11_modul_15_urok_8

(Класс 11, модуль XV, практикум, урок 8)
Урок 8. Уравнения и неравенства с параметрами
План урока





8.1. Уравнения с параметрами
8.2. Неравенства с параметрами
8.3. Применение графиков к решению задач с параметрами
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Обратить внимание на некоторые общие приемы решения задач с параметрами, указать
на то, что решение задач с параметрами опирается на применение общих правил
преобразования уравнений и неравенств, в заключение рассмотреть пример на
применение графиков для того, чтобы получить ответ на вопрос о количестве корней
уравнения.
8.1. Уравнения с параметрами
Напомним, что на протяжении нескольких последних лет при изучении уравнений
и неравенств иногда приходилось рассматривать задачи в обобщенном виде, когда
помимо неизвестной присутствовали и другие переменные. В частности, это встречалось
при изучении линейных уравнений с одной неизвестной, при решении квадратных
уравнений в общем виде, и так далее. Иногда задачи такого вида называют задачами с
параметрами.
Уравнения и неравенства с параметрами решаются с применением тех же правил,
которые используются при решении задач без параметров.
Пример 1. При каждом значении a найти решения уравнения
log
x
log
a
 x x  a
Решение. Обе части уравнения определены при условиях a  0 , a  1 , x  0 , x  1 .
Следовательно, в дальнейшем можно предполагать, что a  0 и a  1 .
Для допустимых значений a и x имеем
a
a
log
a2
x
 a2
a2
1 log
a
x
2
1
2
  a loga x   x 2  x 
1
Аналогично,
x
log
x2
a
 a.
Поэтому приходим к уравнению
x  a  a,
откуда x  a  a .
Последнее уравнение может иметь решения только тогда, когда его правая часть
неотрицательна. Учитывая, что a  0 и a  1 , получаем цепочку неравенств a  a ,
a  1 , a  1 , a  1 . Следовательно, уравнение x  a  a при 0  a  1 корней не имеет,
а при a  1 имеет единственный корень x1  (a  a )2 .
Найденное число является корнем исходного уравнения, если выполнены условия x1  0 и
x1  1 . Так как a  1 , то условие x1  0 выполняется. Для проверки неравенства x1  1
составим уравнение x1  (a  a )2  1 относительно параметра a . Заметив снова, что
a  1 , заключаем a  a  1 . Положим t  a  0 , тогда t 2  t  1  0 , откуда с учетом t  0
получается единственное решение t1  12 5 . Ему соответствует
a  t12 
 
