Первые упоминания о решении уравнений содержатся в

Квадратные уравнения
В современной алгебре квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2  bx  c  0,
где коэффициенты a, b, c  любые действительные числа, причем a  0.
Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида
ax 2  bx  0, либо аx 2  c  0
Пример a) 2 x 2  7 x  0
Решение
x(2 x  7)  0, либо x  0, либо 2 x  7  0, x  3,5.
Таким образом, уравнение имеет два корня: x1  0, x2  3,5.
Пример b)  x 2  5 x  0
Решение
 x 2  5x  0;  x( x  5)  0
Уравнение имеет два корня: x1  0, x2  5
Пример с) x 2  16  0.
Решение
x 2  16  0; x 2  16;
Уравнение имеет два корня: x1  4, x2  4.
Пример d) 3 x 2  10  0.
Решение
10
x2   .
3
Уравнение не имеет действительных корней.
Пример е) 5 x 2  0.
Решение
x 2  0; x  0.
Данное уравнение также является неполным квадратным уравнением, оно всегда имеет
один корень
При решении квадратных уравнений можно использовать различные способы разложения
на множители. Так при решении уравнения b был применен способ вынесения общего
множителя. Существует другой способ – способ группировки.
Пример: 4x 2  6 x  8 x  12  0.
Решение.
4 x 2  6 x  8x  12  0, (4 x 2  6 x)  (8 x  12)  0,
2 x(2 x  3)  4(2 x  3)  0,
(2 x  3)(2 x  4)  0,
либо 2 x  3  0, 2 x  3, x  1,5;
либо 2 x  4  0, 2 x  4, x  2.
Ответ: x1  2, x2  1,5.
Одно и то же уравнение можно решить множеством способов. Рассмотрим некоторые из
них на примере квадратного уравнения x 2  4 x  3  0.
I способ. Рассмотрим квадратный трехчлен x 2  4 x  3
Разложим его на множители способом группировки, предварительно представив слагаемое
4x в виде  x  3x. Имеем
x 2  4 x  3  x 2  x  3x  3  ( x 2  x)  (3x  3)  x( x  1)  3( x  1)  ( x  1)( x  3).
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде
( x  1)( x  3)  0.
1
Это уравнение имеет два корня: x1  1, x2  3.
II способ. Рассмотрим квадратный трехчлен x 2  4 x  3 и разложим его на множители,
используя метод выделения полного квадрата; предварительно представим слагаемое 3 в виде
разности 4  1 . Имеем
x 2  4 x  3  x 2  4 x  4  1  ( x  2)2  1.
Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим
( x  2  1)( x  2  1)  ( x  1)( x  3)
Итак, корни трехчлена x1  1, x2  3.
III способ – графический.
Рассмотрим графический способ решения уравнений
Решите уравнение x 2  4 x  3  0.
Построим график функции у  x 2  4 x  3.
b
 2; у0  f (2)  22  4  2  3  1.
Координаты вершины: x0  
2a
Ось параболы – прямая x  2.
Возьмем на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы, например
точки x  1, x  3. Найдем значение функции в этих точках f (1)  f (3)  0. Через точки
1;0 , 3;0 и вершину параболы  2; 1
построим график функции.
4
3
2
1
1
0
1
2
3
4
5
1
2
Итак, корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс
т.е. x1  1, x2  3.
Рассмотрим другой вариант графического решения уравнения x 2  4 x  3  0.
Запишем уравнение в виде x 2  4 x  3.
Построим в одной системе координат графики функций y  x 2 , y  4 x  3
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
0
1
2
3
4
1
2
3
Итак, корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков
x1  1, x2  3.
2
Исходное уравнение можно решить еще несколькими способами, преобразовав уравнение
3
x 2  4 x  3  0 к виду x 2  3  4 x, или к виду x  4   .
x
Затем вводят функции, строят графики и находят абсциссы точек пересечения графиков
построенных функций.
Смотри задание 3 (приложение1).
IV способ – с помощью формулы корней квадратного уравнения.
Для решения квадратного уравнения вида аx 2  bx  c  0 можно использовать следующий
алгоритм:
1) Вычислить дискриминант по формуле D  b 2  4ac.
2) Если D  0, то квадратное уравнение не имеет корней.
b
3) Если D  0, то квадратное уравнение имеет один корень: x   .
2a
b  D
4) Если D  0, то квадратное уравнение имеет два корня: x1,2 
2a
2
x  4x  3  0
a  1, b  4, c  3.
D  b 2  4ac   4   4 1 3  16  12  4.
2
Так как D  0, данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по
формуле
b  D 4  4 6
x1 

