена Жегалкина
У.6 Нахождение области истинности
предиката
У.7 Приведение формул логики
предикатов к нормальной форме
У.8 Построение на машине Тьюринга
алгоритма вычисления функции
Формирование
основных
принципов математической логики,
теории
множеств
и
теории
алгоритмов
Код
и наименование
элемента знаний
З1 Выполнение операций над
множествами
З.2 Формула количества
элементов в объединении
нескольких множеств.
З.3Декартово
произведение множеств.
З.4 Выполнение
логических операций
над высказываниями
З.5 Построение таблица
истинности
Тождественно истинные
формулы
З.6 Применение законов
логики.
З.7 Применение
методики упрощения
формул логики с помощью
равносильных преобразований.
З.8 Нахождение
дизъюнктивной и конъюнктивной
нормальных форм (ДНФ- и
КНФ-формы)
З.9 Булева функция и
способы ее задания.
З.10 Нахождение совершенных
ДНФ- и КНФ-форм.
З.11Построение многочлен
Жегалкина
З.12 Выполнение логических
операций над предикатами.
З.13 Формализация предложений
с помощью логики предикатов.
З.14 Описание элементов
теории алгоритмов
З.15 Описание и работа машины
Тьюринга
З.16 Операция двоичного сложения
З.17 Многочлен Жегалкина и
методика представления булевой
функции
в
виде
многочлена
Жегалкина
З.1 Выполнение операций
множествами
З.2 Формула количества
элементов в объединении
нескольких множеств.
З.3Декартово
произведение множеств.
З.4 Выполнение
логических операций
7
над
над высказываниями
З.14 Описание элементов
теории алгоритмов
З.15 Описание и работа машины
Тьюринга
З.16 Операция двоичного сложения
З.17 Многочлен Жегалкина и
методика представления булевой
функции
в
виде
многочлена
Жегалкина
Усвоение
формул
высказываний
алгебры
З.8 Нахождение
дизъюнктивной и конъюнктивной
нормальных форм (ДНФ- и
КНФ-формы)
З.10 Нахождение совершенных
ДНФ- и КНФ-форм
З.7 Применение
методики упрощения
формул логики с помощью
равносильных преобразований.
З.9 Булева функция и
способы ее задания.
Применение методов минимизации
алгебраических преобразований
Усвоение основ языка и алгебры
предикатов
З.12
Выполнение
логических
операций над предикатами.
З.13 Формализация предложений с
помощью логики предикатов.
8
3. Распределение основных показателей оценки результатов по видам аттестации
Код и наименование оценки умений или знаний
Виды аттестации
Текущий
контроль
У.1 Решение задач на выполнение теоретико-множественных операций и на
расчет количества элементов с использованием формулы количества
элементов в объединении нескольких конечных множеств»
У.2 Нахождение логических значений для высказываний. Построение
таблицы истинности для высказываний
У.3 Минимизация формул алгебры логики с помощью равносильных
преобразований
У.4 Приведение формул алгебры логики к совершенной дизъюнктивной и
конъюнктивной нормальной форме
У.5 Представление формул алгебры логики в виде многочлена Жегалкина
У.6 Нахождение области истинности предиката
У.7 Приведение формул логики предикатов к нормальной форме
У.8 Построение на машине Тьюринга алгоритма вычисления функции
З.1 Выполнение операций над множествами
З.2 Формула количества элементов в объединении нескольких множеств.
З.3Декартово произведение множеств.
З.4 Выполнение логических операций над высказываниями
З.5 Построение таблица истинности. Тождественно истинные формулы
З.6 Применение законов логики.
З.7 Применение методики упрощения формул логики с помощью
равносильных преобразований.
З.8 Нахождение дизъюнктивной и конъюнктивной нормальных форм
(ДНФ- и КНФ-формы)
З.9 Булева функция и способы ее задания.
З.10 Операция двоичного сложения
З.11Многочлен Жегалкина и методика представления булевой функции в
виде многочлена Жегалкина
З.12 Выполнение логических операций над предикатами.
З.13 Формализация предложений с помощью логики предикатов.
З.14 Описание элементов теории алгоритмов
З.15 Описание и работа машины Тьюринга
9
+
Промежуточная
аттестация
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4. Содержательно-компетентностная матрица оценочная матрица оценочных средств
Содержание
учебного материала
по программе УД
Раздел 1
Алгебра множеств
Тема 1.1
Основы теории множеств
Раздел 2
Алгебра логики
Тема 2.1
Логические операции,
формулы логики. Таблица
истинности
Тема 2.2
Законы логики
Текущий контроль
Проверяемые
У, З, ОК
Промежуточная аттестация
Код
оценочного
средства
У.1,
З1,З2,З3
ОК4
5
У.3,
З6,ОК5
5
Тема 2.3
Нормальные формы
алгебры логики
Тема 2.4
Булевы функции
Тема 2.5
Совершенные нормальные
формы алгебры логики
У3,
З7,З.8,
ОК7-8
З9,
ОК6
У4
ОК4
5
Тема 2.6
Многочлен Жегалкина
У5,
З10, З11,
ОК8
Тема 3.2
Формулы логики
предикатов
Раздел 4
Теория алгоритмов
Тема 4.1
Алгоритмы и машина
Тьюринга.
Код
оценочного
средства
У1,
ОК1-3
5
У3,З6,З11
ОК2-6
5
У7,З13
ОК5-9
5
5
У2,
З4,З5,
ОК2-3
Раздел 3
Предикаты
Тема 3.1
Логика предикатов
Проверяемые
У, З, ОК
5
5
У6,
З12,
ОК9-10
У7, З13
ОК7
5
5
5
У.8,
З.14, З.15,
ОК10
5
10
5 Структура банка КОС для текущего контроля и промежуточной аттестации
Код
оценочного
средства
5
Тип оценочного средства
Аналитическое задание 1
Количество
оценочных
средств
Ориентировочное время
выполнения одного
оценочного средства, час
Общее время
выполнения,
час
8
1
8
1
0,75
0,75
Промежуточная аттестация
5
Аналитическое задание 2
Всего
8,75
11
СПЕЦИФИКАЦИЯ
оценочных средств
по учебной дисциплине
«ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ»
основных профессиональных образовательных программ (ОПОП)
по специальностям СПО
230115 «Программирование в компьютерных системах»
12
Спецификация аналитического задания 1
(текущий контроль)
1. Назначение
Спецификацией устанавливаются требования к содержанию и оформлению вариантов
оценочных средств.
Аналитическое задание 1 входит в состав комплекса оценочных средств и предназначено
для текущего контроля и оценки знаний и умений аттестуемых, соответствующих основным
показателям оценки результатов подготовки по программе учебной дисциплины «Элементы
математической логики» основных образовательных программ по специальности 230 115
«Программирование в компьютерных системах».
2. Контингент аттестуемых обучающиеся ОГБОУ СПО «Смоленский политехнический
колледж»
3. Условия аттестации: Контроль проводится после изучения тем 1.1, 2.1, 2.2, 2.3,2.4, 2.5, 2.6,
3.1, 3.2, 4.1 в форме практического занятия.
4. Время контроля:
Выполнение 60 мин.
5. Структура варианта аналитического задания.
Основная задача: оценка знаний и умений обучающихся, соответствующим основным
показателям оценки результатов подготовки по программе учебной дисциплины
Краткая характеристика
Аналитическое задание 1 является комплексным, т.к.
включает 5 задач, объединенных логически, представлено в 4-х вариантах (без
дифференциации)
Задача № 1 предполагает решение конкретной практической задачи путем применения
типовых алгоритмов решения.
Задачи № 2,3 продемонстрирует умение аттестуемого реализовать типовое практическое
решение.
Задача № 4 предусматривает использование нетиповых алгоритмов решения.
Задача № 5 направлена на выявление подготовленности обучающегося находить
(предлагать) решения в новых проблемных ситуациях, требующих творческой деятельности.
Задания
1.
Укажите
множество
2
A  x x  3x  4  0 ;


