Нахождение множества значений функции (из опыта работы). Нахождение множества значений заданной функции вызывает наибольшую трудность у учеников. Поэтому все задания на нахождение множества значений необходимо разделить на группы: 1.Если функция задана в элементарной форме, то для нахождения множества значений нужно воспользоваться свойством этой функции. 1 2 Пример: Найти множество значений функции у= log 3 x 1 2 Решение. Т.к Е(log)=R ,а у= log 3 x получается из графика функции у=log 3 x путем сжатия по оси Оу в 2 раза, то область значений данной функции есть вся числовая прямая. Ответ:(-∞;+∞). 2.Существуют функции, у которых область определения содержит лишь несколько значений аргумента. Тогда решение задачи на нахождение множества значений сводится к нахождению области определения и вычислению значений функции при этих аргументах. Пример: Найти множество значений функций у=3х+ х4 -8. Решение. Д(у): х 4 0, -х 4 0, а это неравенство выполняется только при х=0. Т.к. Д(у)={0}, то Е(у)={-8}. Ответ: {-8}. 3.Существуют функции, которые можно оценить с помощью свойств числовых неравенств. Это следующие функции. 1) у=|Р(х)|. По определению модуль числа всегда неотрицательна. 2) у=cos(кх+в). у=sin(кх+в). Эти функции непрерывные и ограниченные. 1 Пример: Найти множество значений функции у=2cos5х+8. Решение: -1 cos5х 1, -2 2cos5х 2, 6 2cos5х+8 10. Ответ: [6;10]. 3)у=а х . Функция непрерывна и принимает только положительные значения, т.е. ах> 0 Пример: Найти множество значений функции у=-2*3 3 х Решение: 3 3 х > 0, -2*3 3 х <0. Ответ: (-∞;0) 4) Для нахождения множества значений обратных тригонометрических функции нужно воспользоваться их свойством ограниченности и непрерывности: -½π arcsinх ½π, 0 arccosх π, -½π <arctgх<½π, 0 <arcctgх<π. Пример: Найти множество значений функции у=4 arccosх. Решение: т. к. 0 arccosх π, то 0 4*arccosх 4π. Ответ: [0;4π]. 5) Рассмотрим квадратичную функцию у=ах²+вх+с. При а>0 ветви параболы направлены вверх, поэтому наименьшего значения функция достигает при вершине , т.е. Е(у)= [п;+∞), где п- ордината вершины параболы. При а<0 ветви параболы направлены вниз, таким образом Е(у)=(-∞;п], где п- ордината вершины. Пример: Найти множество значений функции у=х²-4х+3. Решение. Найдем координаты вершины . m=- в =2. 2а п=у(2)=2²-4*2+3=-1. 2 а=1, 1>0, ветви параболы направлены вверх, поэтому Е(у)= [-1;+ ∞). Ответ: [-1;+ ∞). В части В примеры на нахождение множества значений функции или наименьшего или наибольшего значений функции решаются применением свойств монотонности функции. Они решаются в два этапа: сначала исследуются «внутренняя» функция на наименьшее и наибольшее значения на области определения данной функции или на указанном промежутке; затем исследуется сама функция с учетом характера монотонности. Пример: Найти наибольшее целое значение функции у=25*3 со 4 x*cos 3 x sin 4 x*sin 3 x 2 Решение. Д(у)=R. Рассмотрим функцию у=25*3ª , это монотонно возрастающая функция. Оценим показатель степени а(х)=cos4x*cos3x+sin4x*sin3x-2, а(х)=cosx-2. -1 cosx 1 -3 cosx-2 -1 3 3 3 25*3 3 сщыч 2 3 25*3 1 сщыч 2 25*3 1 25 1 у8 27 3 Таким образом, наибольшее целое значение равно 8. Ответ: 8. Данная классификация функций поможет ученику при изучении темы «Свойства функции». Учительматематики высшей квалификационной категории МБОУ «Лицей №2 города Мамадыш» Валеева Миляуша Хузеевна 3