Системы линейных уравнений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
РПК «Политехник»
Волгоград
2008
УДК 517.9 (07)
С 40
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. И. Н. Рыльцев;
Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 22 с.
Рассматриваются линейные операции над матрицами, умножение
матриц, обратная матрица, решение матричных уравнений, решение систем линейных уравнений матричным способом.
Предназначены для студентов специальности 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)».
Библиогр.: 1 назв.
Рецензент: Л. П. Ирушкина
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2008
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1
Тема: Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица.
Продолжительность занятия:
специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» -2 часа;
Цель занятия: Научить студентов выполнять линейные операции
над матрицами, умножать матрицы и находить обратную матрицу.
Порядок проведения:
1. Повторить теоретический материал;
2. Разобрать предложенные примеры;
3. Выполнить самостоятельно индивидуальные задания;
4. Ответить на контрольные вопросы.
Студент должен знать:
- способы выполнения основных операций над матрицами;
- свойства сложения и умножения матриц.
Студент должен уметь:
- складывать матрицы, умножать матрицу на число, умножать матрицы,
находить обратную матрицу.
1.
Указание 1
Основные определения.
Прямоугольной матрицей называется совокупность чисел (действительных или комплексных), расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов.
Такая матрица записывается в виде
 a11 a12

a
a
A   21 22
... ...

a
 n1 an 2
... a1m 

... a2 m 
... ... 

... anm 
или, сокращенно A  aij  .
Числа, aij i  1, 2, ..., n; j  1, 2, ..., m  , составляющие данную матри-
цу, называются ее элементами. Первый индекс i указывает строку, второй индекс j – столбец, на пересечении которых находится данный элемент матрицы.
Заключая таблицу в скобки, мы хотим показать, что всю совокупность
данных чисел мы должны рассматривать как одно целое.
3
 и
Две матрицы A  aij
B  bij  называются равными, если они
имеют одинаковое число строк и столбцов и соответствующие элементы
их равны:
aij  bij
a11 a12 ... a1m 
Матрица, состоящая из одной строки
называется
просто строкой, матрица, состоящая из одного столбца
 a11 
 
 a21 
 ... 
 
a 
 n1 
называется просто столбцом. Если число строк матрицы равно числу столбцов m  n , то матрица называется квадратной порядка n. С
квадратной матрицей связан определитель (детерминант), элементы которого равны элементам матрицы.
Так с квадратной матрицей второго порядка
 a11 a12 


 a a  связан определитель
 21 22 
det A 
a11
a12
;
a21 a22
с квадратной матрицей третьего порядка
 a11 a12

 a21 a22
a
 31 a32
a11
a13 

a23  связан определитель det A  a21
a31
a33 
a12
a13
a22
a32
a23
a33
квадратной матрице n-го порядка
 a11 a12

 a21 a22
 ... ...

a
 n1 an 2
det A 
... a1n 

... a2 n  соответствует определитель п-го порядка
... ... 

... ann 
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2 n
... ... ... ...
an1 an 2 ... ann
4
Квадратная матрица – совокупность чисел, расположенных в виде
квадратной таблицы, определитель матрицы det A есть число, составленное из чисел таблицы по известным правилам.
Так, если имеем матрицу A   1  2  , то det A  5 .
3 1


Квадратная матрица вида
 1 0 ... 0 


 0  2 ... 0 
 0 0 ...  
n

называется диагональной.
Если  i  1 i  1, 2, ..., n , то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой E, т.е.
1 0 ... 0 

 , det E  1
E   0 1 ... 0 
0
0 ... 1

Наконец, матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается через 0:
 0 0 ... 0 


0   0 0 ... 0 
 0 0 ... 0 


2. Действия над матрицами
Основные действия алгебры: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня могут быть обобщены на
область матриц.
Два основных действия, из которых могут быть выведены остальные, – сложение и умножение.
2.1. Сложение матриц
Пусть имеем две матрицы одного и того же типа
A
a11
a21
a12 ... a1m
a22 ... a2 m
...
an1
... ... ...
an 2 ... anm
, B
b11 b12 ... b1m
b21 b22 ... b2 m
.
... ... ... ...
bn1 bn 2 ... bnm
Их суммой называется матрица C того же типа, элементы которой
cij равны суммам соответствующих элементов aij и bij матриц A и B, т.е.
cij  aij  bij
5
Таким образом,
a11  b11
a21  b21
a12  b12 ... a1m  b1m
a22  b21 ... a2 m  b2 m
...
an1  bn1
...
...
...
an 2  bn 2 ... anm  bnm
.
Пример 1. Даны матрицы
4 5 и
13  , их сумма C  A  B
8
7 2
 B  