действительных
чисел,
соответствующее
записи
2 Даны множества A   4, 2 , B  1;4 , C  3,7 . Найдите: а) A  ( B  C ); б) ( A  C )  B;
в) A  B;
г) ( A  C ) ( A  C ); д) (C  B) ( A  B); е) A  B .
3 Запишите множества A  множество делителей числа 18; B  множество целых решений
неравенства 6  x  8 ; С - множество простых чисел меньших 12 перечислением элементов
и найдите а) A  B ; б) B  C ; в) ( A  B )  C ; г) ( A B)  C ; д) A  B .
4 Докажите тождества, используя только определения операций над множествами
A  B  ( A  B) .
5 Упростите выражение ( A  B)  ( A  B )  ( A  B) .
13
6 Система оценки выполнения заданий
Без ошибок или 1 неточность – «отлично»
2 ошибки и 1 неточность – «хорошо»
3 ошибки и 3-4 неточности – «удовлетворительно»
4 ошибки – «неудовлетворительно»
7 Трудоёмкость
Трудоёмкость выполнения ,мин
Количество вопросов
1
5
Одного вопроса
2
10
3
4
10
15
60 мин
5
20
8. Перечень используемых нормативных документов
ФГОС СПО по специальностям 230115 «Программирование в компьютерных системах».
Типовое положение об образовательном учреждении среднего профессионального
образования
Рабочая программа учебной дисциплины « Элементы математической логики»
Устав Смоленского политехнического техникума
Положение о текущем контроле знаний и промежуточной аттестации студентов
(обучающихся) техникума
9. Рекомендуемая литература для разработки и подготовке обучающихся к
выполнению аналитического задания
1. Фатов В.В. Учебное пособие «Элементы математической логики», Смоленск,
СПТ, 2014,-65 с.
2. Канцедал С.А. Дискретная математика: учебное пособие/ С.А. Канцедал. –
М.: ИД «Форум»: Инфа-М, 2011. – 224с.
3. Интеллектуальные развлечения www.log-in.ru (Дата обращения 05.06.11).
4. Нет школа www.chebgym5.ru (Дата обращения 05.06.11).
5. Физмат. школа www.phizmat.org.ua (Дата обращения 05.06.11).
6.Основы теории множеств и математической логики otmml.narod.ru (Дата
обращения 05.06.11).
14
Спецификация аналитического задания 2
(промежуточная аттестация)
1. Назначение
Спецификацией устанавливаются требования к содержанию и оформлению вариантов
оценочных средств.
Аналитическое задание входит в состав комплекса оценочных средств и предназначено
для промежуточной аттестации контроля и оценки знаний и умений аттестуемых,
соответствующих основным показателям оценки результатов подготовки по программе
учебной дисциплины «Элементы математической логики» основных образовательных
программ по специальности 230 115 «Программирование в компьютерных системах».
2. Контингент аттестуемых обучающиеся ОГБОУ СПО «Смоленский политехнический
колледж»
3. Условия аттестации: Контроль проводится после изучения учебной дисциплины в форме
контрольной работы.
4. Время контроля:
Выполнение 45 мин.
5. Структура варианта расчетного задания.
Основная задача: оценка знаний и умений обучающихся, соответствующим основным
показателям оценки результатов подготовки по программе учебной дисциплины
Краткая характеристика Расчетное задание является комплексным, т.к. включает 5
заданий, объединенных логически. В двух вариантах (без дифференциации)
Задача № 1 предусматривает решение конкретной практической задачи путем
применения типовых алгоритмов решения.
Задача № 2,3 продемонстрирует умение аттестуемого реализовать типовое практическое
решение.
Задача № 4 предусматривает использование нетиповых алгоритмов решения.
Задача № 5 направлены на выявление подготовленности обучающегося находить
(предлагать) решения в новых проблемных ситуациях, требующих творческой деятельности.
1. Множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4, множество В – из
натуральных чисел, делящихся на 10, множество С – из натуральных чисел, делящихся на 75.
Из каких чисел состоит множество A  B  C ?
2. Составьте таблицу истинности для формулы и выясните, является ли формула
выполнимой, опровержимой, тавтологией или противоречием (( P  Q)  Q)  ( P  Q) ?
3. Следующую формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала
только логические связки ,  и  (( X  Y )  Y )  ( X  Y ) .
4. Отыскав для булевой функции представляющий ее полином Жегалкина, установите,
равна ли функция 0 или 1 (( x  y )  x )  x ?
5. Применяя равносильные преобразования, приведите формулу к предваренной
нормальной форме, т.е. к форме у которой все кванторы стояли бы вначале формулы
а) (x)( P ( x)  Q( x))  ((x)( P( x))  (y )(Q( y ))) .
6 Система оценки выполнения заданий
Без ошибок или 1 неточность – «отлично»
2 ошибки и 1 неточность – «хорошо»
3 ошибки и 3-4 неточности – «удовлетворительно»
4 ошибки – «неудовлетворительно»
15
7 Трудоёмкость
Трудоёмкость выполнения ,мин
Количество вопросов
1
5
Одного вопроса
2
5
3
4
10
10
45 мин
5
15
8. Перечень используемых нормативных документов
ФГОС СПО по специальностям 230115 «Программирование в компьютерных системах».
Типовое положение об образовательном учреждении среднего профессионального
образования
Рабочая программа учебной дисциплины « Элементы математической логики»
Устав Смоленского политехнического техникума
Положение о текущем контроле знаний и промежуточной аттестации студентов
(обучающихся) техникума
9. Рекомендуемая литература для разработки
выполнению аналитического задания
и подготовке обучающихся к
1. Фатов В.В. Учебное пособие «Элементы математической логики», Смоленск,
СПТ, 2014,-65 с.
2. Канцедал С.А. Дискретная математика: учебное пособие/ С.А. Канцедал. –
М.: ИД «Форум»: Инфа-М, 2011. – 224с.
3. Интеллектуальные развлечения www.log-in.ru (Дата обращения 05.06.11).
4. Нет школа www.chebgym5.ru (Дата обращения 05.06.11).
5. Физмат. школа www.phizmat.org.ua (Дата обращения 05.06.11).
6.Основы теории множеств и математической логики otmml.narod.ru (Дата
обращения 05.06.11).
16
КОМПЛЕКТЫ ВАРИАНТОВ
оценочных средств
по учебной дисциплине
«Элементы математической логики»
основных профессиональных образовательных программ (ОПОП)
по специальностям СПО
230115 «Программирование в компьютерных системах»
17
Аналитическое задание № 1
(практические занятия)
Практическое занятие №1 «Решение задач на выполнение теоретико – множественных
операций и на подсчет количества элементов с использованием формулы количества элементов
в объединении нескольких конечных множеств.»
Вариант 1.
1.