  3;
2a
2 1
2
x2 
b  D 4  4 2

  1.
2a
2 1
2
В случае если b – четное число, т.е. b  2k , тогда
x1,2 
2k 
 2k 
2
 4ac
2a
2k  2 k 2  ac k  k 2  ac


.
2a
a
x  4x  3  0
b  4  2   2 , k  2.
2
k  k 2  ac 2 
x1 

a
 2 
2
1
 1 3
 2  1  3;
k  k 2  ac 4   2   1 3
x2 

 2  1  1.
a
1
Уравнение вида x 2  px  q  0 является приведенным квадратным уравнением.
Если числа x1 , x2 таковы, что x1  x2   p, x1 x2  q, то эти числа – корни уравнения.
2
x 2  px  q  0. С помощью этого утверждения, а точнее утверждения, обратного теореме Виета
можно решать приведенные квадратные уравнения.
x 2  4 x  3  0.
x1  x2  4; x1 x2  3;
Итак, корни уравнения x1  1, x2  3.
Если в уравнении аx 2  bx  c  0 сумма а  b  c  0, то один корень уравнения всегда 1, а
c
другой корень вычисляется по формуле .
a
3
В уравнении x 2  4 x  3  0 сумма
c 3
x2    3.
a 1
Смотри задание 4 (приложение1).
а  b  c  1  4  3  0,
следовательно
x1  1,
Рациональные уравнения
Если r ( x ) – рациональное выражение, то уравнение r ( x)  0 называется рациональным
уравнением.
2 x 11 3
  .
Пример
x 3 2 x
2 x 11 3
   0;
x3 2 x
2 x  2 x  11x( x  3)  3  2( x  3)
 0;
2 x( x  3)
15 x 2  39 x  18
 0;
2 x( x  3)
3(5 x 2  13x  6)
 0;
2 x( x  3)
3(5 x 2  13x  6)  0;
5x 2  13x  6  0;
x1  2; x2  0,6.
Проверим найденные корни: 2 x( x  3)  0 т.е. x  0, x  3.
x1  2, x2  0, 6 являются корнями исходного уравнения.
1
2
7
 2
 .
Пример 2
x  3x  3 x  3x  1 5
Решим уравнение методом введения переменной. Пусть
1
2
7
переписать уравнение в виде

 .
y  3 y 1 5
1
2
7

  0;
y  3 y 1 5
5( y  1)  10( y  3)  7( y  3)( y  1)
 0;
5( y  3)( y  1)
y  x 2  3x. Это позволит
7 y 2  29 y  4
 0.
5( y  3)( y  1)
Из уравнения 7 y 2  29 y  4  0 находим y1  4, y2 
Проверим найденные корни 5( y  3)( y  1)  0,
1
7
Поскольку y  x 2  3x, нам предстоит решить еще два уравнения:
1
x 2  3x  4 и x 2  3x  .
7
Корнями первого уравнения являются числа 1 и –4, корнями второго уравнения – числа
21  469 21  469
,
.
14
14.
4
21  469 21  469
,
.
14
14.
Метод введения новой переменной применяется также при решении биквадратных
уравнений.
Уравнение вида ax 4  bx 2  c  0 называется биквадратным уравнением.
Пример x 4  2 x 2  8  0.
Введем переменную x 2  y.
Получим
y 2  2 y  8  0,
y1  4,
Ответ: 1, −4,
y2  2,
x 2  4,
x1  2, x2  2
x 2  2 не имеет корней
Ответ: 2, -2.
Смотри задания 5, 6, и 7 (приложение1).
Иррациональные уравнения
Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то такое
уравнение называют иррациональным.
Обратимся к страницам из истории математики. Понятие иррациональные числа было
известно пифагорейцам. Теорема Пифагора привела математиков к открытию несоизмеримых
отрезков. Они получили совершенно парадоксальное утверждение: длину диагонали квадрата
нельзя измерить никаким натуральным числом. Это утверждение подрывало основной тезис их
учения: «все есть число».
Открытие несоизмеримости показало, что, владея только рациональными числами нельзя
найти длину любого отрезка. Значит множество отрезков значительно шире множества
рациональных чисел. Греки решили строить математику не по пути расширения понятия числа,
которое привело бы их к рассмотрению иррациональных чисел, а с помощью геометрических
величин. В отличии от пифагорейцев ученые Древнего Востока без каких-либо объяснений
использовали приближенные значения чисел. Так они записывали 1,41 вместо 2 , и 3 вместо
числа  .
Вернемся к современной математике и рассмотрим способы решения иррациональных
уравнений.
Пример: 2 x  1  3.
Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения − основной метод решения
иррациональных уравнений.

