Лекция 5 Тема: ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

Сегодня: воскресенье, 8 мая 2016 г.
Лекция 5
Тема: ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
Содержание лекции:
5.1. Принцип Гюйгенса;
5.2. Когерентность и монохроматичность световых
волн;
5.3. Интерференция световых волн
5.4. Опыт Юнга:интерференция от двух щелей
5.5. Методы наблюдения интерференции
5.6. Расчет интерференционной картины от двух
источников;
10.1. Принцип
Гюйгенса
Согласно волновой теории, развитой на основе аналогии оптических и
акустических явлений, свет представляет собой упругую волну,
распространяющуюся в особой среде - эфире. Эфир заполняет все
мировое пространство, пронизывает все тела и обладает механическими
свойствами - упругостью и плотностью. Согласно Гюйгенсу, большая
скорость распространения света обусловлена особыми свойствами эфира.
Волновая теория основывается на принципе Гюйгенса: каждая точка, до
которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая
этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент
времени. Напомним, что волновым фронтом называется геометрическое
место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Принцип
Гюйгенса позволяет анализировать распространение света и вывести
законы отражения и преломления. Выведем законы отражения и
преломления света, исходя из принципа Гюйгенса. Пусть на границу
раздела двух сред падает плоская волна (фронт волны — плоскость АВ),
распространяющаяся вдоль направления I
(рис. 10.1). Когда фронт волны достигнет отражающей
поверхности в точке А, эта точка начнет излучать
вторичную волну.
Для прохождения волной
расстояния ВС требуется
время Δt = BC/υ. За это же
время фронт вторичной
волны достигнет точек
полусферы, радиус AD
которой равен υΔt = ВС.
Положение фронта
Рис.10.1
отраженной волны в этот момент времени в соответствии
с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а
направление распространения этой волны — лучом II. Из
равенства треугольников ABC и ADC вытекает закон
отражения: угол отражения i’1
равен углу падения i1.
Для
вывода
закона
преломления
предположим,
что плоская волна (фронт
волны
—
плоскость
АВ),
распространяющаяся
в
вакууме вдоль направления I
со скоростью света с, падает
на
границу
раздела
со
средой, в которой скорость ее
распространения
равна

Рис.10.2
(рис.10.2).
Пусть
время,
Тогда ВС = сt. За это
же время фронт
затрачиваемое
волнойволны,
для
возбуждаемой точкой Апрохождения
в среде сопути
скоростью
,
ВС, равно
достигнет точек полусферы,
t. радиус которой AD = t.
Положение фронта преломленной волны в этот момент
времени в соответствии с принципом Гюйгенса
задается
плоскостью
DC,
а
направление
ее
распространения - лучом III. Из рис. 10.2 следует, что
Откуда
sin i1 с
 n
sin i2 
(10.1.1)
sin i1 
(10.1.2)
 n
sin i2 c
Сравнивая выражения (10.1.2) и (10.1.1), видим, что волновая
Ньютон получил другое соотношение
теория приводит к выводу, отличному от вывода теории Ньютона.
По теории Гюйгенса, υ < с, т. е. скорость распространения света
в среде должна быть всегда меньше скорости его распространения в
вакууме.
Таким образом, к началу XVIII в. существовало два
противоположных подхода к объяснению природы света корпускулярная теория Ньютона и волновая теория Гюйгенса. Обе
эти теории объясняли прямолинейное распространение света,
законы отражения и преломления. XVIII век стал веком борьбы этих
теорий. Экспериментальное доказательство справедливости
волновой теории было получено в 1851 г., когда Ж. Фуко измерил
скорость распространения света в воде и получил значение,
соответствующее формуле (10.1.1).
10.2.
Когерентность и монохроматичность
световых волн
Интерференцию света можно объяснить, рассматривая
интерференцию
волн.
Необходимым
условием
интерференции волн является их когерентность, т. е.
согласованное протекание во времени и пространстве
нескольких колебательных или волновых процессов.
Этому условию удовлетворяют монохроматические
волны - не ограниченные в пространстве волны одной
строго определенной частоты и постоянной амплитуды.