Укажите

множество
действительных
чисел,
соответствующее
записи
A  x x  3x  4  0 ;
2
2..Даны множества A   4, 2 , B  1;4 , C  3,7 . Найдите: а) A  ( B  C ); б) ( A  C )  B;
в) A  B;
г) ( A  C ) ( A  C ); д) (C  B) ( A  B); е) A  B .
3 Запишите множества A  множество делителей числа 18; B  множество целых решений
неравенства 6  x  8 ; С - множество простых чисел меньших 12 перечислением элементов
и найдите а) A  B ; б) B  C ; в) ( A  B )  C ; г) ( A B)  C ; д) A  B .
4. Докажите тождества, используя только определения операций над множествами
A  B  ( A  B) .
5 . Упростите выражение ( A  B)  ( A  B )  ( A  B) .
6 . В студенческом потоке 37 человек хорошо знают математику, а 25 человек –
электронику, и 19 человек хорошо знают и математику и электронику. Если в потоке каждый из
студентов знает хотя бы один из этих предметов, то сколько студентов в потоке?
1.
Укажите
A   x 5  x  6, x  N 
множество
Вариант 2.
действительных
чисел,
соответствующее
записи
2..Даны множества A   4;0 , B   1;3 , C  1;6 . Найдите: а) A  ( B  C ); б) ( A  C )  B;
в) A  B;
г) ( A  C ) ( A  C ); д) (C  B) ( A  B); е) A  B .
3 Запишите множества A  множество простых решений неравенства 2  x  12 ; B множество целых решений неравенства x  7 ; C  множество делителей числа 24
перечислением элементов и найдите: а) A  B ; б) B  C ; в) ( A  B )  C ; г) ( A B)  C ; д)
A B .
4. Докажите тождества, используя только определения операций над множествами
( A  B)  ( A  B ) .
5 . Упростите выражение ( A  B )  ( A  B)  ( A  B) .
6 . В студенческом потоке 37 человек хорошо знают математику, а 25 человек –
электронику, и 19 человек хорошо знают и математику и электронику. Если в потоке каждый из
студентов знает хотя бы один из этих предметов, то сколько студентов в потоке?
Вариант 3.
18
1.
Укажите
A  x x  5, x  R .

2.

