Кинетическая энергия подводного аппарата как твердого тела (3)

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ПОДВОДНОГО ОБЪЕКТА
НА ОСНОВЕ НОВОЙ ЗАПИСИ
КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС
Павловский В.А., д.ф-м.н, профессор
Никущенко Д.В., к.т.н., доцент
Классификация сил и моментов,
действующих на подводный аппарат
Силы и моменты, действующие на ПА
неинерционные
инерционные
статические вязкостные
корпуса
волновые
ДРК
окружающей
жидкости
Позиционные
Вращательные
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
2
Способы определения гидродинамических
сил и моментов
Экспериментальные
Численные
Теоретические
Вращательные Позиционные
Метод
искривлённых
моделей
Метод малых
колебаний
РУ
АТ
ОБ
ГЛ
Невязкая ж.
Вязкая ж.
Решение
уравнений
Эйлера
Метод
гидродинамических
особенностей
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
DNS
LES
RANS
DЕS
3
Общий вид уравнений движения в
связанной системе координат
Подвижный базис ei движется вместе с телом
d  T    T   e
          F
dt  v0 
 v0 
d  T    T    T   e
    v0            M 0
dt   
  
 v0 
T  Tê  Tæ
- кинетическая энергия системы «ПА – окружающая жидкость
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
4
Кинетическая энергия подводного
аппарата как твердого тела (1)
Кинетическая энергия поступательного движения
Тензор массы тела:
n
m   mi
i 1
M  mG
G  δij ei  e j
Схема движения тела

1
Tê  v0  M  v0
2
v0
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
- скорость полюса
5
Кинетическая энергия подводного
аппарата как твердого тела (2)
Кинетическая энергия вращательного движения
Тензор моментов инерции относительно произвольной точки А
n



 
J A   mi ri2 G  mi ri  ri
:
i 1
Если масса распределена по всему объему V тела с плотностью т



J A   ρò r 2 G  r   r  dV


V
В декартовой базисе прямоугольной системы координат:
 
J A  J ij ei  e j J ij   ρ ò (õk õk δij  õi õ j )dV

2
2
  т y  z dV
V
J ij     т xydV
V

  т xzdV



V

V

  т xydV
V
2
2

x

z

 dV
т

V
  т yzdV
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
V


V


  т yzdV

V

2
2
V т x  y dV 
  т xzdV


6
Кинетическая энергия подводного
аппарата как твердого тела (3)
Кинетическая энергия вращательного движения
Тензор статистических моментов

Λ  m3 ε  rc 
3
ε   ijk ei  e j  e k
В компонентной форме:


Λ  mx c k  ijk ei  e j
 0

ij   mz C
 my
C

Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
mz C
0
mx C
my C 

mx C 
0 
7
Кинетическая энергия подводного
аппарата как твердого тела (4)
Матрица инерции тела:
 m

 0
 0

 0
 mz
C

  m yC
0
m
M
 T
Λ
0
0
Λ

JA
0
 mzC
mzC
0
0
 mzC
0
mxC
m
m yC
 mxC
0
m yC
J11
J 21
J 31
 mxC
J12
J 22
J 32
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
 m yC 

mxC 
0 

J13 
J 23 

J 33 
8
Кинетическая энергия подводного
аппарата как твердого тела (5)
  T 
 1
1
Tê  v0  M  v0    I 0        v0
2
2
v0
- скорость полюса

- угловая скорость вращения любой точки судна
M  M E


- тензор массы судна, M  T dV , E   ijei e j
 
  M  xc k  ijkei  e j
- тензор статических моментов,
  
 
I 0   mi ri  rc  mi ri 2 E 
- тензор моментов инерции
V
T
i
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
9
Кинетическая энергия жидкости.
Постановка задачи и основные допущения
Допущения:
 жидкость идеальная и безграничная;
 вызванное движением тела движение жидкости –
безвихревое и зависит только от движения ПА;
 можно ввести потенциал скорости движения жидкости:
 