A  
 21  16 3 
 3  5  17 
42
5  13   1
6
18  .
 8   7 
  

C  
 21  3  16   5 3   17   24  21  14 
Пример 2. Даны матрицы
17 20 5 
 3 13 7 

 и

 , их сумма C  A  B
A   3  8 4  B    4 31 11
 6 2 1
5 0 6 




 17  3 20  13 5  7   20 33 12 

 
.
C   3   4  8  31 4  11    1 23 15 
 6   5 2  0
1  6   1 2 7 

Из определения операции сложения матриц непосредственно вытекают следующие свойства:
1. A  B  C    A  B  C .
2. A  B  B  A .
3. A  0  A .
2.2. Разность матриц
Разностью двух матриц A и B одного и того же типа называется
матрица C того же типа, удовлетворяющая равенству A  B  C . Легко
найти элементы матрицы C. В самом деле, по определению суммы двух
матриц aij  bij  cij , отсюда cij  aij  bij и матрица C  A  B имеет вид
 a11  b11 a12  b12

a22  b21
a  b
C   21 21
...
...

a b
 n1 n1 an 2  bn 2
Пример 3. Даны матрицы
6
... a1m  b1m 

... a2 m  b2 m 
.

...
...

... anm  bnm 
 5 10 12 
2 3 8 

 и

 , их разность C  A  B
A   3 5 20  B   7 4 10 
 0  4 11 
 5 3  1




12  8   3
7 4
 5  2 10  3

 
.
C  3  7 5  4
20  10     4 1 10 
 0  5  4  3 11  (1)    5  7 12 

 

2.3. Умножение матрицы на число
Произведением матрицы A  aij на число α (или произведением
 
числа α на матрицу А) называется матрица, элементы которой получаются из элементов матрицы А умножением на число α:
   a11   a12

   a21   a22
  A  A   
...
...

  a
  an 2
n1

...   a1m 

...   a2 m 
.
...
... 

...   anm 
Из определения произведения числа на матрицу непосредственно
вытекают следующие его свойства:
1. 1  A  A .
2. 0  A  0
3.    A   A .
4.    A  A  A .
5.   A     A   .
Пример 4.
Найти произведение
7   3 7  16   56  21 112 
 8  3 16   7  8

 
 
.
7    3 1 10    7   3
7 1
7  10     35 7
70 
 7 11 21  7  7
7  11 7  21  49
77 147 

 
2.4. Умножение матриц
Пусть имеем две матрицы A и B, причем число столбцов матрицы A
равно числу строк матрицы B:
A
b11 b12
b
b22
и B  21
... ...
... ...
bm1 bm 2
... anm
a11
a21
a12 ... a1m
a22 ... a2 m
...
an1
...
an 2
7
... b1 p
... b2 p
.
... ...
... bmp
Произведением матрицы A на матрицу B, называется матрица
c11 c12 ... c1 p
c21 c22 ... c2 p
,
C
... ... ... ...
cn1 cn 2 ... cnp
где cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  aim  bmj , т.е. элемент i -ой строки и
j-
го столбца матрицы C равен сумме произведений элементов i -ой строки
матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B.
Произведение двух прямоугольных матриц есть прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число
столбцов которой равно числу столбцов второй матрицы.
Произведение двух квадратных матриц одного и того же порядка
есть квадратная матрица того же порядка.
Пример 5.
 3 2
 1 2 3 ,


 B   2 1  .
A  
4
5
6


 4 3


 1  3  2  2  3  4 1  2  2  1  3  3   19 13  .
  

A  B  
 4  3  5  2  6  4 4  2  5  1  6  3   46 31
Пример 6.
 1  1 ;
 3 1 ;
 B  

A  
2 3 
  1 0
1 3   1   1 11   1  0   4 1  .