Поскольку ни один реальный источник не дает строго
монохроматического света, волны, излучаемые любыми
независимыми
источниками
света,
всегда
некогерентны. Поэтому на опыте не наблюдается
интерференция света от независимых источников,
например от двух электрических лампочек. Понять
физическую
причину
немонохроматичности,
а
света атомами. В двух самостоятельных источниках
света атомы излучают независимо друг от друга. В
каждом из таких атомов процесс излучения конечен и
длится очень короткое время (  10-8 с). Через какое-то
время атом вновь может возбудиться и начать
испускать световые волны, но уже с новой начальной
фазой. Так как разность фаз между излучением двух
таких независимых атомов изменяется при каждом
новом
акте
испускания,
то
волны,
спонтанно
излучаемые
атомами
любого
источника
света,
некогерентны. Таким образом, волны, испускаемые
атомами, лишь в течение интервала времени  10-8 с
имеют приблизительно постоянные амплитуду и фазу
колебаний, тогда как за больший промежуток времени
и амплитуда, и фаза изменяются. Прерывистое
излучение света атомами в виде отдельных коротких
импульсов называется волновым цугом. Любой
реальный
немонохроматический
свет
можно
ког, определяемая как время, за которое случайное
изменение фазы волны достигает примерно ,
называется временем когерентности и служит для
характеристики когерентных свойств волн. Отсюда
прибор
обнаружит
интерференционную картину лишь тогда, когда
время разрешения прибора значительно меньше
времени когерентности накладываемых световых
волн. Если волна распространяется в однородной
следует,
что
среде, то фаза колебаний в определенной точке
пространства сохраняется только в течение времени
когерентности ког. За это время волна распространяется на
расстояние
lког
=
ског,
называемое
длиной
когерентности (или длиной цуга). Отсюда следует, что
наблюдение интерференции света возможно лишь при
Чем ближе волна к монохроматической, тем меньше
ширина  спектра ее частот и, как можно показать,
больше ее время когерентности ког и длина
когерентности lког. Когерентность колебаний, которые
совершаются в одной и той же точке пространства,
определяемая степенью монохроматичности волн,
называется временной когерентностью.
Наряду с временной когерентностью, определяемой
временем когерентности, для описания когерентных
свойств
волн
в
плоскости,
перпендикулярной
направлению их распространения, вводится понятие
пространственной когерентности. Два источника,
размеры и взаимное расположение которых позволяют
(при необходимой степени монохроматичности света)
наблюдать
интерференцию,
называются
пространственно-когерентными.
Радиусом
когерентности
(или
длиной
возможно проявление интерференции (т. е. расстояние
между точками, между которыми случайное изменение
разности фаз достигает значения порядка ). Таким
образом,
пространственная
когерентность
определяется радиусом когерентности.
Радиус когерентности rког ~ /, где  — длина
световых волн,  — угловой размер источника. Так,
минимально возможный радиус когерентности для
солнечных лучей (при угловом размере Солнца на
Земле   10-2 рад и   0,5 мкм) составляет 0,05 мм. При
таком малом радиусе когерентности невозможно
непосредственно
наблюдать
интерференцию
солнечных
лучей,
поскольку
разрешающая
способность человеческого глаза на расстоянии
наилучшего зрения составляет лишь 0,1 мм. Отметим,
что первое наблюдение интерференции провел в 1801
г. Т. Юнг именно с солнечным светом, для чего он
пропускал солнечные лучи в темную комнату через
10.3. Интерференция
световых волн
Волновые свойства света наиболее отчетливо обнаруживают себя
в интерференции и дифракции. Для описания световой волны
воспользуемся уравнением гармонических колебаний
x  A cos(t   ), где под х понимают напряженность
электрического Е или магнитного полей Н волны, векторы Е и Н
колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Пусть две
когерентные монохроматические волны x1  A1 cos(t  1 ) и
x2  A2 cos( ωt  φ 2 )
одинаковой частоты, накладываясь
друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства
колебания
одинакового
направления.
Напряженности
электрического и магнитного полей подчиняются принципу
суперпозиции, поэтому амплитуда результирующего колебания
A 
2
2
A1

2
A2
 2 A1 A2сos( φ 2  φ1 )
Если разность фаз колебаний возбужденных волнами в некоторой
точке пространства остается постоянной во времени, то такие
волны называются когерентными. Так как волны когерентны, то
имеет постоянное во времени (но свое в каждой точке пространства)
значение, поэтому интенсивность результирующей волны (I ~A2)
(10.3.1)
I  слагаемое
I1  I 2  2в этом
I1 I 2 cos(
 2  1 )
Последнее
выражении
называется интерференционным членом. 2 I1 I 2 cos( 2  1 )
В точках пространства, где
(в максимуме
I  4I
),
cos( φ 2  φ1 )  0
I  I1  I 2
1
где
, интенсивность
.
I  I1  Iкогерентных
Следовательно,
двух (или нескольких)
cos( φ 2 при
φ1 )наложении
0
2
световых волн происходит пространственное распределение
светового потока, в результате чего в одних местах возникают
максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление
называется интерференцией света.
В случае некогерентных волн разность фаз непрерывно изменяется,
поэтому среднее во времени значение cos( 2  1 ) равно нулю и
интенсивность результирующей волны всюду одинакова и при I1 =
I2 = 2I1(для когерентных волн при данном условии в максимумах I
= 4I1, в минимумах I = 0).