множество
Даны множества
действительных
чисел,
соответствующее
A   5;0 , B   3;7 , C  4;10 . Найдите: а)
записи
A  ( B  C ); б)
( A  C )  B; в) A  B; г) ( A  C ) ( A  C ); д) (C  B) ( A  B); е) A  B .
3. . Запишите множества A  множество нечетных чисел, меньших 16; B  множество
целых решений неравенства 2  x  9 ; C  множество целых решений неравенства x  2 и
меньших 9 перечислением элементов и найдите: а) A  B ; б) B  C ; в) ( A  B )  C ; г)
( A B)  C ; д) A  B .
4. Докажите тождества, используя только определения операций над множествами
A  ( B \ C )  ( A  B) \ ( A  C ) .
5. Упростите выражение A \ B  C \ A  B  C  A  B  C;
6 Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по
математике, физике, астрономии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и
астрономии –25 студентов, спецкурс только по физике – 80 студентов. Известно также, что
спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике – 145, по астрономии – 100
студентов. Сколько студентов посещают спецкурс только по астрономии?
Вариант 4.
1.

Укажите

множество
действительных
чисел,
соответствующее
записи
A  x x  1  2, x  Z .
2. Даны множества
A  3;13 , B  9;18 , C  15;24 . Найдите: а)
A  ( B  C );
б)
( A  C )  B; в) A  B; г) ( A  C ) ( A  C ); д) (C  B) ( A  B); е) A  B .
3. Запишите множества A  множество положительных целых решений неравенства x  8 ;
B  множество четных чисел, меньших 14; C  множество целых решений неравенства
8  x  15 перечислением элементов и найдите: а) A  B ; б) B  C ; в) ( A  B )  C ; г)
( A B)  C ; д) A  B .
4. Докажите тождества, используя только определения операций над множествами
( A  B)  ( A  B ) .
5. Упростите выражение A  B  B  C \ B;
6 На кафедре иностранных языков работают 18 преподавателей. Из них 12 преподают
английский язык, 11 – немецкий язык, 9 – французский язык. 5 преподавателей преподают
английский и немецкий языки, 4 – английский и французский, 3 – немецкий и французский.
Сколько преподавателей преподают все три языка?
19
Практическое занятие №2 «Нахождение логических значений для высказываний. Построение
таблицы истинности для высказываний»
Вариант 1.
1. Следующее составное высказывание расчлените на простые и запишите символически, введя
буквенные обозначения для простых их составляющих:
Логарифм некоторого положительного числа будет положительным, если основание
логарифма и логарифмическое число будут больше 1 или основание логарифма и
логарифмическое число будут заключены между 0 и 1.
2. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений
всех предыдущих высказываний:
F ( A  B)  1, F ( A  B)  0, F ( B  A)  ;
3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы и укажите являются ли формула
выполнимой, опровержимой , тождественно истинной (тавтологией) или тождественно ложной
(противоречием)
(( P  Q)  Q)  ( P  Q) .
4. Определите истинное значение сложного высказывания , предположив, что простым
высказываниям p, q, r , s соответственно даны значения И , Л , Л , И .
(q  r )  ( s  p)
5. С помощью таблицы истинности установите, являются ли равносильными суждения а) и
б).
А) Тогда и только тогда мы отправимся в путешествие, когда будет хорошая погода. Б)
Будет хорошая погода и мы отправимся в путешествие , или не будет хорошей погоды, а мы
отправимся в путешествие.
6. Докажите, что следующая формула является тавтологией, преобразовав равносильным
образом ( P  ( P  Q))  Q .
Вариант 2.
1. Следующее составное высказывание расчлените на простые и запишите символически, введя
буквенные обозначения для простых их составляющих:
Если в параллелограмме не все углы прямые или не все стороны равны между собой,
то этот параллелограмм не прямоугольник и не ромб.
2. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений
всех предыдущих высказываний:
F ( A  B)  0, F ( A  B)  1, F ( B  A)  ;
3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы и укажите являются ли формула
выполнимой, опровержимой , тождественно истинной (тавтологией)или тождественно ложной
(противоречием)
(((( P  Q)  (Q  R))  R )  Q .
4. Определите истинное значение сложного высказывания, предположив, что простым
высказываниям p, q, r , s соответственно даны значения И , Л , Л , И .
(r  ( s  p))  (( p  s)  q) .
5. С помощью таблицы истинности установите, являются ли равносильными суждения а) и
б).
А) Если по проводнику проходит электрический ток, то вокруг проводника возникает
магнитное поле. Б) Если вокруг проводника возникает магнитное поле, то по проводнику
проходит электрический ток.
20
6. Докажите, что следующая формула является тавтологией, преобразовав равносильным
образом ( P  Q)  ((Q  P)  ( P  Q)) .
Вариант 3.
1. Следующее составное высказывание расчлените на простые и запишите символически, введя
буквенные обозначения для простых их составляющих:
Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и
линии их пересечения.
2. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений
всех предыдущих высказываний:
F ( A  B)  1, F ( A  B)  1, F ( B  A) 
3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы и укажите являются ли формула
выполнимой, опровержимой , тождественно истинной (тавтологией)или тождественно ложной
(противоречием)
(((( P  Q)  (Q  R))  R )  Q .
4. Определите истинное значение сложного высказывания , предположив, что простым
высказываниям p, q, r , s соответственно даны значения И , Л , Л , И .
(q  ( p  s ))  (r  s )
5. С помощью таблицы истинности установите, являются ли равносильными суждения а) и
б).
А) Либо я увлекаюсь гимнастикой, либо плаванием. Б) Я увлекаюсь гимнастикой, но не
увлекаюсь плаванием, или я не увлекаюсь ни гимнастикой, ни плаванием.
6. Докажите, что следующая формула является тавтологией, преобразовав равносильным
образом (( P  R)  ((Q  R)  (( P  Q)  R)) .
Вариант 4.
1. Следующее составное высказывание расчлените на простые и запишите символически, введя
буквенные обозначения для простых их составляющих:
Если какие-либо два из трех векторов a , b , c коллинеарны, то их смешанное произведение
равно нулю  a  b   c  0 .


2. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений
всех предыдущих высказываний:
F ( A  B)  0, F ( A  B)  0, F ( A  B)  1, F ( B) 
3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы и укажите являются ли формула
выполнимой, опровержимой , тождественно истинной (тавтологией)или тождественно ложной
(противоречием)
(( P  Q)  Q)  ( P  Q) .
4. Определите истинное значение сложного высказывания , предположив, что простым
высказываниям p, q, r , s соответственно даны значения И , Л , Л , И .
(( p  q )  r )  ( s  s ).
5. С помощью таблицы истинности установите, являются ли равносильными суждения а) и
б).
А) Если слово ставится в начале предложения , то оно пишется с большой буквой. Б) Неверно,
что слово ставится в начале предложения и при этом не пишется с большой буквой.
Практическое занятие №3 «Минимизация формул алгебры
равносильных преобразований»
21
логики с помощью
Вариант 1
1. Формулу (( X  Y )  (Y  X ))  ( X  Y ) преобразуйте равносильным образом
так, чтобы она содержала только логические связки ,  и  .
2. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено
только к переменным и не стояло перед скобками (( X  (Y  Z ))  Z ) .
3.
Применяя
равносильные
преобразования,
приведите
формулу
( P  Q)  (( P  Q)  P) к возможно более простой форме.
4. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли следующая
равносильность P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R) ;
5. Докажите, что следующая формула является тавтологией, преобразовав
равносильным образом (( P  Q)  ( R  R ))  ( P  Q) .
Вариант 2
1. Формулу (( X  Y )  (Y  X ))  (Z  X ) преобразуйте равносильным образом
так, чтобы она содержала только логические связки ,  и  .
2. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено
только к переменным и не стояло перед скобками ((( X  Y )  Y )  ( X  Z )) .
3.
Применяя
равносильные
преобразования,
приведите
формулу
( P  Q)  (Q  P)  ( R  P) к возможно более простой форме.
4. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли следующая
равносильность ( P  Q)  R  ( P  R)  (Q  R) .
5. Докажите, что следующая формула является тавтологией, преобразовав
равносильным образом P  (Q  (( P  Q)  ( P  Q))) .
Вариант 3
1.
Формулу
(( X  Y )  ( X  Y ))  (( X  Y )  ( X  Y )
преобразуйте
равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки ,  и  .
2. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено
только к переменным и не стояло перед скобками (U  ( Z  (Y  X ))) .
3. Применяя равносильные преобразования, приведите формулу
( P  Q)  (Q  P)  ( P  Q) к возможно более простой форме.
4. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли следующая
равносильность P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R) .
5. Докажите, что следующая формула является тавтологией, преобразовав
равносильным образом (( P  Q)  (Q  P))  ( P  R) .
Вариант 4
1. Формулу (( X  Y )  Z )  ( X  Z ) преобразуйте равносильным образом так,
чтобы она содержала только логические связки ,  и  .
22
2. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено
только к переменным и не стояло перед скобками (( X  Y )  Z )  ( X  Z ) .
3.
Применяя
равносильные
преобразования,
приведите
формулу
( P  Q)  (( P  Q)  P) к возможно более простой форме.
4. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли следующая
равносильность P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R) .
5. Докажите, что следующая формула является тавтологией, преобразовав
равносильным образом (( P  Q)  ( R  R ))  ( P  Q) .
Практическое занятие № 4 «Нормальные формы алгебры логики.»
Цель: Научиться проводить формулы алгебры логики к нормальным формам.
23
Вариант 1.
1. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной
нормальной форме ( X  Y )  ( Z  T ) .
2. Для формулы алгебры высказываний ( Z  Y )  (( X  Z )  Y ) найдите СДНФ с
помощью таблицы истинности и минимизируйте ее.
3. Для формулы алгебры высказываний X  (Y ( Z ( X ))) найдите СКНФ с
помощью таблицы истинности и минимизируйте ее.
4. Используя СДНФ, найдите формулу, принимающую значение 1 на следующем
наборе значений переменных, и только на нем F (0,1,1)  F (1, 0,1)  F (1,1, 0)  F (1,1,1)  1 .
5. Найдите МДНФ и МКНФ формулы, используя равносильные преобразования
( X Y )  ( X  Z ) .
Вариант 2.
1. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной
нормальной форме . (( X  Y )  (Z  X )  (Y  Z ) .
2. Для формулы алгебры высказываний ( X  Y )  (Y  Z )  ( Z  T ) найдите СДНФ
с помощью таблицы истинности и минимизируйте ее.
3. Для формулы алгебры высказываний ( X  Y )  (Y  Z )  ( Z  T ) найдите СКНФ с
помощью таблицы истинности и минимизируйте ее.
4. Используя СДНФ, найдите формулу, принимающую значение 1 на следующем
наборе значений переменных, и только на нем . F (1,1, 0, 0)  F (0, 0,1,1)  1
5. Найдите МДНФ и МКНФ формулы, используя равносильные преобразования
( X  Y )  (Y  Z )  ( Z  T ) .
Вариант 3.
1. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной
нормальной форме (( X  Y )  Z )  ( X  ( X  Z )) .
2. Для формулы алгебры высказываний (( X  Y )  Z )  X найдите СДНФ с
помощью таблицы истинности и минимизируйте ее.
3. Для формулы алгебры высказываний ( X Y )  ( Z  ( X  Y )) найдите СКНФ с
помощью таблицы истинности и минимизируйте ее.
4. Используя СДНФ, найдите формулу, принимающую значение 1 на следующем
наборе значений переменных, и только на нем F (1, 0,1)  F (0,1, 0)  F (0, 0, 0)  1 .