  : V   ,
  0
Граничные условия:
-на поверхностях тел:
- на бесконечности:
    

 v0  n    r   n
n S

  0
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
10
Способы учета инерции жидкости
 Добавление в правые части уравнений сил и моментов реакции
жидкости:

dQ  e 
F F
dt
 d
F
dt

e 
dL0
 M0  M0
dt

 ndS
 d
 
M   r  n dS
dt

Q - количество движения,
L0
- момент количества движения относительно полюса О,
 Добавление к инерционным характеристикам тела
дополнительных слагаемых, учитывающих влияние жидкости:


e
d  
QB  F
dt

e
d 
L0  I   M
dt
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
11
Дополнительные слагаемые,
учитывающие влияние жидкости
Добавочный вектор количества движения
 

B  v A  M   ω  ΛT
 
- симметричный тензор присоединенных масс
M   M ij ei  e j , M ij  M ji
- антисимметричный транспонированный

T

T тензор присоединенных статических
 
Λ  Λ ji ei  e j , Λ   Λ
моментов
Добавочный вектор кинетического момента относительно точки А


C A  v A  Λ  ω  I A
 
Λ  Λij ei  e j ;
Λij   Λ ji
 
I A  I ij ei  e j ; I ij*  I *ji
- антисимметричный тензор присоединенных
статических моментов
- симметричный тензор присоединенных
моментов инерции
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
12
Кинетическая энергия жидкости (1)
Потенциал скорости:
  VAii   j  j i, j  1,2,3
i ,  j
- единичные потенциалы
На границе тела потенциал Ф удовлетворяет условию:
  
Φ 
  v A  n  ω  r   n 
n
 VA1n1  VA2 n2  VA3n3  ω1  yn3  zn2   ω2 zn1  xn3   ω3  xn2  yn1 
 3
1
 2

n
;

n
;


  n3
1
2
n
n
n
χ 3
χ1
χ 2
  yn3  zn2 ;
  zn1  xn3;
  xn2  yn1
n
n
n
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
13
Кинетическая энергия жидкости (2)

Проекция вектора B на ось 1

B1     VAk  k  s  s  1 dS
n
S
иначе



T
T
B1  VA1M 11
 VA2 M 21
 VA3 M 31
 111T  2 21
 331
отсюда

M 11
1
1
1


  ρ  1
dS ; M 21   ρ   2
dS ; M 31   ρ   3
dS
n
n
n
S
S
S
T
Λ11
  ρ  χ1
S
1


T
T
dS ; Λ21
  ρ  χ 2 1 dS ; Λ31
  ρ  χ 3 1 dS
n
n
n
S
S
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
14
Кинетическая энергия жидкости (3)

C
Проекция вектора A на ось 1
1
C A1     VAk  k  k  k   dS
n
S
иначе
C A1  V Ai Λi1  ωk J k 1
отсюда

Λ11
   1
S
χ1
χ
χ


dS , Λ21
    2 1 dS, Λ31
    3 1 dS
n
n
n
S
S
J 11   ρ  χ1
S
χ1
χ
χ
dS , J 21   ρ  χ 2 1 dS,J 31   ρ  χ 3 1 dS
n
n
n
S
S
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
15
Кинетическая энергия жидкости (4)
Записывая остальные проекции можно получить
M ij*
    i
S
 j
n
dS
*ij
     j
S
 j
n
dS
I ij*
 i
     i
dS
n
S
В итоге, вместо матрицы коэффициентов ij , содержащей элементы с разной
размерностью и не имеющей четкого физического смысла, введены в рассмотрение
тензоры 2-го ранга , имеющие ясный физический смысл, и указаны соответствующие

компоненты этих тензоров. Тензор присоединенных масс M переводит вектор
скорости полюса тела в слагаемое вектора количества движения жидкости,
увлекаемой телом. Второе слагаемое этого вектора есть результат перевода вектора
угловой скорости тела с помощью антисимметричного транспонированного тензора
T
присоединенных статических моментов Λ . Тензор присоединенных
 статических

моментов инерции J A переводит вектор угловой скорости тела ω в составляющую
вектора кинетического момента окружающей жидкости движущегося тела. Другую
составляющую дает антисимметричный тензор присоединенных моментов инерции,
переводящий вектор скорости полюса в вектор кинетического момента относительно
полюса.
Санкт-Петербургский Государственный
16
Морской Технический Университет
Кинетическая энергия жидкости (5)
Присоединенные тензоры 2-го ранга образуют матрицу тензоров:
 M
 Ò
Λ