A  B  
2 1  3  0   3 2 
 2  3  3   1
Пример 7.
 3 2 5
 5 8  4

;

;
B

 4 1 0
A   6 10  5 
 9 3 5
 4 7
3 



 5  3  8  4   4  9 5  2  8   1   4  3 5  5  8  0   4  5 


A  B   6  3  10  4   5  9 6  2  10   1   5  3 6  5  10  0   5  5  
  43  7  4  39
 4  2  7   1  3  3
 4  5  7  0  3  5 

 15  32  36 10  8  12 25  20   11  10 5 

 

  18  40  45 12  10  15 30  25    13  13 5  .
  12  28  27  8  7  9  20  15   43  6  5 

 

8
Вернемся к шестому примеру и найдем произведение тех же матриц,
но взятых в обратном порядке:
 3 1   1  1  5 0  .



B A
 1 0  2

 
3    1 1 
Сравнивая, замечаем, что AB  BA .
Перестановочный (коммутативный) закон при умножении матриц, вообще говоря, не имеет места. В отдельных случаях умножение может быть
коммутативно, в таком случае матрицы называются перестановочными.
Пример 8.
6   37  15 
 7  3  1

  
  

5

2

10
19

 
  25  8 
6   7  3   37  15 
 1

  
  

  10 19   5  2   25  8 
Единичная матрица E перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем
AE  EA  A .
Таким образом, единичная матрица E в операции умножения квадратных матриц играет такую же роль, как число единица в операции
умножения чисел.
Легко проверить, что операция умножения матриц обладает следующими свойствами:
1.  A  B C  A  B  C  .
2.    A  B    A B
3.  A  B C  AC  BC .
5. C   A  B  CA  CB .
2.5. Возведение матрицы в степень
Пусть дана матрица A. Если p – натуральное число, то под /}Р понимают
произведение одинаковых сомножителей, каждый из которых равен A, т.е.
Ap  
A 
A

A

P
Полагают A0  E .
Пример 9.
Дана матрица
 4 3  . Найти

A  
 7 10 
A2 .
 4 3  4 3   37 42  .

  

A2  A  A  
 7 10  7 10   98 121
9
Для степеней матрицы с целыми показателями справедливы правила:
1. A p  Aq  A p  q .
 
2. A p
q
 A pq .
3. Обратная матрица
Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица,
которая будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу,
дает единичную матрицу.
1
Матрица, обратная для данной матрицы A обозначается A .
По определению имеем
A  A1  A1  A  E .
Введем понятия неособенной и особенной матриц.
Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель
отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица
называется особенной.
Теорема. Всякая неособенная матрица имеет обратную.
Докажем теорему, ограничившись матрицами третьего порядка.
Пусть имеем неособенную матрицу
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23  .
a33 
Ее определитель
a11
a12
  a21 a22
a31 a32
a13
a23  0 .
a33
Составим для матрицы A так называемую присоединенную матрицу:
 a11 a12
~ 
A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23  ,
a33 
где Aij алгебраические дополнения соответствующих элементов aij матрицы A.
Как видим, алгебраические дополнения элементов строк помещают-
~
ся в столбцах матрицы A . Все элементы матрицы A разделим на величину определителя матрицы A. Получим матрицу:
10
 A11

 
A

A   21
 
 A31

 
A12

A22

A32

A13 

 
A23  ,
 
A33 

 
которая и будет обратной по отношению к данной.
Но сумма произведений элементов некоторого ряда (строки или
столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов
равна определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов
параллельного ряда равна нулю, поэтому элементы произведения по
главной диагонали матрицы равны единице, а остальные равны нулю. Таким образом, имеем:
1 0 0


A  A   0 1 0  E
0 0 1



Аналогично можно убедиться, что
A  A  E , следовательно, A  A1 .
Докажем теперь, что особенная матрица обратной не имеет.
Пусть A – особенная матрица, det A  0 .