2x 1

2
 32 ;
2 x  1  9;
x  4.
Метод возведения в квадрат несложен, но иногда приводит к неприятностям.
Пример: 2 x  5  4 x  7.
( 2 x  5) 2  ( 4 x  7) 2 ;
2 x  5  4 x  7;
2 x  4 x  7  5;
2 x  2;
5
x  1.
Но значение x  1, будучи корнем рационального уравнения 2 x  5  4 x  7, не является
корнем заданного иррационального уравнения. Проверка подтвердит данное утверждение.
Проверка:
2 1  5  4 1  7;
3  3.
Полученное выражение не имеет смысла. Под корнем четной степени не может быть
отрицательного числа.
Вывод: x  1  посторонний корень
Заданное иррациональное уравнение не имеет корней.
Пример: 2 x2  5x  2  x  6.
( 2 x 2  5 x  2) 2  ( x  6) 2 ;
2 x2  5x  2  x 2  12 x  36;
2 x 2  5 x  2  x 2  12 x  36  0;
x 2  17 x  38  0;
x1  2, x2  19.
Проверка:
Если x  2, то
2  22  5  2  2  2  6,
16  4 – неверно
Если x  19, то
2  (19) 2  5  (19)  2  19  6,
625  25 – неверно
Вывод: заданное иррациональное уравнение не имеет корней.
Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат;
решив полученное в итоге рациональное уравнение надо обязательно сделать проверку, отсеяв
возможные посторонние корни.
Пример: 5 x  16  x  2.

5 x  16

2
  x  2 ;
2
5 x  16  x 2  4 x  4;
x 2  4 x  4  5 x  16  0;
x 2  9 x  20  0;
x1  5; x2  4.
Проверка:
Если x  5, то 5  5  16  5  2;
9  3 – верное равенство.
Если x  4, то 5  4  16  4  2;
4  2 – верное равенство.
Значит, оба найденные значения – корни уравнения.
Ответ: 4; 5.
Пример: 2 x  x  3  0.
Данное уравнение решим методом введения новой переменной.
Пусть y  x.
3
2 y 2  y  3  0, y1  1, y2   .
2
Вернемся к исходной переменной.
6
x  1,
x  1 – верно,
3
x   – неверно.
2
Ответ: 1.
Смотри задание 8 (приложение1).
Немного теории
Определение. Два уравнения f ( x)  g ( x) и r ( x)  s ( x) называют равносильными, если они
имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).
Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но
равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.
Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.
Например, замена уравнения 2x  5  7 x  8 уравнением 2x  7 x  8  5 есть равносильное
преобразование уравнения. Это значит, что уравнения 2x  5  7 x  8 и 2x  7 x  8  5
равносильны.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Например, замена уравнения 0,5 x 2  0,3x  2 уравнением 5 x 2  3x  20 (обе части уравнения
умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование уравнения.
Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
x2
4

уравнением x 2  4 есть неравносильное
x2 x2
преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение x 2  4 имеет два корня: 2 и −2, а
заданному уравнению значение x  2 удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль).
В подобных случаях говорят так: x  2 посторонний корень.
Например,
замена
уравнения
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных
преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение,
поскольку среди них могут оказаться посторонние корни.
Определение.
Областью определения уравнения f ( x)  g ( x), называется множество D ( f )  D( g ), где D ( f ) и
D ( g ) – области определения функций f и g.
x
1
2

 2
 0.
Пример
x 1 x 1 x 1
Сложив дроби, стоящие в левой части, получим уравнение
x2  2x  3
0
x2 1
равносильное исходному. Это же уравнение в свою очередь, равносильно системе
2
 x  2 x  3  0,
 2
 x  1.
Квадратное уравнение имеет корни x  3, x  1, где x  1 - посторонний корень.
7
Рассмотрим решение уравнения
x2  x  5
3x
 2
 4  0.
x
x  x 5
x2  x  5
 t;
x
3x
3
 ;
2
x  x 5 t
3
t   4  0;
t
2
t  4t  3  0;
t  3; t  1.
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности
 x2  x  5
 3,