*
Λ 

 
JA

 M 11

 M 21

 M 31
 0
 
 12
 
 13

M 12
M 22
M 32
21
0
23

M 13
M 23
M 33
31
32
0
0
21
31
*
I11
*
I 21
*
I 31
12
0
32
*
I12
*
I 22
*
I 32
13 


 23 

0 
*

I13
* 
I 23

* 
I 33

Кинетическая энергия тела, движущегося в жидкости






 
 1

1
T  v0  M  M *  v0    I 0  I *0      T  *T  v0
2
2
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
17
Присоединенные массы сферы (Рогожина Е.А.)
2
*
*
*
m11  m22  m33      R 3  2147 кг
3
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
18
Расчет присоединенных масс и моментов инерции
тел корабельной формы (Рогожина Е.А.)
V = 15.2 м3
L=10 м
=1025 кг/м3
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
19
Системы координат, используемые в
динамике подводных аппаратов
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
20
Уравнения движения подводного аппарата,
симметричного относительно плоскости 1О2
(1)
Матрица присоединенной инерции :
 M 11* M 12*
0
0
0 *13 
 *

*
*
0
0
0  23 
 M 21 M 22
 0

*
*
*
0
M


0
33
31
32


*
*
*
0  31
I11 I12 0 
 0
*
*
 0
0 *32
I 21
I 22
0 


* 
 * *
0
0
0 I 33 
23
 13
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
21
Уравнения движения подводного аппарата,
симметричного относительно плоскости 1О2 (2)
Кинетическая энергия системы «корпус ПА –
окружающая жидкость в связанной системе координат:
M 11v12  M 22v22  M 33v32  2M 12* v1v2 


1
2
2
T   I111  I 222  2 I1212  2 I1313  2 I 2323 

2
 21 3v2  2v3   2 2 1v3  3v1   2 3 2v1  1v2 


*
I

I

I
M ii  M  M , ij
0ij
0ij ,
*
ii
i, j  1,2,3
1  MxC1  *23 ,  2  MxC2  *13 ,  3  MxC3
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
22
Уравнения движения подводного аппарата,
симметричного относительно плоскости 1О2 (3)
M11v1  M 22v23  M 33v32  M12* v2  v13  
1:


 1 22  32   2 12   3   3 12   2   F1e
M 22 v2  M 11v13  M 33v31  M 12* v1  v23  
2:
3:






 1 1 2   3   2 12  32   3  23   1  F2e
M 33v3  M 11v1 2  M 22 v21  M 12* v11  v2 2  






 1 13   2   2 1   23   3 12   22  F3e
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
23
Уравнения движения подводного аппарата,
симметричного относительно плоскости 1О2 (4)
1:
2:
3:
I111  I 33  I 22 23  I12  2  13    2 v3  v21  v12  
  3 v2  v21  v13   M 33  M 22 v2v3  M12* v1v3  M O1
I 22 2  I11  I 33 13  I12 1  23   1  v3  v12  v21  
  3 v1  v32  v23   M 11  M 33 v1v3  M12* v2v3  M O 2


I 33 3  I 22  I11 12  I12 12  22  1 v2  v13  v31  


  2  v1  v23  v32   M 22  M11 v1v2  M12* v12  v22  M O3
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
24
Уравнения движения подводного аппарата,
симметричного относительно плоскости 1О2 (3)
Уравнения движения подводного аппарата в
горизонтальной плоскости
1:
M  M v  M  M v 
2:
M  M v  M  M v 
*
11
*
22
I
3:
*
22
1
*
11
2
03 3
2
1
3
3
 M 12* v2  v1 3    1 32   2 3  F1e
 M 12* v1  v 2 3   *23 32  *13 32  F2e



*
 I 33
 3  M 22  M 11 v1v 2  M 12* v12  v 22 
 *13 v1   3 v 2   *23 v2   3 v1   M O 3
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
25
Выводы
 На основе трех введенных тензоров
присоединенной инерции получены уравнения
движения объекта без учета влияния свободной
поверхности
 Тензорная природа рассмотренных соотношений
позволяет применять их в любых системах
координат
 Полученная система уравнений может
использоваться и для описания движения ПА на
свободной поверхности, если можно
предполагать, что во время движения
действующая ватерлиния не изменяется
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
26