1
Предположим, что для матрицы A существует обратная A , тогда
A  A1  E ,
но тогда по теореме об определителе произведения двух матриц имеем
det A  det A1  det E  1
0  det A1  1 ,
т.е. или 0  1 , что невозможно. Предложение доказано.
4. Метод Гаусса
Метод элементарных преобразований (метод Гаусса) вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице A состоит в следующем. Приписывая справа к матрице A размера n  n единичную матрицу размера
n  n , получим прямоугольную матрицу Г   А | Е  размера n  2n . С помощью элементарных преобразований над строками матрицы Г сначала
приведем ее к ступенчатому виду Г1   А1 | В , где матрица A1 - тре-


угольная, а затем к виду Г 2  Е | А1 .
11
Пример 1. Для матрицы
 2 1  3


A   1  2 2  , найти обратную.
1 1
3 

Решение.
Так как определитель матрицы отличен от нуля:   26 , то матрица
A имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы A1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:
1 3
1 3
2 2
 4,
 6, A31 
A11 
 8, A21  
2 2
1 3
1 3
A12  
A13 
1 2
 1,
1 3
1 2
 3,
1 1
2 3
 9,
1 3
2 1
A23  
 1,
1 1
A22 
A32  
A33 
2 3
 7,
1 2
2 1
 5.
1 2
Матрица A1 , обратная к A, имеет вид
  8  6  4

1 
A    1 9  7 .
26 

 3 1  5
1
Пример 2. Найти (методом элементарных преобразований) матрицу,
обратную к данной:
1 1 1 


A   1 2  1 .
2 2 4 


Записывая матрицу Г   А | Е  размера 3 6 , с помощью элементарных
преобразований над строками приведем ее сначала к ступенчатому виду
Г1   А1 | В , а затем к виду Г 2  Е | А1 :
 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0




Г   1 2 1 0 1 0
~ Г1   0 1  2  1 1 0 
~
 2 2 4 0 0 1
0 0 2  2 0 1

 IIIII121

 II  III
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 
 1 0 0 5 1  3 / 2 






~ 0 1 0  3 1 1 ~ 0 1 0  3 1 1 
~ 0 1 0  3 1
1   Г2
0 0 2  2 0 1



1 / 2 

 III :2  0 0 1  1 0 1 / 2  I  II  III  0 0 1  1 0
12
 5 1  3 / 2

.
A   3 1
1 
 1 0
1 / 2 

Сделаем проверку:
 1 1 1   5 1

 
1
A  A   1 2  1    3 1
 2 2 4   1 0

 
 5 1  3 / 2   1

 
1
A A    3 1
1 1
 1 0
1/ 2   2

Итак,
1
 3/ 2 1 0 0
 

1    0 1 0 .
1/ 2   0 0 1 
1 1  1 0 0
 

2  1   0 1 0  .
2 4   0 0 1 
Задание 1
Выполнить указанные действия над матрицами:
1.  3 17    8  4  .
 2 15  11

 
7 
5 17 
3 5 9  6
2.  11 1 23     3 2 11  .

 

14 18 4    14 0 12 

 

3.
 2 4 5

.
7  16 1 5 
 3 17 8 


4. Проверить некоммутативность умножения матриц:
3  2  3 4 ;  3 4 3  2 .

  
 
  

5  4  2 5  2 5 5  4
 3 1
;
5.  2 1 1 
 3 0 1   2 3 

  5 0


 3 1
  2 1 1 не существует.
показать, что произведение 

 2 3   
 5 0   3 0 1


0 1   3 1 0
 2
.
6.   2 3 2    0
2 1

 
 4  1 5  0  1 3

 

13
7.  2
4

2
8. 
1
0

 3  9  6 .


 6   6  4 
0 3  1 3 2 
 
.
3 1   0 0 2
2 1   1 2 1 
 1  3 2  2 5 6
 
.
9. 
 3  4 1  1 2 5
 2  5 3  1 3 2

 

1 5
.

   0 4 
0
1
2

 3 6


4
3

28
93



 7
11. 
 7 5  38  126  2



1

2
3
4




 5
12. 
 7 6     8 11   4

 
 
10.  3 2 1  
3 .

1 
0 .

17 
2
 5 0 2 
13.  1 3  4  .


  6 11 10 


2
14.  4 7  .
1 2


Найти обратные матрицы для следующих матриц:
15.  2 4  .
 5 11


 2 7 3
16.  3 9 4  .