Как можно создать условия, необходимые для возникновения
интерференции световых волн? Для получения когерентных
световых волн применяют метод разделения волны, излучаемой
одним источником, на две части, которые после прохождения
разных оптических путей накладываются друг на друга и
наблюдается интерференционная картина.
Рис.10.3
Пусть разделение на две
когерентные
волны
происходит в определенной
точке О. До точки P, в которой
наблюдается
интерференционная картина,
одна волна в среде с
показателем преломления п1 прошла путь s1, вторая - в среде с
показателем преломления п2 - путь s2. Если в точке О фаза
колебаний равна t, то в точке P первая волна возбудит колебание
А1cos (t - s1/1), вторая волна — колебание А2cos(t - s2/2), где υ1 =
c/n1, υ2 = с/п2 — соответственно фазовая скорость первой и второй
волны.
Разность фаз δ двух когерентных волн от одного источника
 s 2 s1  2
2
2
s 2 n 2  s1 n1   L2  L1   
      
0
0
  2  1  0
(учли, что ω/с = 2nv/c = 2π/λ0, где λ0 — длина волны в вакууме).
Произведение геометрической длины s пути световой волны в
данной среде на показатель п преломления этой среды называется
оптической длиной пути L, а Δ = L2 - L1 — разность оптических длин
проходимых волнами путей — называется оптической разностью
хода.
Если оптическая разность хода равна целому числу волн в вакууме
Δ = ±тλ0
(m = 0, 1, 2, ...),
(10.3.2)
то δ = ±2тπ и колебания, возбуждаемые в точке P обеими волнами,
находятся в одинаковой фазе. Следовательно, (10.3.2) является
условием интерференционного максимума. Если оптическая
разность хода
Δ =± (2т + 1)λ0
(m = 0, 1, 2, ...),
(10.3.3)
то δ = ±{2т + 1)π и колебания, возбуждаемые в точке P обеими
волнами, находятся в противофазе. Следовательно, (10.3.3) является
условием интерференционного минимума.
10.4 Опыт Юнга: интерференция от двух щелей
В 1801 г. англичанин Томас Юнг (1773-1829) получил убедительное
подтверждение волновой природы света и даже сумел измерить
длину световой волны. Схема знаменитого
опыта
Юнга
интерференции от двух щелей изображена на рис. 10.4. Свет от
источника (Юнг использовал Солнце) проходит через щель S и
затем падает на второй экран, в котором на близком расстоянии друг
от друга прорезаны две щели – S1 и S2. Если свет состоит из частиц,
то на экране, расположенном позади щелей, можно ожидать две
яркие линии, как на рис. 10.4, б. Но Юнг наблюдал целую серию
ярких линий, как показано на рис. 10.4, в, и объяснил эту картину
как результат интерференции волн. Чтобы понять ход рассуждений
Юнга, представим себе плоские волны света с определенной
частотой (такой свет называется монохроматическим), падающие на
две щели, как показано на рис. 10.5. Вследствие дифракции волны
после прохождения двух узких щелей распространяются, как это
изображено на рисунке. Точно такую же интерференционную
Рис.10.4
Рис.10.5
Рис.10.6
картину можно наблюдать, бросив в озеро два камня или изучая
акустическое поле двух громкоговорителей.
Чтобы понять, каким образом возникает интерференционная
картина на экране, воспользуемся рис. 10.4.6. На нем изображены
волны длиной λ, проходящие через щели S1 и S2 на расстоянии d
одна от другой. За щелями волны распространяются по всем
направлениям, но на рисунке изображены только волны под тремя
различными углами θ. На рис. 10.4.6,а показаны волны,
попадающие в центр экрана (θ = 0). От каждой из двух щелей волны
проходят одинаковое расстояние и достигают экрана в одной фазе.
И в этом случае происходит усиливающая интерференция и в
центре экрана появляется светлое пятно. Усиливающая
интерференция возникает всякий раз, когда разность хода двух
лучей равна одной длине волны (или любому целому числу длин
волн), как показано на рис. 10.4.6,б. Но если один из лучей проходит
дополнительно еще половину длины волны (т. е. разность хода
равна 1/2)λ, (3/2)λ, (5/2)λ и т.д.), то обе волны попадут на
(
экран в противофазе (рис.10.4.6,в).
В этом случае происходит ослабляющая
(гасящая)
интерференция
и
экран
оказывается темным. Так образуется серия
светлых и темных полос (или линий).
