Лекция Изгиб анизотропных пластин

Теория пластин
Напряжения
в анизотропной пластине
Понятие изгибной жесткости пластины и
определение моментов
Уравнение прогиба тонкой анизотропной
пластины
Напряжения в анизотропной пластине
Полагая материал пластины упругим и анизотропным, для вычисления
напряжений можно воспользоваться законом Гука. Пренебрегая компонентами
тензоров деформаций и напряжений, содержащих компоненту z, получим
 x  C11 x  C12 y  C16 xy ,
 y  C12 x  C 22 y  C 26 xy ,
(1)
 xy  C16 x  C 26 y  C 66 xy .
Если материал пластины ортотропный и оси ортотропии связаны с осями х и у,
тогда
(2)
C16  C 26  0
и соотношения (1) примут вид:
 x  C11 x  C12 y ,
 y  C12 x  C 22 y ,
 xy  C 66 xy ,
(3)
Напряжения в анизотропной пластине
Подставляя в (3) геометрические соотношения, получим

2w
2w 
 x   z  C11 2  C12 2 ,
x
y 


2w
2w 
 y   z C 22 2  C12 2 ,
x
y 

 xy
(4)
2w
 2C 66 z
.
xy
Компоненты напряженного состояния σх, σy, !!!! обуславливаются
функцией прогиба w(x,y) и изменяются по толщине пластины, т.е. зависят от
аргумента z, и будут приводить к изгибу и кручению пластины.
Понятие изгибной жесткости пластины и
определение моментов
Можно определить значения изгибающих и крутящего моментов

2w
 2 w  h3
M x    x zz   C11 2  C12 2  ,
x
y  12

h / 2
h/2

2w
 2 w  h3
M y    y zz   C12 2  C 22 2  ,
x
y  12

h / 2
h/2
(5)
 2 w h3
   xy zz  C66
xy 6
h / 2
h/2
M xy
могут быть введены изгибные или цилиндрические жесткости
h3
 11  C11
12
h3
 22  C 22
12
h3
 12  C12
12
h3
 66  C 66
12
(6)
Уравнение прогиба тонкой анизотропной пластины
Для получения дифференциального уравнения прогиба рассмотрим равновесие
элемента пластины (рис.1).
Рис.1 Усилия и моменты, действующие на элемент срединной поверхности
пластины
Уравнение прогиба тонкой анизотропной пластины
На элемент действует внешняя распределенная нагрузка q. Действие внешней
нагрузки уравновешивается действием изгибающих и крутящего моментов и
перерезывающего усилия на контуре. Спроецируем силы на ось z:
Q y 

Qx 

 Qx dy   Qx 
dx dy  Q y dx   Q y 
dy dx  qdxdy  0

x

y




После упрощения:
(7)
Qx Q y

q 0
x
y
(8)
Составим уравнение для моментов относительно оси Y. Приведем подобные
слагаемые и отбросим члены третьего порядка малости:
M x M xy

Q  0
x
y
Аналогично для моментов относительно оси X имеем:
M y
y

M xy
x
 Qy  0
(9)
(10)
Уравнение прогиба тонкой анизотропной пластины
Подставляя соотношения (9), (10) в (8), получим дифференциальное уравнение
прогиба тонкой анизотропной пластины:
 2 M xy  2 M y
2M x
2

q 0
2
2
xy
x
y
(11)