1 5
2
2
 32 5 
Таким образом, x1 удовлетворяет условию x1  1 , если a 
3 5
2
, a  1.
Ответ: при a  1 и a  32 5 уравнение имеет единственный корень x1  (a  a )2 ;
при остальных значениях a корней нет.
Вопрос. Сколько корней имеет данное уравнение при a  170  145 ?
Иногда встречаются задачи с параметрами, где требуется найти значения
параметра, при которых корни уравнения удовлетворяют некоторым условиям. Один из
возможных способов решения таких задач сводится к тому, что сначала решается данное
уравнение и получается ответ, зависящий от параметра. После чего выбираются нужные
значения параметра. В некоторых случаях предлагаемую задачу удается решить,
используя особенности соответствующего уравнения.
Пример 2. Найти все значения параметра a , при которых уравнение
x 2  2a sin(cos x)  a 2  0
имеет единственное решение.
Решение. Заметим, что функция f ( x)  x 2  2a sin(cos x)  a 2 является четной, так как она
определена при всех x и
f ( x)  ( x)2  2a sin(cos( x))  a 2 
 x 2  2a sin(cos x)  a 2  f ( x)
Отсюда следует, что если x0  0 является корнем уравнения f ( x)  0 , то число x1   x0
также корень этого уравнения. Значит, единственным корнем заданного уравнения может
быть только x0  0 . Это возможно, когда f (0)  0 или
0  2a sin(cos 0)  a 2  0 a 2  2a sin1
a1  0 a2  2sin1
При a  a1 данное уравнение принимает вид x 2  0 и, очевидно, имеет единственное
решение.
При a  a2 получается уравнение
x 2  4(sin1)  sin(cos x)  4sin 2 1  0
или
x 2  4sin 2 1  4sin1 sin(cos x) .
Заметим, что левая часть последнего соотношения равняется 4sin 2 1 при x  0 и больше
4sin 2 1 при любом другом x . Правая же часть при всех значениях x удовлетворяет
неравенству
4sin1  sin(cos x)  4sin1  sin1
Следовательно, при a  2sin1 исходное уравнение также имеет единственный корень
x 0.
Ответ: уравнение имеет единственный корень при a  0 и при a  2sin1 .
Вопрос. Может ли данное уравнение при некотором значении параметра a иметь
бесконечное множество решений?
8.2. Неравенства с параметрами
Пример 3. Найти, при каких значениях параметра a среди решений неравенства
 x  500 
 x  502  (504  x)
log3
 log 1 ( x  499)  log 3
a
3
504  x
( x  499)
содержится единственное целое число.
Решение. Область определения левой части неравенства задается условиями
 x  500 
 0 x  499  0
504  x
 x  502  (504  x)
 0
( x  499)
Отсюда следует, что x  499 , x  504 , x  500 , x  502 . Поэтому указанная область имеет
вид
(499 500)  (500 502)  (502 504)
и содержит всего два целых числа: x1  501 и x2  503 . Остается определить, при каких
условиях только одно из значений x1 , x2 удовлетворяет исходному неравенству.
I. При x  501 должно выполняться неравенство
 501  500 
 501  502  (504  501)
log3
 log 1 (501  499)  log 3
a
3
(504  501)
(501  499)
или
1
3
log 3  log 3 2  log 3  a
3
2
3
1
log 3   2    a log 3 1  a
2
3
то есть a  0 . Следовательно, число 501 будет решением исходного неравенства при
a0.
II. При x  503 имеем
log3 3  log 1 4  log3 14  a
3
или
1  log3 4  log3 4  a a  1 .
Следовательно, число 503 является решением исходного неравенства при a  1 .
Теперь понятно, что только одно из чисел x1 , x2 содержится в множестве решений
данного неравенства при 0  a  1.
Ответ: 0  a  1.
Вопрос. При каких значениях a число 500 13 является решением рассмотренного
неравенства?
8.3. Применение графиков к решению задач с параметрами
Иногда при решении задач с параметрами помогают рассуждения, связанные с
рассмотрением графиков.
Пример 4. Найти все значения параметра a , при которых уравнение
 x  2    2 x  a  4
имеет единственное решение.
Решение. Запишем данное уравнение в виде  2 x  a  4  x  2  и рассмотрим две
функции: f ( x)  4  x  2  и g ( x)  2 x  a  .
График функции f ( x) изображен на рисунке 16. График функции g ( x ) также является
углом, то есть объединением двух лучей с началом в точке ( a2  0) (рисунок 17).
Решениями данного уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций
f ( x ) и g ( x ) . Рассматривая положение вершины графика функции g ( x ) в зависимости от
a , можно найти число корней данного уравнения.
I. При a2  6 и a2  2 графики функций f ( x) и g ( x ) располагаются так, как показано на
рисунках 18 и 19. Так как в этих случаях точек пересечения нет, то при a  12 и a  4
заданное уравнение корней не имеет.
II. При 6  a2  2 графики функций f ( x) и g ( x ) располагаются так, как показано на
рисунке 20. В этом случае две точки пересечения, а поэтому заданное уравнение при
12  a  4 имеет два корня.
При a  12 и при a  4 данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: a  12 и a  4 .
Вопрос. Как расположены графики функций f ( x) и g ( x ) из этого примера при a  12 и
при a  4 ?
Проверь себя. Уравнения и неравенства с параметрами
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа
.
Каково множество всех значений a таких, что среди решений неравенства
содержится число x  10 ?
 1.  ; 10  10;  
ax
0
ax
 2.  10;10
 3.  ; 10
 4.  10;  
(Правильный вариант: 1)
Каково множество всех значений a таких, что среди решений неравенства x  a  2 x
содержится число x  3 ?
 1.  6;  
 2.  ;6
 3.  6; 6
 4.  9; 3
(Правильный вариант: 4)
Какое из указанных множеств является множеством всех значений a , при которых
уравнение x  a  a имеет действительные корни?
 1.  ; 0  1;  
 2. 0  1;  
 3. 0;  
 4. 1;  
(Правильный вариант: 2)
Какое из указанных множеств является множеством всех значений a , при которых
1
уравнение
 a  a имеет действительные корни?
x
 1. 1;  
 2. 0  1;  
 3. 0;  
 4. 1;  
(Правильный вариант: 1)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа
.
x 2  (a  1) x  a
 0 в зависимости от параметра
Сколько корней может иметь уравнение
x 1
a?
 1. Ни одного
 2. Один
 3. Два
 4. Три
(Правильные варианты: 1, 2)
Сколько корней может иметь уравнение x  2  2 x  a в зависимости от параметра a ?
 1. Ни одного
 2. Один
 3. Два
 4. Три
(Правильные варианты: 1, 2, 3)
Сколько корней может иметь уравнение x  2 x  a в зависимости от параметра a ?
 1. Ни одного
 2. Один
 3. Два
 4. Три
(Правильные варианты: 2, 3)
Сколько корней может иметь уравнение x 4  ax 2  a 2  1  0 в зависимости от параметра
a?
 1. Ни одного
 2. Один
 3. Два
 4. Четыре
(Правильные варианты: 2)
Домашнее задание
1. Определите, при каких значениях параметра a среди решений неравенства
2x 150
x 148( x 146)
log 1 ( x146)  log 2 (151  x)  log 1
a
(151 x )
2
2
содержится единственное целое число.
2. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение
 x  a    2 x  2  3
имеет единственное решение.
3. Определите, при каких значениях параметра a уравнение
log 2 x (ax  1)  12
имеет единственное решение.
4. При каких значениях параметра a уравнение
(a  1)tg 2 x  2tgx  cos1 x  a  0
не имеет решений?
5. При каких значениях параметра a найдутся такие значения x , что числа
2 x  a , 2 x1 , 4x  4 x
образуют арифметическую прогрессию?
6. Известно, что x1  2 x2 , где x1 и x2 — корни уравнения
x 2  (a  2) x  2a  0 .
Найдите a .
7. Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений
3ax  2 y  6a  12
 5
 2 a  2  x  (a  2) y  14  7 a
не имеет решений.
8. Множество M состоит из всех точек ( x y ) плоскости, координаты которых
удовлетворяют системе неравенств
 x 2  (a  2) x  2  y

2 x  y  a  0
Определите, при каких значениях параметра a множество M содержит отрезок  1;0
оси Ox .
9. Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений
 x  a  1  y

a
 y  3  1  x
имеет бесконечное множество решений.
10. Найдите, при каких значениях параметра a система уравнений
(4  a) x  ay  1

ax  2 y  1
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условиям: x  1, y  4 .
11. Найдите все значения параметра t , при которых хотя бы одно целое число попадает в
интервал (7t  3t  4) .
12. Найдите все значения параметра q , при которых хотя бы одно целое число содержится
в интервале (8q  5 4q) .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 11-6-17.CDR
Рисунок 2. 11-6-18.CDR
Рисунок 3. 11-6-19.CDR
Рисунок 4. 11-6-20.CDR