 1 5 3


14
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2
Тема: Решение матричных уравнений. Решение систем линейных
уравнений матричным способом.
Продолжительность занятия:
специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» -2 часа;
Цель занятия: Научить студентов решать матричные уравнения и
системы линейных уравнений матричным способом.
Порядок проведения:
5. Повторить теоретический материал;
6. Разобрать предложенные примеры;
7. Выполнить самостоятельно индивидуальные задания;
8. Ответить на контрольные вопросы.
Студент должен знать:
- основные типы матричных уравнений;
- матричный способ решения систем линейных уравнений.
Студент должен уметь:
- решать матричные уравнения и системы линейных уравнений матричным способом.
Указание 1
Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей X
записываются следующим образом:
A X  B ,
(1)
(2)
X A B,
(3)
A X  C  B .
В этих уравнениях A, B, C, X – матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков
равенства находятся матрицы одинаковых размеров. Если в уравнениях
(1, 2) матрица A невырожденная, то их решения записываются следующим образом:
X  A1  B ,
X  B  A1 .
Если в уравнении (3) матрицы A и C невырожденные, то их решение
записывается так:
X  A1  B  C 1 .
Пример 1. Решить матричное уравнение:
1 2 
 2 3  .

  X  

2

3


 1  4
15
Запишем данное матричное уравнение в виде AX  B . Его решением является матрица X  A1  B (если существует матрица A1 ).
1) Найдем определитель матрицы A:
1 2
det A 
  1   3  2  2  3  4  1  0
2 3
Значит обратная матрица A1 существует, и исходное уравнение
имеет (единственное) решение.
2) Найдем обратную матрицу
  3  2   3 2  , где
1 ~
1
  

A 
 A   1
det A
  2 1   2 1 
A11   1
11
A12   1
  3  3,
A21   1
21
 2  2,
 2  2,
A22   1   1  1,
~   3  2 .
для матрицы A    1 2  определим A

 
 2  3


 2 1
3) Найдем матрицу
 3 2   2 3    4 1 .
  
  

X  A 1  B  
 2 1  1  4   3 2
1 2
2 2
Задание.
Решить матричные уравнения:
1.   1 1  X   2
 0 1
 1




1
1


2
2. X  
 0 1    1

 
Ответ:   3 3 


0

3 
  1 3
Ответ:   2 2 
 1 2


 20  15 13 

Ответ: 
  17 13  10 
 8
5
 4 

0

3 
 1 2  3  1  3 0 

 

X   3 2  4   2
2  1
 2 1 0   1  2 4 

 

0 
 1  2 1 
 1



4. 
2   X   2  2
3 2
 3 1  2 
3 1 




3.
 2 4 
Ответ:   1  1


 1 6 


Указание 2
Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными записана
в матричной форме A  X  B , где A  aij - матрица коэффициентов
 
16
 x1 
 b1 
 
 
 x2  - столбец неизвестных,
 b  - столсистемы размера n  n ,
X  
B  2
...
...
 
 
x 
b 
 n
 n
бец свободных членов.
Если D – определитель матрицы A – не равен нулю, то система совместна и определена, ее решение задается формулой:
X  A1  B
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы
1.
 x1  x2  1,

2 x1  x2  7.
D
1 1
 1  1   1  2  1  2  3  0
2 1
1
существует, поэтому решение сущеdet A  D  3  0  матрица A
ствует и единственно.
Найдем матрицу A1 , обратную к матрице системы A   1  1 ме-
2

1 
тодом присоединенной матрицы. Найдем алгебраические дополнения к
элементам матрицы A:
A11  1, A12  2, A21  1  1, A22  1.
Составим
A   11
ij

матрицу
A 
ij
из
алгебраических
дополнений
 2
 1 1
~
 . Запишем матрицу A  Aij Т  
 .
1 
  2 1
Найдем матрицу
~ 1  1 1  1 / 3 1 / 3  .
1


A1 
 A   
det A
3   2 1   2 / 3 1 / 3 
Найдем решение системы уравнений:
 x1 
 1/ 3 1/ 3    1  1/ 3   1  1/ 3  7   2  .
   X  A1  B  
     
   
  2 / 3 1/ 3   7    2 / 3   1  1/ 3  7   3 
 x2 
Ответ: (2; 3).
2.
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
 x1  2 x2  3x3  6,

4 x1  5 x2  6 x3  9,
 7 x  8 x  6.
1
2

17
1)
Найдем матрицу A1 , обратную к матрице системы
 1 2 3


A   4 5 6 .
 7 8 0


2)
Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A:
A11   1 
5 6
 5  0  6  8  48,
8 0
A12   1

