С Ч I РАСЧЁТ

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.
Часть I
РАСЧЁТ
ТРЁХШАРНИРНЫХ
СИСТЕМ
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ
1
Трёхшарнирной
называется геометрически неизменяемая система,
состоящая из трёх дисков, попарно соединенных
тремя шарнирами *)
*) как правило, цилиндрическими
Два типа трёхшарнирных систем (ТШС)
Распорные ТШС
( один из трёх дисков – «земля» )
ТШС с затяжкой
C
VA
A
A
A
C
VB
D2
D1
D1
B
D
H
H
D3 = «з е м л я»
A, B
шарниры система
Трёхшарнирная
С – опорные
с дисками-фермами
С – ключевой
шарнир H – распор
С
С
В
В
D
A
В
Трёхшарнирная арка Трёхшарнирная рама
A
D2
D3
затяжка
B
K
( диск без связей с «землей» )
С
С
A
В
K
A
D
Трёхшарнирные
арка
рама
с затяжками
В
Трёхшарнирной аркой
Вершина арки
C
f
ymax
называется трёхшарнирная система,
два основных диска которой являются A
B
криволинейными стержнями,
l
обращёнными, как правило,
l – длина пролета
выпуклостью навстречу
ymax – стрела подъёма
действующей нагрузке.
f – расстояние от ключевого шарнира
до линии опорных шарниров
В случае ключевого шарнира в вершине арки f = ymax
Трёхшарнирные арки
По очертанию оси
Круговая
Параболическая
По расположению опор
По относительной
высоте
– пологие
С опорами на одном уровне
Dh
Эллиптическая
Стрельчатая
С опорами на разных уровнях
Трёхшарнирной рамой
( f / l < 1/8…1/10)
– подъёмистые
( f / l > 1/4…1/3)
называется трёхшарнирная система, два основных диска
которой являются ломаными или прямолинейными стержнями.
Кинематический анализ
трёхшарнирных систем
2. Т Ш С
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
C
с затяжкой
C
D2
D1
D1
A
B
D
D2
D3
A
K
B
а) к о л и ч е с т в е н н ы й а н а л и з:
П = 0; С = 0
D = 2; H = 1; C0 = 4
W = 3D – ( 2H + C0 )
W=0
D = 3; H = 3; C0 = 3
W=0
б) с т р у к т у р н ы й а н а л и з:
общее требование: шарниры А, В, С не должны лежать на одной прямой
A
В
A
С
С
В
D
С
A
В
Кинематический анализ
трёхшарнирных систем
2. Т Ш С
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
с затяжкой
C
C
D2
D1
D1
A
B
D
D2
D3
A
B
K
а) к о л и ч е с т в е н н ы й а н а л и з:
П = 0; С = 0
D = 2; H = 1; C0 = 4
МЦВ
D = 3; H = 3; C0 = 3
W=0
б) с т р у к т у р н ы й а н а л и з:
при наличии поступательных шарниров
С
g
С
A
W=0
W = 3D – ( 2H + C0 )
g
A
В
С
В
g=0!
D
A
В K
Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
C
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
Вариант 1
( общая система уравнений равновесия )
y
D2
D1
B
VC
VA
A
D1
Вариант 2
( рациональный способ определения реакций )
y
VA
V
A
A
C
HAA
VBB
D2
D1
HHBB
a0
A
B
l

Частный случай – вертикальная нагрузка
HA
HC
C
VC
VB
D2
HB
B
0
Искомые реакции связей:
VA , HA , VB , HB , VC , HC
x
Уравнения равновесия дисков:
  m(AD2)  0
  m(AD1)  0


(D2)
(D1)
x

0
 x  0

  y(D2)  0
  y(D1)  0


( VA , HA , VC , HC ) ( VВ , HВ , VC , HC )
Шаг 1: уравнения равновесия системы в целом:
  mA  0
VB  mA, F /l

VA  mB, F /l
  mB  0
 x  0
( HA  HB ) cos α0  xF  0



HC
C
HA  HB
x
Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
Шаг 2: уравнения равновесия одного из дисков:
Вариант 1
m
VC
VA
A
C
D1
H A
(D1)
С
0
( общая система уравнений равновесия )
y
HC
H
HAA 
(D1 )
(D1)
V

a

m
H

x

0
A
C,
F

C
 (D1)
 y  0 f V C
f
a
VC
VA
y
VA
A
C
HB
a0
A
VB
D2
D1
H A
D1
Вариант 2
( рациональный способ определения реакций )
B
l

