Различные способы решения квадратных уравнений (Урок

Урок в 8 классе по теме
«Различные способы решения квадратных уравнений
(Урок одной задачи)»
Цели:
Образовательные:
 систематизировать различные способы решения квадратных уравнений,
дать представление учащимся о важных вехах истории развития математики;
 обучать поискам нескольких способов решения одной задачи и умению
выбирать из них наиболее оригинальный, оптимальный;
Развивающие:
 формирование умения анализировать, делать выводы;
 развитие умения работать в группе;
 развитие творческих способностей учащихся.
Воспитательные:
 приобретение навыков самостоятельной работы
литературой, историческим материалом.
с дополнительной
Человеку, изучающему алгебру, часто
полезнее решить одну и ту же задачу тремя
различными способами, чем решать тричетыре различные задачи. Решая одну задачу
различными способами, можно путем сравнения
выяснить, какой из них короче и эффективнее.
Так вырабатывается опыт.
У. У. Сойер
Ход урока.
Учитель:
Сегодня на уроке мы рассмотрим различные способы решения квадратных
уравнений в разные исторические эпохи на примере одной задачи. Ранее мы решали
квадратные уравнения графическим методом и рассматривали несколько способов их
решения.
Ученик 1:
Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние
времена. Они излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи (XX в. до н. э.), в
трудах древнегреческого математика Евклида (III в. до н. э.), в древних китайских и
японских трактатах.. Многие математики древности решали квадратные уравнения
геометрическим способом: квадрат и 10 его корней равны 39.
Для решения уравнения х2 + 10x = 39 поступали
следующим образом. Пусть АВ = х, ВС = 5, (10: 2).
I
II
На стороне АС = АВ+ ВС строился квадрат, который
разбивался на четыре части, как показано на рисунке.
III
IV
Очевидно, что сумма площадей I, II, и III частей равна
.г2 + 10x или 39. Если к этой площади прибавить
площадь IV части, то 39 + 25 = 64 — площадь всего
квадрата. Но эта же площадь равна (х+5)2.
Следовательно, (х + 5)2 = 64. х + 5 = 8, х = 3.
Таким образом, число 3 является корнем квадратного уравнения, ведь
отрицательных чисел тогда не знали.
Ученик 2:
А вот как решал эту же задачу Аль - Хорезми в
825 году. Строим квадрат со стороной х и на его
сторонах — четыре прямоугольника высотой
10
.
4
В углах фигуры построим четыре квадрата со
стороной
10
.
4
Подсчитаем
площадь
получившегося большого квадрата:
х2  4 
10
10
10
х  ( ) 2  х 2  10 х  ( ) 2  4 .
4
4
4
По условию х2 + 10x = 39, т. е. площадь большего
10
4
квадрата равна 39  ( ) 2  4  39  25  64. Значит,
10
4
его сторона равна 8, тогда х  2  ( )  8, х  3 .
(Аль - Хорезми не признавал отрицательных чисел).
Ученик 3:
В III в. н. э. квадратное уравнение х2 – 20х + 96 = 0 решал великий древнегреческий математик Диофант.
Пусть сумма двух чисел 20, а произведение 96. Положим, что разность
этих чисел 2z.. Так как их сумма 20, то если разделить ее пополам, каждая из
полученных делением частей будет равна половине суммы, то есть если
половину разности – z прибавить к одной из полученных от деления половине
и вычесть из другой, то опять получается сумма 20 и разность 2z.
Пусть большее из искомых чисел равно z + 10, тогда меньшее — 10 – z.
Их сумма 20, разность 2z. Произведение искомых чисел равно 96. Таким
образом, (10 + z)(10 - z) = 96, 100-z2 = 96, z2 = 4, z = 2. Следовательно, большее
число равно 12, меньшее 8.
Я попытался решить квадратное уравнение х2 + 10х = 39 методом
Диофанта.
1) Пусть х2 + 10х - 39 = 0;
2) Положим разность искомых чисел 2z;
3) -5 — половина коэффициента при х с противоположным знаком;
3) положим х1 = z - 5, х2 = z + 5. Тогда(z - 5)(z + 5) = 39, z2- 25 = 39,
z2 = 64, z = 8.
Отсюда, х1 = 8 – 5 = 3, х.2 = 8 + 5 = 13. Полученные корни 13 и 3
«устроили» бы Диофанта, т,к. оба натуральные. Но, используя теорему Виета,
я увидел, что х1 • х2 = -39, это означает, что корни должны быть разного знака.
Следовательно, не каждое уравнение можно решить этим методом.