5. Найдите МДНФ и МКНФ формулы, используя равносильные преобразования
(( X  Y )  Z )  X .
Вариант 4.
1. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной
нормальной форме ( X  Y )  ( X  Z ) .
24
2. Для формулы алгебры высказываний ( X  Z )  ( X  Y ) найдите СДНФ с
помощью таблицы истинности и минимизируйте ее.
3. Для формулы алгебры высказываний ( X Y )  ( X  (Y  Z )) найдите СКНФ с
помощью таблицы истинности и минимизируйте ее.
4. Используя СДНФ, найдите формулу, принимающую значение 1 на следующем
наборе значений переменных, и только на нем F (0, 0, 0)  F (0,1, 0)  F (1,1,1)  1 .
5. Найдите МДНФ и МКНФ формулы, используя равносильные преобразования
( X Y )  ( X  (Y  Z ))
25
Практическое занятие № 5 «Представление формул алгебры логики в виде многочлена
Жегалкина»
Вариант 1
1. Для булевой функции найдите представляющий ее полином Жегалкина x ( y z  yz ) .
2. Выясните, верны ли равенства, отыскав полиномы Жегалкина, представляющие
булевы функции в обеих частях этого равенства x  ( y  z )  ( x  y )( x  z ) .
3. Отыскав булевой функции представляющий ее полином Жегалкина, установите,
равна ли функция тождественно 1или 0 ( y  z )  (( x  y )  ( x  z )) ?
4. Докажите, что все следующая функция линейна x y z  x y z  x yz  x yz .
5. Выясните, является ли функция линейной x y z  x y z  x yz  x yz ?
Вариант 2
1. Для
булевой функции найдите представляющий ее полином Жегалкина
( x  ( y  z ))( yz  x ) .
2. Выясните, верны ли равенства, отыскав полиномы Жегалкина, представляющие
булевы функции в обеих частях этого равенства xy  z  ( x  z )( y  z ) .
3. Отыскав булевой функции представляющий ее полином Жегалкина, установите,
равна ли функция тождественно 1 или 0 ( x  ( y  x))  (( y  x ))( x  y )) ?
4. Докажите, что все следующая функция линейна x ( yz  yz )  ( y  z ) x .
5. Выясните, является ли функция линейной ( xy z )  ( x  y )( x  y ) z ?
Вариант 3
1. Для
булевой функции найдите представляющий ее полином Жегалкина
x z  ( xy  xy ) z .
2. Выясните, верны ли равенства, отыскав полиномы Жегалкина, представляющие
булевы функции в обеих частях этого равенства z  ( x  y )  ( z  x )  ( x  y ) .
3. Отыскав булевой функции представляющий ее полином Жегалкина, установите,
равна ли функция тождественно 1 или 0 ( x  ( y  z ))( x  y )( x z ) ?
4. Докажите, что все следующая функция линейна ( x  y ) z  ( x y  xy ) z .
5. Выясните, является ли функция линейной x ( y  z )  (( x y  z )  x y z ) ?
Вариант 4
1. Для
булевой функции найдите представляющий ее полином Жегалкина
x z  (x z  x z ) y  x y z .
2. Выясните, верны ли равенства, отыскав полиномы Жегалкина, представляющие
булевы функции в обеих частях этого равенства ( x  y )  z  x  ( y  z ) .
3. Отыскав булевой функции представляющий ее полином Жегалкина, установите,
равна ли функция тождественно 1 или 0 ( x  yz )  (( x  y )  ( x  z )) ?
4. Докажите, что все следующая функция линейна ( x y  x y ) z  ( x  y ) z .
5. Выясните, является ли функция линейной x ( yz  yz )  ( y  z  1) x ?
26
Практическое занятие № 6 «Нахождение области истинности предиката»
Вариант 1
1. Найдите множество истинности предиката, заданного над указанным множеством
« x1  x2 », M 1  1, 2, 3, 4, 5 , M 2  3, 5, 7 .
2. . Из следующего предиката с помощью кванторов постройте всевозможные
2
2
высказывания и определите, какие из них истинны, а какие ложны ( x  R ) ( x  1)  x  2 x  1 .
3. Изобразите на плоскости множество истинности одноместного предиката, заданного на R
x  2.
4. Изобразите на плоскости множество истинности двуместного предиката, заданного на
множестве действительных чисел R x  y .
5. Выясните, равносильны ли предикаты, если их рассматривать над множеством
действительных чисел R , над множеством рациональных чисел Q , над множеством целых
чисел Z и над множеством натуральных чисел N 5 x  11x  2  0,
2
( x  3)(3 x  7 x  2)  0 .
2
2
Вариант 2
1. Найдите множество истинности предиката, заданного над указанным множеством
« x1  x2  12 », M 1  2, 4, 8 , M 2  0, 7, 9, 11 .
2. . Из следующего предиката с помощью кванторов постройте всевозможные
2
2
высказывания и определите, какие из них истинны, а какие ложны ( x  R ) x  y  x  y .
3. Изобразите на плоскости множество истинности одноместного предиката, заданного на
R x4  1 .
4. Изобразите на плоскости множество истинности двухместнго предиката, заданного на
2
2
множестве действительных чисел R x  y .
5. Выясните, равносильны ли предикаты, если их рассматривать над множеством
действительных чисел R , над множеством рациональных чисел Q , над множеством целых
чисел Z и над множеством натуральных чисел N x  y , x  y .
Вариант 3
1. Найдите множество истинности предиката, заданного над указанным множеством
« x1  x2  0 », M 1  3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 , M 2  3, 1, 2 .
2. . Из следующего предиката с помощью кванторов постройте всевозможные
2
2
2
высказывания и определите, какие из них истинны, а какие ложны ( x  R ) ( x  y )  x  2 xy  y .
3. Изобразите на плоскости множество истинности одноместного предиката, заданного на
2
R x  6 x  16  0 .
4. Изобразите на плоскости множество истинности двухместнго предиката, заданного на
2
2
множестве действительных чисел R x  y  9 .
5. Выясните, равносильны ли предикаты, если их рассматривать над множеством
действительных чисел R , над множеством рациональных чисел Q , над множеством целых