 x 2  4 x  5  0,
x
 2
 2
x  x 5
 x  2 x  5  0.
 1,

x
x  1 или x  5, или x  1  6, или x  1  6.
Уравнения с переменной под знаком модуля
1. Абсолютной величиной числа a (обозначается |a|) называется расстояние от точки,
изображающей данное число а на координатной прямой, до начала отсчета.
a, если a  0
Из определения следует, что a  
a, если a  0
Основные свойства модуля
1 a  0;
2  a  a ;
3 a  a;
4 a  b  a  b ;
5
a
a
 , b  0.
b
b
Пример 5x  4  3.
Ясно, что здесь есть две возможности: 5x  4  3 или 5x  4  3. Откуда несложно получить
1
7
Ответ: x   или x   .
5
5
Отметим, что при решении уравнений вида f  x   a  a  0 наиболее рациональный путь −
переход к совокупности
 f  x   a,

 f  x   a.
Пример x 2  2 x  7  4.
Здесь указанный выше прием освобождает нас от необходимости находить интервалы
знакопостоянства квадратного трехчлена с «неприятными» корнями.
Имеем:
 x 2  2 x  7  4,
 2
 x  2 x  7  4;
8
 x 2  2 x  11  0,
 2
 x  2 x  3  0.
Ответ: x  1 или x  3 или x  1  2 3.
Смотри задание 9 (приложение1).
Уравнения с параметрами
Немного теории.
С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Например функция
прямая пропорциональность:
y  kx  x и y  переменные, k  параметр, k  0 ;
 x и y  переменные, k и b  параметры ;
линейное уравнение: ax  b  0  x  переменная, a и b  параметры  ;
квадратное уравнение: ax2  bx  c  0  x  переменная, a, b и c  параметры
линейная функция: y  kx  b
a  0 ;
Определение. Уравнение – внешний вид и решение, которого зависит от значений одного или
нескольких параметров называется уравнением с параметрами.
Решить уравнение с параметрами означает
1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решения.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е для неизвестного
и параметров должны быть указаны свои области допустимых значений.
Пример: ax  1.
Ответ: Если a  0, то нет решений;
1
Если a  0, то x  .
a
2
Пример: (a  1) x  a  1.
Ответ: Если a  1, то x  любое число;
если a  1, то нет решений;
1
.
если a  1, то x 
a 1
Пример: При каких значениях k уравнение x 2  kx  2  0 имеет корни? Приведите пример
положительного значения k, при котором выполняется это условие.
Решение.
Уравнение имеет корни, если D  0, D  b2  4ac  k 2  4 1 2  k 2  8
k 2  8  0,
 k  2 2  k  2 2   0,
При k  2 2 и при k  2 2 уравнение имеет корни.
2 2   , пример k  0, k  4.
Ответ: При k  ; 2 2

 

Пример:
При каких значениях k уравнение 3 x 2  kx  1  0 не имеет корней? Приведите пример
отрицательного значения k, при котором выполняется это условие.
Решение
Уравнение не имеет корней, если D  0.
D  b 2  4ac
D  k 2  4  3 1  k 2  12



k 2  12  0, k  2 3 k  2 3  0
9
При k  2 3; k  2 3 уравнение не имеет корней, например при k  1


Ответ: при k  2 3; 2 3 , пример k  0, k  1.
Задания, которые оцениваются в 4 бала
1. Найдите все целые значения, k при которых уравнение kx 2  6 x  k  0 имеет два корня.
1
2. Найдите все целые значения m, при которых уравнение mx 2  5 x  m  0 имеет два корня
4
3
2
3. При каком значении m уравнение x  6 x  mx  0 имеет два корня? Найдите эти корни.
4. При каком значении k уравнение 4 x3  4 x 2  kx  0 имеет два корня? Найдите эти корни.
5. При каких значениях с уравнение x 2  18 x  100  c имеет корни?
6. При каких значениях с уравнение  x 2  12 x  21  c имеет корни?
Задания, которые оцениваются в 6 балов.
1. При каких значениях а корни уравнения x 2  2ax  (a  1)(a  1)  0 принадлежат промежутку
5;5?
2. При каких значениях p корни уравнения x2  2  p  1 x  p  p  2  0 принадлежат
промежутку  1;3 ?
3. При каких значениях а один корень квадратного уравнения x2   a  1 x  2a 2  0 больше
1
, а
2
1
?
2
4. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена
x2   a  1 x  a 2 ?
другой меньше
5. При каких значениях b уравнение x2  2  b  1 x  9  0 имеет два различных положительных
корня?
6. При каких значениях k уравнение x2  4 x   2  k  2  k   0 имеет корни разных знаков?
7. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения x2   2  m x  m  3  0
минимальна?
8. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения x 2  2mx  m  1  0 минимальна?
9. Докажите, что уравнение  x 2  2 x  3 x 2  6 x  10   2 не имеет корней.
10. Докажите, что уравнение  x 2  2 x  2  x 2  4 x  5   1 не имеет корней.
11. Докажите, что число 1 является корнем уравнения  2 x 2  4 x  3 x 2  2 x  2   1 и других
корней у этого уравнения нет.
12. Докажите, что уравнение  x 2  4 x  5  2 x 2  8 x  9   1 имеет корень, равный 2, и других
корней у него нет.
Уравнения для любознательных
Эти уравнения представляют собой комбинированные задания, в процессе решения
которых отрабатываются стандартные алгоритмы решения уравнений, а также формируются и
закрепляются навыки работы с областью допустимых значений и отбором корней. Эти
уравнения предназначены в качестве индивидуальных заданий для сильных учеников.
 3x
 11x  4   2 x  5  0  x 2  7 x  10;
1)
 2x  1 x  43x  8  0 
x  3;
3)
2)
 4x
1  3x
;
6x  9
4)
 x  1  2   25  9 x  
5)
x
2
 9  x 2  1  x  2   0 
2
2
2