Ученик 4:
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных
уравнений умели решать вавилоняне и египтяне (2 тыс. лет до н. э.). Некоторые
виды квадратных уравнений решали и древнегреческие математики, используя
геометрический подход. Примеры решения уравнений без обращения к
геометрии дает Диофант Александрийский (III в. н. э.). В своем трактате
хорезмский математик Мухаммед Ал-Хорезми в 825 г. разъясняет приемы
решения квадратных уравнений. После трудов немецкого математика М.
Штифеля (1487-1567 гг.), нидерландца А. Жирара (1595-1632 гг.), Р. Декарта и
И. Ньютона, способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
А в 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней
квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою
знаменитую теорему.
Ученик 5:
Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции, в Фонтене-ле- Конт. По
образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571г. по
1584г. был советником короля Георга III и Георга IV. Но все свободное время, весь
свой досуг он отдавал занятиям математикой. Особенно усиленно он начал работать в
области математики с 1584 г., после отстранения от должности при королевском
дворе. Виет детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков
и создал по существу новую алгебру. Он ввел в нее буквенную симв [ олику. После
открытия Виета, стало возможным записывать правила в виде формул.
Учитель:
Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных
уравнений. Решим квадратное уравнение х2 + 10х - 39 = 0 современными
способами.
Ученик 6:
х2 + 10x – 39 = 0,
а = 1, в = 10, с = -39.
D = в2 – 4 а с = 100 + 156 = 256, D > 0.
x1,2 
b D
2a
x1  3,
x 2  13
Ответ: 3; -13.
Ученик 7:
Следует отметить, что второй коэффициент в данном уравнении четный,
что позволяет использовать иную формулу для решения данного уравнения.
х2 + 10x – 39 = 0,
а = 1, k = 5, с = -39.
D1 = k2 – а с = 25 + 39 = 64, D1 > 0.
õ1, 2 
х1 
 k  D1
;
a
58
 3;
1
х2 
58
 13 . Ответ: 3; -13.
1
Ученик 8:
Данное уравнение можно решить, используя теорему, обратную теореме
Виета.
х2 + 10x – 39 = 0,
х1  х2  39,
х1  х2  10.
х1 = 3; х2 = -13. Ответ: 3; -13.
Учитель:
Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений?
Ученик 9:
Квадратные уравнения можно решить, используя свойства «суммы
коэффициентов». Если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 =
с
; или если а – в – с = 0, то
а
с
а
х1 = -1, х2 = - . Но данное квадратное уравнение нельзя решить, используя эти
соотношения. Например, изменим в рассмотренном уравнении свободный член:
х2 + 10x – 11 = 0,
а = 1; в = 10; с = -11; 1 +10 -11 = 0;
х1 = 1; х2 = -11.
Учитель:
Приведите примеры уравнений, решаемых с применением второго
утверждения.
Например: -10х2 - 29х + 39 = 0; х2 + 2005х – 2006 = 0.
Учитель:
В учебнике мы встречаем задания, где четко обозначено, как решить
квадратное уравнение. В предложенных вам задачах вы не только решите
уравнение, но и узнаете интересные факты.
1. Известно, что учет населения проводился в Египте и в Китае еще до нашей
эры. Решив квадратное уравнение 4а2 – 24а + 39 = 0, вы узнаете, в каком это
было тысячелетии до н. э.
2. На основе статистических данных можно выделить регионы с
максимальным сбросом загрязненных вод: это Краснодарский край и Москва.
Сколько процентов общего количества загрязненных вод дают эти регионы, вы
узнаете, решив уравнение х2 – 19х + 88 = 0.
3. Кислотные осадки разрушают сооружения из мрамора и других
материалов. Исторические памятники Греции и Рима простояв тысячелетия, за
последние годы разрушаются прямо на глазах. «Мировой рекорд» принадлежит
одному шотландскому городку, где 10 апреля 1974 года выпал дождь, скорее
напоминающий столовый уксус, чем воду. Устно решите уравнения, найдите
верный ответ и соответствующую ему букву, и прочитайте название этого
«знаменитого» городка. (ПИТЛОХРИ)
х2 = 0,49
х2 + 16 = 0
2х2 - 4 = 0
x -6 = 0
2 x -8 = 0
x 3 = 5
4х2 – 4 = 0
(х + 5)2 = 9
КОРНЕЙ НЕТ
28
16
1
-2; -8

2
36
 0,7
И
Х
О
И
Р
Т
Л
П
Учитель:
На уроке мы рассмотрели различные способы решения квадратных
уравнений. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится
алгебра. Известен способ решения квадратного уравнения даже с помощью
циркуля и линейки.