Частный случай – вертикальная нагрузка
HA
HC
C
VC
VB
D2
HB
B
0
Искомые реакции связей:
VA , HA , VB , HB , VC , HC
x
Уравнения равновесия дисков:
  m(AD2)  0
  m(AD1)  0


(D2)
(D1)
x

0
 x  0

  y(D2)  0
  y(D1)  0


( VA , HA , VC , HC ) ( VВ , HВ , VC , HC )
Шаг 1: уравнения равновесия системы в целом:
  mA  0
VB  mA, F /l
HB

VA  mB, F /l
  mB  0
 x  0
( HA  HB ) cos α0  xF  0



HC
C
HA  HB
x
Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
Шаг 2: уравнения равновесия одного из дисков:
VC
VA
A
C
D1
H A
m
(D1)
С
0
HC
HA
 x((DD ))  0 HC
 y  0 VC
Вариант 2
f
a
VA VA
1
1
( рациональный способ определения реакций )
y
VA
Переход к ортогональным составляющим
опорных реакций:
y
C
VB
D2
D1
A
H A
HA
HB
a0
VB
VA
B
x
HA
HA  HA cos α0
HB  HB cos α0
VA  VA  HA sin α0 VB  VB  HB sin α0
Алгоритм определения реакций по варианту 2:
HB
1. Реакции опор раскладываются на составляющие –
вертикальные и по направлению линии АВ.
x
2. Записываются уравнения равновесия системы
a0
H A
A
l
в целом ( моментов относительно точек А и В
и проекций на ось х ), из которых находятся
Шаг 1: уравнения равновесия системы в целом:
вертикальные реакции опор А и В.
3. Система разделяется сечением по ключевому
 mA  0
VB  mA, F /l
шарниру на два диска ( обязательная операция ! ).
HB

Для любого из дисков записывается уравнение
VA  mB, F /l
 mB  0
равновесия моментов относительно точки С,
из которого находится реакция HA ( или HB ).

x

0
(
H

H
)
cos
α

x

0


A
B
0
F

уравнения S x = 0 для всей системы
HA  HB 4. Из
Частный случай – вертикальная нагрузка
определяется реакция HB ( HA ).





B

Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
Шаг 2: уравнения равновесия одного из дисков: Особые случаи распорных ТШС,
для которых целесообразно изменение
VC
mС(D1)  0
порядка расчёта в сравнении
C
с общим алгоритмом
HC
VA
D1
HA
Общий признак:
f
a
ключевой шарнир С располагается
x(D1)  0 HC

на одной вертикали ( или горизонтали )
A
с одним из опорных шарниров.
y(D1)  0 VC

H A
С HA А
С
Вариант 2

( рациональный способ определения реакций )
y
VA
A
C
HA А
D2
D1
H A
В
VB
B
l
x
Шаг 1: уравнения равновесия системы в целом:
  mA  0
VB  mA, F /l
HB

VA  mB, F /l
  mB  0
 x  0
( HA  HB ) cos α0  xF  0



VА
В
VB

HB
V
B
Рациональный приём:
В первую очередь рассматривается
равновесие диска, которому принадлежат шарниры,
расположенные на одной вертикали ( горизонтали )
и находится реакция НА ( НВ ); затем используются
уравнения равновесия системы в целом.
VА
HB
a0
HB
(CB)
m
C
 0
m  0
x 0
y0
A
HB
VB
HA
VA
m
( AC )
C
0
m  0
x 0
y0
B
VA
HA
HB
VB
Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
2. Т Ш С
y
C
RK
D2
D1
VD
D3
A
D
с затяжкой
Вариант 1
K
B
Вариант 2
x
HD
Формирование и решение системы уравнений
равновесия дисков D1 , D2 и D3 ( по 3 уравнения
для каждого диска – всего 9 уравнений ) с девятью
неизвестными реакциями внешних и внутренних
связей – VA , HA , VB , HB , VC , HC , VD , HD , RK
( рациональный способ определения реакций связей )
  mD  0

Уравнения
 x  0
равновесия
системы в целом:   y  0

Шаг 1
Шаг 2
RK   mD,F /hR
HD
VD
C
HC
Уравнения равновесия затяжки ( D3 ):
VA
H A A
  m(AAB)  0