 
 2 x  3 
x  x;

18  50  8  2 x  3;
10
6)  2  1  x 2  3x   x  1,5  1,5   1  2  3  8  ;
 1 2

x



x6
 23  4 x;
x6
x2  x
8) 7  6 x 
;
x 1
7)
9)
 5  x  3x  9  
2
23) x  x  3  3x  24 x  28  4 x   x  2  x  2  ;
x 8
1
1

;
x 3 x 3
x2  8x
 8;
x
6 x2  6 x 8x  4 x2 2 x2  6 x
11)


;
x 1
2 x
x 3
10)
12) 5 x  7 x  28  13;
13) x  x  1 x  5  4  x  
0
;
x  4x
2
9 x  45
;
14)  x  4  x  4  
x 5
2
x 1
9
  x  5  24;
5 x
;
5 x
64 x  24
  8 x  16

17) 
 x  12   
 x  16   0;
 x4
  x2

16)  4 x  12  3 x  15   1 
9  3x
 (2 x  1)( x  3);
6  2x
40  20 x 

19)  5 x 
  ( x  7)  4 x  8    0;
2 x 

18) 1,5 
x  81 x  36

 2 x  3;
x9
x6
2
20)
2
7x
6  2x
2
  x  2 ;
x 3
x 2  5 x 2  2 x 

2
25)  x  1  x  4 x   10 
;
x
4 x 2  20 x
26)  x  4   x 2  1  4 x 2  24 x 
;
5x  x2
24) 2 x  x  2   3 
27) 4 x 
x4
x  2
15) 

x5  4 x3
 16  2 x3 ;
x2
15 x  90
;
22) x 2  21 
x6
21)
28)
x  2 x2  2  4 x
  x  1 3  x  ;
x2
 x  3  2 x 2  8 x 
x4
29)  x  4  x
2
2
 2 x 11  x  x 2   3x3 ;
 6 x  12   x 2  3x 
 9 
 6 x;
 x  2  x  3
2 x3  32 x
2
  x  4   0;
x4
x4  x2
2
 0;
31)  2 x  3  2
x 1
3x3  21x 2
3
x

49
x

3
x

;
32)
7 x  x2
x3  10 x 2 3x  30

 97;
33)
x  10
x  10
30)
4
3
34)  3x  x  9 x  x 2  x  3   0.
 3x  1

9 x  27 
11
Применение уравнений.
Уравнения Навье-Стокса – система дифференциальных уравнений в частных
производных, описывающая движение вязкой жидкости. Уравнения Навье-Стокса являются
одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании
многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика
Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.
Система состоит из уравнения движения уравнения неразрывности.
Одним из применений системы уравнений является описание течений в мантии Земли.
Вариации уравнения используются для описания движения воздушных масс атмосферы
в частности при формировании прогноза погоды. В анализе решений уравнения заключается
суть одной из открытых проблем, за решение которых математический институт Клэя
назначил премию в 1 млн. долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть
существование глобального гладкого решения задачи Коши для трехмерных уравнений НавьеСтокса.
Список использованной литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеоразоват.
Учреждений. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 160 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеоразоват.
Учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 223 с.: ил.
3. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир Алгебраический тренажер: Пособие для
школьников и абитуриентов»/Под ред. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – М.:
Илекса, 2001 – 320с.
4. Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике: 5-11 классы. – М.:Издательство
«Первое сентября», 2002. – 224с.: ил.
12