Определим теперь точное положение
светлых линий. Прежде всего заметим,
что на рис. 10.4.6 масштаб несколько
нарушен. В действительности расстояние
d между щелями очень мало по сравнению
с расстоянием l до экрана. Поэтому лучи
от каждой щели,
по существу,
параллельны, и θ - угол, образуемый ими с
горизонталью.
Из
затемненного
треугольника на рис. 10.4.6,б видно, что
дополнительное расстояние, проходимое
нижним лучом, равно dsinθ.
Усиливающая интерференция наблюдается на экране, если величина
dsinθ равна целому числу длин волн:
d sin   m
 усиливающа я интерферен ция 
(10.4.1,а)
Значение т называется порядком интерференционной полосы.
Ослабляющая (гасящая) интерференция наблюдается в том случае,
когда разность хода dsinθ равна (1/2)λ, (3/2)λ, (5/2)λ и т.д. длин волн:
1
d sin   (m  )
2
ослабляющая интерференция
(10.4.1,б)
На рис. 10.4.7 показана интерференционная картина от двух щелей
(интерференционные
полосы
зафиксированы
на
пленке,
помещенной на экране). Из соотношения (10.4.2) видно, что
положение всех полос, за исключением полосы нулевого порядка,
зависит от длины волны.
Рис.10.7
Рис.10.8
Следовательно, когда на две щели падает белый свет, то
центральная полоса на экране будет белой, но полосы первого (и
более высокого) порядка напоминают крошечные радуги. Угол θ
будет наименьшим для фиолетового света и наибольшим для
красного света. Измеряя положение интерференционных полос,
Юнг сумел впервые определить длину волны видимого света [с
помощью соотношения (10.4.2)]. Это позволило ему показать, что
физически цвета различаются длиной волны.
10.5. Методы наблюдения интерференции
Опыт Юнга
Рис. 10.8
Зеркала Френеля
Рис. 10.9
Бипризма Френеля
Рис. 10.10
Билинза Бийе
Рис. 10.11
10.6. Расчет интерференционной
картины от двух источников
Рис. 10.12
Расчет интерференционной картины для рассмотренных выше
методов наблюдения интерференции света можно провести,
используя две узкие параллельные щели, расположенные
достаточно близко друг к другу (рис. 10.12). Щели S1 и S2 находятся
на расстоянии d друг от друга и являются когерентными
(реальными или мнимыми изображениями источника S в какой-то
оптической
системе)
источниками
света.
Интерференция
наблюдается в произвольной точке А экрана, параллельного обеим
щелям и расположенного от них на расстоянии l, причем l » d.
Начало отсчета выбрано в точке О, симметричной относительно
щелей.
Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии х от
О, определяется оптической разностью хода А = s2 – s1. Из рис.
10.12 имеем
откуда
Или
Из условия l » d следует, что sl + s2  2l, поэтому
(10.6.1)
Подставив найденное значение Δ (10.6.1) в условия (10.3.2) и
(10.3.3), получим, что максимумы интенсивности будут
наблюдаться при
(10.6.2)
а минимумы — при
(10.6.3)
Расстояние между двумя соседними максимумами (или
минимумами), называемое шириной интерференционной полосы,
равно
(10.6.4)
Δх не зависит от порядка интерференции (величины т) и является
постоянной для данных l, d и λ0. Согласно формуле (10.6.4), Δх
обратно пропорционально d; следовательно, при большом
расстоянии между источниками, например при d l,отдельные
полосы становятся неразличимыми. Для видимого света λ0 = 10-7 м,
поэтому четкая, доступная для визуального наблюдения
интерференционная картина имеет место при l » d (это условие и
принималось при расчете). По измеренным значениям l, d и Δх,
используя (10.6.4), можно экспериментально определить длину
световой волны. Из выражений (10.6.2) и (10.6.3) следует,
таким образом, что интерференционная картина, создаваемая на
экране двумя когерентными источниками света, представляет собой
чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу.
Главный максимум, соответствующий т = 0, проходит через точку
О. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга
располагаются максимумы (минимумы) первого (т = 1), второго (т
= 2) порядков и т. д. Описанная картина, однако, справедлива лишь
при освещении монохроматическим светом (λ0 = const). Если
использовать белый свет, представляющий собой непрерывный
набор длин волн от 0,39 мкм (фиолетовая граница спектра) до 0,75
мкм (красная граница спектра), то интерференционные максимумы
для каждой длины волны будут, согласно формуле (174.4), смещены
друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для т
= 0 максимумы всех длин волн совпадают и в середине экрана будет
наблюдаться белая полоса, по обе стороны которой симметрично
расположатся спектрально окрашенные полосы
максимумов первого, второго порядков и т. д. (ближе к белой полосе
будут находиться зоны фиолетового цвета, дальше — зоны красного
цвета).