( AB)
  mB  0
  x3( AB)  0

l3
a0
f V
C
VB
HB
B
x3
Шаг 3
Уравнения равновесия
одного из дисков ( D1 или D2 ):
(D2)
m
С
 (D )  0
x 2 0
RK
D2
HB
B
VB
K
(D2)
y
 0
HB
HC
VC
Частные случаи:
VB   m(A,ABF) /l3
1. Вертикальные нагрузки на затяжке
( AB)
2. Незагруженная затяжка VA  VB  0 HA  HB
VA   mB,F /l3
3. Прямолинейная незагруженная затяжка:
( AB)
( HB  HA ) cos α0   x3,F  0
N3  const  HA  HB ; M3  0; Q3  0
Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
2. Т Ш С
y
VD
C
RK
D2
D1
A
D
HD
B
с затяжкой
Трёхшарнирная система
с прямолинейной незагруженной затяжкой
K
Рациональный способ
определения реакций связей
x
  mD  0

Уравнения
 x  0
равновесия
системы в целом:   y  0

Шаг 1
Шаг 2
RK   mD,F /hR
HD
VD
C
HC
Уравнения равновесия затяжки ( D3 ):
VA
H A A
  m(AAB)  0

( AB)
  mB  0
  x3( AB)  0

a0
Шаг 3
VB
B
HB
(D2)
m
С
 (D )  0
x 2 0
RK
D2
f V
C
x3
VB  0
VA  0
( HB  HA ) cos α0  0
Уравнения равновесия
одного из дисков ( D1 или D2 ):
(D2)
y
 0
B
HB
K
HB
HC
Продольная сила в прямолинейной
незагруженной затяжке:
N3
m

 H 
 RK  bR
f
(D2 )
C, F
B
HA  HB  N3  const ; M3  0; Q3  0
VC
Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
I
y
VD
D
2. Т Ш С
C
RK
D2
D1
B
A
I
x
HD
  mD  0

Уравнения
 x  0
равновесия
системы в целом:   y  0

Шаг 1
Шаг 2
с затяжкой
Трёхшарнирная система
с прямолинейной незагруженной затяжкой
K
Рациональный способ
определения реакций связей
RK   mD,F /hR
HD
VD
C
HC
Разделение системы сечением I – I
по ключевому шарниру и затяжке
( стандартный приём )
f V
C
Шаг 3
Уравнения равновесия
одного из дисков ( D1 или D2 ):
(D2)
m
С
 (D )  0
x 2 0
RK
D2
(D2)
y
 0
B
N3
K
N3
HC
Продольная сила в прямолинейной
незагруженной затяжке:
N3
m

 RK  bR
f
(D2 )
C, F
VC
Составные системы
с трёхшарнирными частями
ВЧ 2
ТШС 4
ВЧ 1
ТШС 2
ГЧ
ТШС 1
ТШС 3
Контрольные вопросы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 14» )
1. Что такое трёхшарнирная система? ( 2 )
2. Основные типы трёхшарнирных систем. ( 2 )
3. Что такое распор? ( 2 )
4. Что такое затяжка? ( 2 )
5. Разновидности распорных трёхшарнирных систем. ( 2 )
6. Разновидности трёхшарнирных систем с затяжкой. ( 2 )
7. Что такое трёхшарнирная арка? Как классфицируются трёхшарнирные арки? ( 3 )
8. Что такое трёхшарнирная рама? ( 3 )
9. Кинематический анализ трёхшарнирных систем разных типов. ( 4 )
10. Требования к расположению связей в трёхшарнирных системах. ( 4, 5 )
11. Можно ли в вершине арки с опорными цилиндрическими шарнирами на одном уровне
поставить вертикальный поступательный шарнир? ( 5 )
12. Можно ли в трёхшарнирной системе выделить главную и второстепенную части?
13. Порядок определения реакций связей в трёхшарнирной распорной системе. ( 6 – 8 )
14. От чего зависит распор трёхшарнирной системы? ( 7 )
15. Рациональный порядок определения реакций связей в трёхшарнирной системе
при расположении ключевого и одного из опорных шарниров на одной вертикали
(или горизонтали). ( 9 )
16. Порядок определения реакций связей в трёхшарнирной системе с затяжкой. ( 10 )
17. Каков характер работы незагруженной прямолинейной затяжки? ( 10 – 11 )
18. Как определяется продольная сила в прямолинейной незагруженной затяжке? ( 11 )
19. Стандартный прием определения продольной силы в прямолинейной затяжке
трёхшарнирной системы. ( 12 )
20. Порядок расчёта составных систем с трёхшарнирными частями. ( 13 )
____________________________________________________________
*)
Только в режиме «Показ слайдов»