4 6
  4  0  6  7   42,
7 0
A13   1

4 5
 4  8  5  7  3,
7 8

2 3
 2  0  8  3  24,
8 0
11
1 2
13
A21   1
21
A22   1
2 2
1 3
 1  0  3  7  21,
7 0

A23   1
23

1 2
 1  8  7  2  6,
7 8
A31   1

2 3
 2  6  5  3  3,
5 6
A32   1

1 3
 1 6  4  3  6,
4 6
31
3 2
A33   1
33
3)

1 2
 1  5  4  2  3.
4 5
Запишем матрицу
  48 24  3 


~
T
A  Aij    42  21 6  .
 3
6
 3 

18
4)
Найдем матрицу A1 :
  48 24  3    48 / 27 24 / 27  3 / 27 
 

1
~ 1 
A 
A
  42  21 6    42 / 27  21 / 27 6 / 27  
det A
27 
6
 3    3 / 27
6 / 27
 3 / 27 
 3
1
  16 / 9

  14 / 9
  1/ 9

5)
8/9
7/9
2/9
 1/ 9 
.
2/9 
 1 / 9 
Найдем решение системы уравнений:
  16 / 9 8 / 9  1 / 9   6    16  6  8  9  1   6 / 9 
 x1 

   

x 
1
 2   X  A  B   14 / 9  7 / 9 2 / 9    9    14  6  7  9  2   6 / 9  
x 
 1/ 9
2 / 9  1 / 9    6    1  6  2  9  1   6 / 9 
 3

  96  72  6 / 9    2 

  .
  84  63  12 / 9    1 
  6  18  6 / 9   2 

  
Итак, x1  2, x2  1, x3  2.
Указание 3
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения
линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в
последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
 a11  x1  a12  x2  ...  a1n xn  b1 ,
 a  x  a  x  ...  a x  b ,
 21 1
22
2
2n n
2










am1  x1  am 2  x2  ...  amn xn  bn .
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (треугольному) виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
На практике удобнее работать с расширенной матрицей, выполняя
все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11  1 ).
19
1.
Решить систему методом Гаусса
 x1  x2  x3  3,

2 x1  3x2  2 x3  7,
 3x  x  x  5.
3
 1 2
Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:
1
3   1 1 1 3   1 1 1 3
 1 1 1 3 1 1

 
 
 

0
1  ~  0 1 0 1  ~  0 1 0 1 .
2 3 2 7 ~ 0 1
 3 1 1 5   0 - 2  2  4   0 1 1 2   0 0 1 1

 
 
 

Полученная матрица соответствует системе
 x1  x2  x3  3,

x2
 1,


x3  1.

Осуществляя обратный ход, находим x1  1 , x2  1 , x3  1 .
Задание
Найти решения линейной системы уравнений, используя обратную
матрицу и метод Гаусса:
Ответ:  3;1
x1  x2  4
1. 

2 x1  x2  5
Ответ:  2; 2; 1
 x  2 y  3z  5
2.

4 x  5 y  6 z  8
 7x  8y
2

 2 x1  x2  x3  3
3. 
 x1  3x2  2 x3  1
 x x
5
 1 2
 3x1  5 x2  2 x3  4 x4  0
  3x  4 x  5 x  3x  2
1
2
3
4
4. 

 5 x1  7 x2  7 x3  5 x4  2

 8 x1  8 x2  5 x3  6 x4  5
Ответ: Нет решения
Ответ:  2; 0; 1; 1
20
1.
2.
Контрольные вопросы
Типы матричных уравнений и их решения.
При каких условиях существует решение матричного уравне-
ния?
3. План решения матричного уравнения.
4. Метод Гаусса.
5. Какие элементарные преобразования можно производить над
строками матриц?
Литература
1.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. – М.: Айриспресс, 2003г.
Содержание
1.
2.
3.
4.
Практическое занятие 1……………………………………………3
Практическое занятие 2…………………………………………..15
Контрольные вопросы……………………………………………21
Литература………………………………………………………...21
21
Составитель Иван Николаевич Рыльцев
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией автора
Темплан 2008 г., поз. № 78К.
Подписано в печать 15. 02. 2008 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,38. Усл. авт. л. 1,19.
Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
22