ПРИЕМЫ РАЦИОНАЛЬНОГО СЧЕТА

ПРИЕМЫ
РАЦИОНАЛЬНОГО СЧЕТА
«Счет и вычисления –
основа порядка в
голове»
И. Песталоцци
Расчеты на калькуляторе,
действия «в столбик»
и устные расчеты
Несколько примеров
1. Цена товара была сначала повышена
на 20%, затем на распродаже понижена
на 25% и потом вновь повышена на 5%.
Изменилась ли при этом цена товара по
сравнению с первоначальной? Если
изменилась, то укажите, как и на
сколько процентов. Если осталась
прежней, то объясните, почему.
Увеличение на 20% - коэффициент 1,2;
уменьшение на 25% - коэффициент 0,75;
увеличение на 5% - коэффициент 1,05.
Расчеты: х 1,2  0,75  1,05 = 0,945 х
3
1,2  0,75  1,05 = 1,2   1,05 = 0,9  1,05
4
0,945 х – это 94,5%,
т.е. цена уменьшилась на 5,5%
2. Разделить 4212 на 13.
4212 = 3900 + 312 =
= 3900 + 260 + 52
4212 : 13 = 300 + 20 + 4 = 324
Какой совет можно дать
школьникам, чтобы они
могли легко выполнять
деление двух чисел?
Умножение (деление)
на степени двойки
Примеры:
108 : 4 1) 108 : 2 = 54, 54 : 2 = 27;
2) (100 + 8) : 4 = 25 + 2 = 27
34  8
34  2 = 68
68  2 = 136
136  2 = 272;
2) (30+4)  8 = 240 + 32 = 272.
1)
Умножение на 9 (99, 999 и т.д.)
а  9 = а  (10 – 1) = 10а – а
а  99 = а  (100 – 1) = 100а – а
и т.д.
Примеры:
1) 56  9 = 560 – 56 = 504;
2) 73  9 = 730 – 73 = 700 – 43 = 657.
Умножение на 9
в пределах первого десятка
с помощью пальцев рук
Умножение (деление) на 5
а  5 = 10а : 2 = (а : 2)  10
а : 5 = 2а : 10 = (а : 10)  2
ПРИМЕРЫ.
1) 73  5 = (73  10) : 2 = 730 : 2 = 350 + 15 = 365;
2) 54 : 5 = (54 : 10)  2 = 5,4  2 = 10,8 или
54 : 5 = (50 + 4) : 5 = 10 + 0,8 = 10,8
Умножение на 15
а  15 = а  (10 + 5) =
10а
= 10а + 5а = 10а 
2
Пример:
1) 12  15 = 120 + 60 = 180
Умножение (деление) на 25
а  25 = 100а : 4 = (а : 4)  100
а : 25 = 4а : 100 = (а : 100)  4
ПРИМЕРЫ.
1) 32  25 = (32 : 4)  100 = 800 или
32  25 = 8  4  25 = 8  100 = 800;
2) 54  25 = (54  100) : 4 = 5400 : 4 =
(5400 : 2) : 2 = 2700 : 2 = 1350.
Счет и деньги
Как называлась в народе
купюра в 25 рублей
в далекие советские времена?
Примечание. Самая крупная денежная
купюра была номиналом в 100 рублей,
далее 50 рублей, 25, 10, 5, 3 и 1 рубль.
Еще один прием
при делении на 25
875 : 25 = 8  4 + 3 = 35
Умножение двузначного числа на 11
При умножении двузначного числа на 11 в результате
получается число, у которого:
• число единиц равно числу единиц умножаемого
числа;
• число десятков равно сумме цифр умножаемого
числа;
• число сотен равно числу десятков умножаемого
числа.
Примечание. Если число десятков получается больше
9, то писать надо последнюю цифру, а число сотен
увеличить на 1.
Примеры
1)
35  11 = 385
(8=3+5);
2)
24  11 = 264
(6=2+4);
3)
76  11 = 836
(7+6=13, 7+1=8).
Умножение произвольного числа на 11
Чтобы умножить число на 11, надо:
• записать последнюю цифру
множимого,
• затем последовательно, справа
налево записывать суммы соседних
двух цифр множимого
• и, наконец, первую цифру множимого.
Если одна из сумм будет больше 9, то надо
записать ее последнюю цифру, а следующую
увеличить на 1.
Примеры
;
124 11  1(1  2)( 2  4)4  1364
1765 11  1(1  7)( 7  6) ( 6  5)5  19415.
Умножение двузначных чисел
методом Ферроля
•
для получения единиц произведения
перемножают единицы множителей;
• для получения десятков умножают
десятки одного на единицы другого
множителя и наоборот, затем
результаты складывают;
• для получения сотен перемножают
десятки.
Пример: 46  73
1) Разряд единиц результата:
46  73
6  3=18, пишем 8, помним 1;
2) Разряд десятков результата:
46  73 4  3 + 6  7 + 1 = 54 + 1 = 55,
пишем 5, помним 5;
3) Количество полных сотен результата:
46  73 4  7 + 5 = 28 + 5 = 33, пишем 33.
Ответ. 46  73 = 3358
Доказательство
метода Ферроля
ab  cd  (10a  b)(10c  d )  100ac  10(bc  ad )  bd
Возведение в квадрат чисел,
оканчивающихся цифрой 5
15  225
2
25  625
2
35  1225
2
Порядок действий
1) Взять число десятков исходного числа
и умножить на следующее за ним в
натуральном ряду число.
Примечание. “Число десятков” означает не
цифру в разряде десятков, а их полное число.
Например, в числе 145 содержится 14
десятков.
2) к результату приписать 25.
Доказательство
2
A5  (10 A  5) 2  100 A2  100 A  25  100 A( A  1)  25
где А – произвольное число.
Примеры: 652=4225
(6  7 = 42)
2052=42025 (20  21 = 420)
1452=21025 (14  15 = 140 + 70 = 210)
7 
 56 14
5 
 30 14
1 2
2
1 2
2
Возведение в квадрат с использованием
формул сокращенного умножения
21   20  1  400  40  1  441
2
2
31   30  1  900  60  1  961
2
2
29   30  1  900  60  1  841
2
2