Конспект лекций, раздаваемый студентам.

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
Государственный университетВысшая школа экономики
Факультет Экономики
Программа дисциплины
Анализ финансово-экономических временных рядов
для направления 080100.62 - Экономика
подготовки бакалавров
Автор А.С. Шведов
Рекомендована секцией УМС
Математические и
статистические методы в экономике
Одобрена на заседании
кафедры Математической
экономики и эконометрики
Председатель А.С. Шведов
Зав. кафедрой Г.Г. Канторович
«____»______________2008 г.
«__»_____________2008 г.
Утверждена УС факультета Экономики
Т.А. Протасевич
«____»______________2008 г.
Москва 2008 г.
Программа «Анализ финансово-экономических временных рядов» предназначен для
студентов 4 курса бакалавриата специализаций «Финансы и фондовый рынок», «Экономика
и финансы фирмы», «Управление рисками и страхование».
Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего
часов
Аудиторные
часы
Лекции
1
2
3
4
5
6
7
Временные ряды и случайные
процессы
Стохастические разностные
уравнения
Моделирование
стационарных временных рядов
Модели, включающие условную гетероскедастичность
Спектральный анализ временных рядов
Моделирование
нестационарных временных рядов
Модели,
включающие
несколько временных рядов
Самостоятельная
работа
11
2
Семинары
2
11
2
2
7
24
7
5
12
11
4
1
6
8
2
0
6
22
6
4
12
21
5
4
12
108
28
18
62
7
Базовые учебники
Конспект лекций, раздаваемый студентам.
Формы контроля
Основная форма контроля – письменный зачет, включающий решение задач.
Предусмотрены одна контрольная работа и одно домашнее задание, включающее работу с
временными рядами на компьютере.
Работа на семинарских занятиях
Письменная аудиторная контрольная работа (80 мин.)
Домашнее задание
Письменный зачет (160 мин.)
Влияние на итоговую оценку зачета, выполненной контрольной работы и домашнего
задания основано на следующей схеме: 50% итоговой оценки зарабатывается на зачете, 10%
итоговой оценки-за работу на семинарах; 20%- за домашнее задание; 20%-за контрольную
работу.
Содержание программы
Анализ временных рядов – это важнейший раздел эконометрической науки, один из
наиболее трудных ее разделов, которому уделяется очень большое внимание в
образовательных программах ведущих мировых университетов. По своему содержанию
анализ временных рядов тесно связан с экономической теорией, а при ориентации на анализ
финансово-экономических временных рядов – и с теорией финансовых рынков. Методы
теории временных рядов находят непосредственное приложение при прогнозировании и при
оценке фондовых активов.
Курс «Анализ финансово-экономических временных рядов» построен по образцам
аналогичных курсов ведущих западных университетов, опирается на основные современные
учебники и рассчитан на студентов, прослушавших курсы макроэкономики,
микроэкономики, эконометрики, теории вероятностей и математической статистики,
линейной алгебры.
Курс состоит из лекций и семинарских занятий. На протяжении всего времени
обучения от студентов требуется интенсивная работа по моделированию и анализу
временных рядов с использованием компьютера. В курсе используются примеры реальных
финансово-экономических рядов.
Основная форма контроля – письменный зачет, включающий решение задач.
Предусмотрены одна контрольная работа и одно домашнее задание, включающее работу с
временными рядами на компьютере.
Тема 1. Временные ряды и случайные процессы. Потребность в разумно простой
модели для прогнозирования, интерпретации и проверки гипотез, связанных с финансовоэкономическими временными рядами. Понятие случайного процесса. Случайные процессы
стационарные в узком смысле и стационарные в широком смысле. Основные компоненты
временного ряда: тренд, сезонная, циклическая, иррегулярная. (Shumway, Stoffer (2000), гл.
1)
Тема 2. Стохастические разностные уравнения. Модели для тренда, сезонной и
иррегулярной компонент, как примеры стохастических разностных уравнений. Понятие
решения стохастического разностного уравнения, различные способы построения решений.
Характеристическое уравнение и его корни. Операторы запаздывания и их использование
для нахождения решений стохастических разностных уравнений (Enders (1995), гл. 1).
Тема 3. Моделирование стационарных временных рядов. Процесс белого шума.
Модели авторегрессии скользящего среднего ARMA(p,q). Свойство стационарности и его
связь с расположением корней характеристического уравнения. Автокорреляционные
функции. Уравнения Юла – Уокера. Частные автокорреляционные функции. Процедура
Бокса – Дженкинса построения модели ARMA(p,q). Проверка гипотез о равенстве нулю
автокорреляций и частных автокорреляций. Информационные критерии Акаике и Шварца.
Статистики, используемые для проверки соответствия модели данным. Свойство
обратимости процессов ARMA(p,q). Использование моделей ARMA(p,q) для