чисел Z и над множеством натуральных чисел N
x
Вариант 4
27
y,
x y
1. Найдите множество истинности предиката, заданного над указанным множеством
« x  x  6  0 », M  R
2.
Из следующего предиката с помощью кванторов постройте всевозможные
2
высказывания и определите, какие из них истинны, а какие ложны ( x  R ) x  25 .
3. Изобразите на плоскости множество истинности одноместного предиката, заданного на
R x3  2 .
4. Изобразите на плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на
множестве действительных чисел R y  1 x .
5. Выясните, равносильны ли предикаты, если их рассматривать над множеством
действительных чисел R , над множеством рациональных чисел Q , над множеством целых
2
чисел Z и над множеством натуральных чисел N x  0, x  0 .
2
28
Практическое занятие № 7 «Приведение формул логики предикатов к нормальной форме»
Вариант 1
1. Пусть P ( x ) означает « x  простое число», E ( x ) означает « x  четное число», O ( x )
означает « x  нечетное число», D ( x, y )  « y делится на x ». Переведите на русский язык
следующие символические записи на языке логики предикатов, учитывая что x и y пробегают
множество натуральных чисел (x )( E ( x )  (y )( x  2 y ))
2. Докажите, что формулы из следующих пар равносильны между собой на
одноэлементном множестве (x )( P ( x )) и (x )( P ( x)) .
3. Докажите, что справедлива равносильность (формула H не содержит x свободно)
(x)( P( x))  (x)( P( x)) .
4. Для формулы логики предикатов найдите равносильную ей приведенную форму, т.е.
такую форму, в которой из операций алгебры высказывание имеются только операции ,  и
 , а знаки отрицания относятся только предикатным переменным и к высказываниям
(x )( P ( x )  (y )(Q ( y ))) .
5. Применяя равносильные преобразования, приведите
формулу к предваренной
нормальной форме, т.е. к форме у которой все кванторы стояли бы вначале формулы
(x )( P ( x)  Q( x))  ((x)( P( x))  (y )(Q( y ))) .
Вариант 2
1. Пусть P ( x ) означает « x  простое число», E ( x ) означает « x  четное число», O ( x )
означает « x  нечетное число», D ( x, y )  « y делится на x ». Переведите на русский язык
следующие символические записи на языке логики предикатов, учитывая что x и y пробегают
множество натуральных чисел (x )( E ( x )  (y )( E ( y )  D ( x, y ))) .
2. Докажите, что формулы из следующих пар равносильны между собой на
одноэлементном множестве (x )( P ( x )  P ( y )) и P ( y )  (x)( P ( x)) .
3. Докажите, что справедлива равносильность (формула H не содержит x свободно)
(x )( P ( x )  Q ( x ))  (x )( P ( x ))  (x )(Q ( x )) .
4. Для формулы логики предикатов найдите равносильную ей приведенную форму, т.е.
такую форму, в которой из операций алгебры высказывание имеются только операции ,  и
 , а знаки отрицания относятся только предикатным переменным и к высказываниям
((x)( P( x))Q( x))  (y )( R( y )  S ( z )) .
5. Применяя равносильные преобразования, приведите
формулу к предваренной
нормальной форме, т.е. к форме у которой все кванторы стояли бы вначале формулы
(y )( R ( x, y , z ))  (x )(Q ( x, y )) .
29
Вариант 3
1. Пусть P ( x ) означает « x  простое число», E ( x ) означает « x  четное число», O ( x )
означает « x  нечетное число», D ( x, y )  « y делится на x ». Переведите на русский язык
следующие символические записи на языке логики предикатов, учитывая что x и y пробегают
множество натуральных чисел (x)(O( x)  (y )( P( y )  D( x, y )))
2.
Докажите, что формулы из следующих пар равносильны между собой на
одноэлементном множестве (x)( P ( y )  P ( x)) и P ( y )  (x )( P ( x )) .
3. Докажите, что справедлива равносильность (формула H не содержит x свободно)
H  (x ) P ( x ))  (x)( H  P ( x )) .
4. Для формулы логики предикатов найдите равносильную ей приведенную форму, т.е.
такую форму, в которой из операций алгебры высказывание имеются только операции ,  и
 , а знаки отрицания относятся только предикатным переменным и к высказываниям
((x )( P ( x )  (y )(Q ( y )))  R ( z ) .
5. Применяя равносильные преобразования, приведите
формулу к предваренной
нормальной форме, т.е. к форме у которой все кванторы стояли бы вначале формулы
(y)(Q( y, z )  (x)( R( x, t , z )) .
Вариант 4
1. Пусть P ( x ) означает « x  простое число», E ( x ) означает « x  четное число», O ( x )
означает « x  нечетное число», D ( x, y )  « y делится на x ». Переведите на русский язык
следующие символические записи на языке логики предикатов, учитывая что x и y пробегают
множество натуральных чисел (x)( E ( x)  (y )( D( x, y )  E ( y ))).
2. Докажите, что формулы из следующих пар равносильны между собой на
одноэлементном множестве (x )( P ( x )  P ( y )) и (x )( P ( x ))  P ( y ) .
3. Докажите, что справедлива
равносильность (формула H не содержит x
свободно) H  (x ) P ( x ))  (x)( H  P ( x )) .
4. Для формулы логики предикатов найдите равносильную ей приведенную форму, т.е.
такую форму, в которой из операций алгебры высказывание имеются только операции ,  и
 , а знаки отрицания относятся только предикатным переменным и к высказываниям
(x)( P( x))  (Q( y )(z )( R( z ))) .
5. Применяя равносильные преобразования, приведите
формулу к предваренной
нормальной форме, т.е. к форме у которой все кванторы стояли бы вначале формулы
P( y )  (x)(Q( x, y ))  P( y )
30
Практическое занятие № 8 «Построение на машине Тьюринга алгоритма вычисления функции»
Вариант 1.
 
