10 класс 1 Решение. на чётных местах, делится на 11.

10 класс
1
Решение. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и
на чётных местах, делится на 11.
Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Меняя местами,
например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр,
стоящих на нечётных и на чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 1, или 3 и 6, получаем
требуемые примеры
4 Решение: При
число
имеем:
; число
делится на 9, значит,
делится на 360. Поэтому все члены последовательности, начиная с четвертого, совпадают
с
члена.
. Таким образом, в последовательности только 3 положительных
Или 2 решение:
Решение: При n > 3 10n–1000 = 99…9000 (n–3 единицы). 99…9000 делится на 9000 = 25360. Поэтому все члены
последовательности, начиная с четвертого, равны sin1000° = sin280° < 0, а синусы 1°, 10° и 100° больше 0.
5.
Решение:
P(x)=(x-2)Q1(x)+5 и P(2)=5,
P(x)=(x-3)Q2(x)=7и P(3)=7.
пусть
P(x)=(x^2-5x+6)Q(x)+ax+b
тогда
P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b
P(2)=(2-2)(2-3)*Q(x)+a*2+b=5
P(3)=(3-2)(3-3)*Q(x)+a*(3)+b=7
a ∗ 2 + b = 5,
получаем систему уравнений {
a ∗ 3 + b = 7.
a=2.
b=7-a*3.
получаем
a=2,
b=1. Где ax+b
Ответ: Остаток 2x+1.
и решаем ее
6.
Вычислить без таблицы cos(пи/7)*cos(2пи/7)*cos(4пи/7)
Решить:
𝜋
2𝜋
4𝜋
7
7
7
cos cos cos
Решение:
Заменим
𝜋
через 𝛼
7
Получаем: сosαcos2αcos4α
Теперь одновременно умножим и разделим это выражение на 2sinα:
2sinαсosαcos2αcos4α
2sinα
=
𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠4𝛼
2sinα
.
Умножим и разделим получившееся выражение на 2:
2𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠4𝛼
4sinα
=
𝑠𝑖𝑛4𝛼𝑐𝑜𝑠4𝛼
4𝑠𝑖𝑛𝛼
.
Умножим и разделим получившееся выражение на 2:
𝑠𝑖𝑛4𝛼𝑐𝑜𝑠4𝛼
4𝑠𝑖𝑛𝛼
=
2𝑠𝑖𝑛4𝛼𝑐𝑜𝑠4𝛼
8𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝜋
Подставим вместо α - :
7
𝑠𝑖𝑛8𝛼
8𝑠𝑖𝑛𝛼
.
𝜋
7
𝜋
8𝑠𝑖𝑛
7
𝑠𝑖𝑛8
=
𝜋
7
𝜋
8𝑠𝑖𝑛
7
−𝑠𝑖𝑛
=−
1
8
Ответ: -1/8 верно.
7.
Решить уравнение 2  x 4  2 y 4  4 xy  1 
(x + 2)4 + (x + 2)2 – a(a – 1) = 0  (x + 2)2 = –a или (x + 2)2 = a – 1; при 0 < a < 1 решений нет; при а = 0 или а = 1 одно
решение; при а < 0 или а > 1 два решения.
Преобразуем уравнение к виду 2(x² - y²)² + (2xy - 1)² = 0. Сумма квадратов нескольких чисел может равняться нулю
только, когда каждый квадрат равен нулю. Остаётся решить систему:
𝑥² − 𝑦² = 0
{
2𝑥𝑦 − 1 = 0
Ответ:(
1
→𝑦=
;
1
√2 √
1
𝑦=√
2∗𝑥
) ; (−
2
1
√2
;−
1
√2
).
2 метод
Решить уравнение 2x^4+2y^4=4xy-1
1
4𝑥 2
=
1
2𝑥
Уравнение, полностью лежит в комплексной плоскости. Если бы было так: 2(x^4)+2(y^4)=4xy+1 -эллипс (в виде кривой
4-го порядка).
В декартовой системе координат данная кривая описывается двумя
линиями:
8
Дан многочлен x(x + 1)(x + 2)(x + 3). Найти его наименьшее значение.
Решение
x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2). Обозначим x2 + 3x через z. Тогда (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = z(z + 2) = (z + 1)2 –
1. Наименьшее значение –1 этой функции достигается при z = –1. Уравнение x2 + 3x + 1 = 0 имеет решения
(дискриминант больше нуля), следовательно, такое x, при котором наша функция достигает значения –1, существует.
Ответ:–1.
9
Решение:
Пусть x – первоначальная сумма. Через год будет – x +
1
12
(x +
1
Составим уравнение
x)
12
x+
1
x+
12
x+
1
1
12
x+
12
(x +
1
12
1
12
x+
x) – x = 16900
1
144
x – x = 16900
1
x , а в следующий год будет x +
12
1
x+
12
12+12+1
144
𝑥 = 16900
25
144
x = 16900
X = 16900/
25
144
X = 16900 *
X = 97344
144
25
Ответ: первоначальная сумма – 97344.
10
B
C
O
Треугольники BOC и COD имеют общую
высоту, если принять за их основания отрезки
BO
и
OD.
Тогда
1
k
S BOC BO

 k.
SCOD OD
Следовательно, SCOD  S BOC .
A
Тогда
D
Аналогично, треугольники
BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA.
1
S BOC CO

 k и S AOB  S BOC .
k
S AOB OA
Из этих двух предложений следует, что SCOD  S AOB .
Так как SCOD  S AOB . Отсюда S ABCD  S1  S2  2SCOD , из подобия треугольников BОC и AOD следует, что
.Следовательно,
S1
SCOD

BO

OD
S1
 SCOD  S1  S2 . Тогда S ABCD  S1  S 2  2 S1  S 2 
S2


2
S1  S 2 .
BO

OD
S1
S2