прогнозирования. Дисперсия ошибки прогнозирования. Аддитивная и мультипликативная
модели сезонности. Преобразование Бокса – Кокса. (Enders (1995), гл. 2, Mills (1996), гл. 1,
Shumway, Stoffer (2000), гл. 2, Tsay (2001), гл. 2)
Тема 4. Модели, включающие условную гетероскедастичность. Модели авторегрессии
условной гетероскедастичности ARCH(m). Определение параметров модели ARCH(m)
методом максимального правдоподобия. Проверка гипотез о наличии условной
гетероскедастичности. Модели GARCH(p,q). Доказательство стационарности случайного
процесса GARCH(p,q). Модели ARCH-M. (Enders (1995), гл. 3, Mills (1996), гл. 3, Shumway,
Stoffer (2000), гл. 2, Tsay (2001), гл. 3)
Тема 5. Спектральный анализ временных рядов. Спектральная плотность
стационарного случайного процесса. Выборочная периодограмма. Циклические и сезонные
компоненты временного ряда. (Shumway, Stoffer (2000), гл. 3)
Тема 6. Моделирование нестационарных временных рядов. Модели с
детерминированным трендом и модели с единичным корнем. Процесс случайного блуждания
и его автокорреляции. Модели ARIMA(p,d,q). Построение прогнозов для нестационарных
временных рядов и поведение дисперсии ошибки прогнозирования в зависимости от
выбранной модели. Методы удаления тренда. Кажущаяся регрессионная зависимость. Тесты
Дикки – Фуллера на наличие единичных корней; использование датчиков случайных чисел
для составления статистических таблиц. Обобщенные тесты Дикки – Фуллера и тесты
Филлипса – Перрона. Мощность тестов Дикки – Фуллера. Случай нескольких единичных
корней. Анализ временных рядов, содержащих структурные изменения. (Enders (1995), гл. 4)
Тема 7. Модели, включающие несколько временных рядов. Включение в модель
детерминированного ряда (интервенции). Модели с передаточными функциями; кросскорреляции и их использование; применение разностных уравнений для нахождения кросскорреляций. Векторная авторегрессия; условия стационарности, функции отклика на
импульсы. Причинность по Грэнджеру. Нестационарные временные ряды; коинтеграция и
модели с коррекцией ошибок. Тестирование коинтеграции. (Enders (1995), гл. 5, 6, Mills
(1996), гл. 5, 6, Tsay (2001), гл. 8).
Основная литература
1. Enders W. (1995) Applied Econometric Time Series. N.Y.: Wiley.
2.
Mills T. (1996) The Econometric Modelling of Financial Time Series. Cambridge:
Cambridge Univ. Press.
3. Shumway R.H., Stoffer D.S. (2000) Time Series Analysis and Its Applications. Springer.
4. Tsay R.S. (2001) Analysis of Financial Time Series. N.Y.: Wiley.
Дополнительная литература
1. Banerjee A., Dolado J., Galbraith J.W., Hendry D.F. (1993) Co-integration, error-correction, and
the econometric analysis of non-stationary data. N.Y.: Oxford Univ. Press.
2. Fuller W.A. (1996) Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., N.Y.: Wiley.
3. Harvey A.C. (1993) Time Series Models. 2nd edition, Harvester: Wheatsheaf.
4. Johnston J., DiNardo J. (1997) Econometric Methods. 4th ed., N.Y.: McGraw-Hill.
5. Makridakis S., Wheelwrite S.C.,.McGee V.E. (1983) Forecasting: Methods and Applications.
N.Y.: Wiley.
6. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.
7. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. М.: Мир, 1974.
8. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.:
Наука, 1976.
9. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982.
10. Хеннан Э. Анализ временных рядов. М.: Наука, 1964.
11. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1974.
Тематика заданий по различным формам текущего контроля
1. Дайте определение стационарного в широком смысле случайного процесса. Дайте
определение стационарного в узком смысле случайного процесса. Приведите пример
случайного процесса, который является стационарным в широком смысле и не является
стационарным в узком смысле. Что такое автоковариационная функция случайного
процесса?
2. Пусть случайный процесс задан стохастическим разностным уравнением
yt  0.25  0.8 y t 1  0.5 yt 2   t  0.4 t 1 , где  t белый шум. Является ли этот процесс
стационарным?
3. Дайте определение оператора
записью
t
1
при | a | 1 . Объясните, что понимается под
1  aL
. Является ли эта запись представлением случайного процесса ARMA(p,q) в
1 0.5L
форме MA() ? Как, используя многочлены от оператора лага, можно записать
стохастическое разностное уравнение
yt  4  0.6 yt 1   t  0.8 t 1  0.3 t 2 ?
yt
Объясните, что понимается под записью
.
1  L  0.24 L2
4. Пусть для набора наблюдений y1 , y2 ,..., yT спрэда процентных ставок в соседнем
подразделении вашей компании построена стохастическая модель
yt  0.00256  0.532 yt 1  0.085 yt 2   t .
Вам дано задание проверить соответствие модели и исходных данных. Ваши действия?
5. Приведите функцию правдоподобия, используемую для оценки параметров модели
авторегрессии условной гетероскедастичности