1. .Имеется машина Тьюринга с внешним алфавитом A  a0, 1 , алфавитом внутренних

Q  q0,q1
состояний
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
a0
q 4 a0 П
q6 a0 П
q6 a0 П
q0 1
q 4 a0 П
q0 a0
q6 a0 П
1
q2 1 Л
q3 1 Л
q11 Л
q5 a0
q5 a0
q7 a0
q7 a0
Q
А

и
функциональной схемой (программой).
А
q0
Q
a0
1
q1
q0 1 П
q 2 a0 Л
q11 П
В столбце q 0 ничего не написано, потому что q0  заключительное состояние машины, т.е.
такое состояние, оказавшись в котором машина останавливается. Функциональную схему или
программу кратко можно записать в виде последовательности из двух команд:
q1a0  q0 1, q11  q11 П. Определите в какое слово перерабатывает машина слово, если она
находится в начальном состоянии q1 и обозревает указанную ячейку 1a0 11a0 a0 11 (обозревается
ячейка 4, считая слева);
2. Дана машина Тьюринга с внешним алфавитом A  a0, 1 , алфавитом внутренних

 

состояний Q  q0,q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7 и со следующей функциональной схемой (программой):
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
a0
q 4 a0 П
q6 a0 П
q6 a0 П
q0 1
q 4 a0 П
q0 a0
q6 a0 П
1
q2 1 Л
q3 1 Л
q11 Л
q5 a0
q5 a0
q7 a0
q7 a0
Q
А
Изображая на каждом этапе работы машины получающуюся конфигурацию, определите, в
какое слово перерабатывает машина слово, исходя из начального стандартного
положения 11111 .
3. Остановится ли когда-нибудь машина Тьюринга, заданная следующей программой:
31
Q
q1
q2
q3
q1 П
q3à0 Л
q0 à0
q2 1 П
q1à0 П
q2 1 Л
А
a0
1
если она начнет перерабатывать слово, начав в состоянии q1 обозревать ячейку, в которой
записана самая левая буква перерабатываемого слова 1111à0 1 ?
Вариант 2.
 
1. .Имеется машина Тьюринга с внешним алфавитом A  a0, 1 , алфавитом внутренних


состояний Q  q0,q1 и функциональной схемой (программой).
q0
А
Q
a0
q1
q0 1 П
q 2 a0 Л
1
q11 П
В столбце q 0 ничего не написано, потому что q0  заключительное состояние машины, т.е.
такое состояние, оказавшись в котором машина останавливается. Функциональную схему или
программу кратко можно записать в виде последовательности из двух команд:
q1a0  q0 1, q11  q11 П. Определите в какое слово перерабатывает машина слово, если она
находится в начальном состоянии q1 и обозревает указанную ячейку 1a0 a0 111 (обозревается
ячейка 3).
 
2. Дана машина Тьюринга с внешним алфавитом A  a0, 1 , алфавитом внутренних


состояний Q  q0,q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7 и со следующей функциональной схемой (программой):
32
Изображая на каждом этапе работы машины получающуюся конфигурацию, определите, в
какое слово перерабатывает машина слово, исходя из начального стандартного положения
1111111 .
3. Остановится ли когда-нибудь машина Тьюринга, заданная следующей программой:
Q
q1
q2
q3
q1 П
q3à0 Л
q0 à0
q2 1 П
q1à0 П
q2 1 Л
А
a0
1
если она начнет перерабатывать слово, начав в состоянии q1 обозревать ячейку, в которой
записана самая левая буква перерабатываемого слова 11111 ?
33
Аналитическое задание 2
(промежуточная аттестация)
Вариант 1.
1. Множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4, множество В – из
натуральных чисел, делящихся на 10, множество С – из натуральных чисел, делящихся на 75.
Из каких чисел состоит множество A  B  C ?
2. Составьте таблицу истинности для формулы и выясните, является ли формула
выполнимой, опровержимой, тавтологией или противоречием (( P  Q)  Q)  ( P  Q) ?
3. Следующую формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала
только логические связки ,  и  (( X  Y )  Y )  ( X  Y ) .
4. Отыскав для булевой функции представляющий ее полином Жегалкина, установите,
равна ли функция 0 или 1 (( x  y )  x )  x ?
5. Применяя равносильные преобразования, приведите формулу к предваренной
нормальной форме, т.е. к форме у которой все кванторы стояли бы вначале формулы
а) (x)( P ( x)  Q( x))  ((x)( P( x))  (y )(Q( y ))) .
Вариант 2.
1. A  множество чисел кратных числу 3 и меньших 20; B  множество делителей числа
27 C  множество целых решений неравенства x  9 . Из каких чисел состоит множество
A  B  C?
2. Составьте таблицу истинности для формулы и выясните, является ли формула
выполнимой,
опровержимой,
тавтологией
или
противоречием
( P  Q)  (( R  Q)  (Q  Q) ?
3. Следующую формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала
только логические связки ,  и  ( X  Y )  (( X  Y )  X ) .
4. Отыскав для булевой функции представляющий ее полином Жегалкина, установите,
равна ли функция 0 или 1 (( x  y )  ( y  x ))  (( y  x )  ( x  y )) ?
5. Применяя равносильные преобразования, приведите формулу к предваренной
нормальной форме, т.е. к форме у которой все кванторы стояли бы вначале формулы
а) (x )( P ( x, y ))  ((x )( P ( x, x ))  (z )((Q ( y , z ) ( x )( P ( x, z )))) .
34