6. Пусть y t t   – стационарный в широком смысле случайный процесс, E ( y t )   ,
E (( y t   )( y t  s   ))   s и

|  s |   .
Докажите, что если определить спектральную
s 1
плотность соотношением
1 
  s e is ,
2 s  
то для спектральной плотности справедливо выражение


1 
f ( ) 
 0  2  s cos( s ) .
2 
s 1

f ( ) 
Докажите, что  s 

 f ( )e
i s
d .

St
, где S t – некоторый обменный курс, длина
S t 1
ряда T  100 , построена модель (в скобках приведена стандартная ошибка)
 yt   0.047 yt 1   t .
7. Пусть для временного ряда y t  log
( 0.020)
Опишите тест Дикки – Фуллера и с его помощью сделайте вывод о наличии единичного
корня для данного временного ряда.
8. В каком случае говорят, что компоненты многомерного временного ряда являются
коинтегрированными?
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Понятие случайного процесса. Случайные процессы стационарные в узком смысле
и стационарные в широком смысле. Процесс белого шума. Процесс случайного блуждания.
2. Основные компоненты временного ряда: тренд, сезонная, циклическая,
иррегулярная. Модели для тренда, сезонной и иррегулярной компонент, как примеры
разностных уравнений.
3. Понятие решения разностного уравнения и стохастического разностного уравнения.
Различные способы построения решений. Характеристическое уравнение и его корни.
4. Операторы запаздывания, их свойства и использование для нахождения решений
стохастических разностных уравнений.
5. Модели авторегрессии скользящего среднего ARMA(p,q).
Свойство
стационарности и его связь с расположением корней характеристического уравнения.
Свойство обратимости процессов ARMA(p,q). Преобразование Бокса – Кокса. Аддитивная и
мультипликативная модели сезонности.
6. Автокорреляционные функции. Уравнения Юла – Уокера. Частные
автокорреляционные функции.
7. Процедура Бокса – Дженкинса построения модели ARMA(p,q). Информационные
критерии Акаике и Шварца. Проверка гипотез.
8. Модели авторегрессии условной гетероскедастичности ARCH(m). Определение
параметров модели ARCH(m) методом максимального правдоподобия. Проверка гипотез.
Модели GARCH(p,q).
9. Выборочная периодограмма временного ряда и спектральная плотность
стационарного случайного процесса.
10. Модели с детерминированным трендом и модели с единичным корнем. Модели
ARIMA(p,d,q). Построение прогнозов для нестационарных временных рядов и поведение
дисперсии ошибки прогнозирования в зависимости от выбранной модели. Методы удаления
тренда.
11. Тесты Дикки – Фуллера. Обобщенные тесты Дикки – Фуллера. Мощность тестов
Дикки – Фуллера.
12. Модели для временных рядов, содержащих структурные изменения.
13. Модели с передаточными функциями. Кросс-корреляции и их использование.
Применение разностных уравнений для нахождения кросс-корреляций.
14. Векторная авторегрессия; условия стационарности, функции отклика на импульсы.
Причинность по Грэнджеру.
15. Нестационарные временные ряды. Коинтеграция и модели с коррекцией ошибок.
16. Тестирование коинтеграции.
Автор программы _________________________________ А.С. Шведов