О фундаментальных традициях и современных подходах к

О фундаментальных
традициях и современных подходах
к изучению математики в ВУЗе
В.В.Калинин, кафедра высшей математики
1. Как мы готовим будущих специалистов.
2. Почему нужно что-то менять?
3. Как следовало бы учить в современных
условиях.
Традиционные методы
Решение линейных алгебраических систем
• Классический подход:
ax  by  m

cx  dy  n

m b
x 
,
n d
a m
y 
c n
y

x x, y


a b
 ad  bc  0
c d
Учебный пример:
 2 x  y  1

 x  y  10
x 
x

1 1
 9,
10 1
x 9
  3,

3
2
1
y 
y
1
 3 0
1
2 1
 21
1 10
 y 21

7

3
Реальный пример 1:
1000001x  1000003 y  10000024

999998 x  999997 y  9999973
x 
x
10000024 1000003
 8999991,
999998
999997

1000001 1000003
 2999997
999998 999997
y 
1000001 1000024
 20999979
999998 9999973
y
x
 3, y 
7


Реальный пример 2:
12345 x  67890 y  2468 z  u  216024
54321x  9876 y  8640 z  2u  95078


15243x  60798 y  2846 z  3u  198662
  4 x 
5y 
6 z  7u  5
12345 67890 2468 1 


54321
9876
8640
2
  654828261330

 15243 60798 2846 3 



4
5
6
7


 x  ...,  y  ...,  z  ..., u  ...
y



x  x  2, y 
 3, z  z  5, u  u  4




Исследование функций
•
Классический подход:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Нахождение области определения;
Четность, нечетность, периодичность;
Поведение вблизи точек разрыва;
Интервалы возрастания и убывания;
Экстремумы;
Области выпуклости и вогнутости;
Асимптоты;
Учебный пример:
x2  4
y
x
y
O
x
Реальный пример:
Исследовать функцию y  2xe0,8x  0,2e0,1x , x [0,4]
y  2e0,8 x  1,6 xe 0,8 x  0,02e 0,1x
y  0  x  ?
y
?
y  3,2e0,8 x  1,28 xe 0,8 x  0,002e 0,1x
y  0  x  ?
?
??
?
? ? ?? ?
?
?
?
?
О
4
x
Современные методы
(Компьютерная система “Mathematica”)
Решение линейных алгебраических систем
12345 x  67890 y  2468 z  u  216024
54321x  9876 y  8640 z  2u  95078


15243x  60798 y  2846 z  3u  198662
  4 x 
5y 
6 z  7u  5
In[1]:=
In[2]:=
 12345 67890 2468 1 
 216024 
 x

 95078 
 y
54321 9876 8640 2 



A
; d
; v   ;
 15243 60798 2846 3 
 198662 
z




 
5
6
7 
 5 
u
 4
Solve[A.v == d, {x, y, z, u}]
Out[2]:=
{{x2, y3, x-5, u4}}
Анализ решений алгебраических уравнений
Зависимость от параметра b корней уравнения
2 x 2  bx  4  0
In[1]:=
Out[2]:=
In[2]:=
eq1 = Solve[2 x^2 + b x – 4 == 0,x]

x
1
4

b  32  b
2
 
,
x
1
4

b  32  b
2

Plot[{(x/.eq1)[[1]],(x/.eq1)[[2]]},{b,-30,30}
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-30
-20
-10
0
10
20
30
Исследование функций
In[3]:=
fun = 2x E^(-0.8x)+ 0.2 E^(-0.1x);
Plot[fun, {x, 0, 2}];
Максимум
1.2
Точка перегиба
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
In[5]:=
Out[5]:=
In[6]:=
In[7]:=
Out[6]:=
Out[7]:=
1
2
3
4
FindMaximum[fun,{x,0}]
{1.09646, {x1.22062}}
d2 = [D[fun,{x,2}]
NSolve[d2 == 0,x]
-3.2 e-0.8x + 0.002 e-0.1x + 1.28 e-0.8 x
{{x2.49106}}
Решение волнового уравнения методом Фурье
(из работы студентки РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, гр. НГДМ-04-2,
Скоковой Елены)
Уравнение колебания струны
utt  u xx ,
u ( x,0)  0,
u (0, t )  u (2, t )  0
0  x  2,
0  t  ,
ut ( x,0)  1, 2 / 3  x  4 / 3
In[8]:=
u[x,0]=0; ut[x,0]=1; l=2; a=1;
In[9]:=
u(x,t)=  n=1(A ncos(
Out[9]:=

 na
l
 na
t)+ Bnsin(
n
2 n   nt  nx

4  cos
 cos
sin
 sin
3
3
2
2

 
 2n2
l
 nx
t))sin(
l
)
Форма струны в разные моменты времени
In[10]:=
Table[Plot[{u100[x,t]}, {x, 0, 2}],{t, 0,4.,0.2}]
0.4
0.4
0.2
0.2
00
-0.2
-0.2
00
0.5
0.5
11
1.5
1.5
22
Форма струны в момент времени t = 2.4 c
при разном количестве членов ряда
In[11]:=
Plot[{u1 [x, 2.4], u3[x, 2.4], u101[x, 2.4]}, {x, 0, 2}]
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
n= 1
n= 3
n = 101
0
0.5
1
1.5
2
Визуализация векторных полей
(из дипломной работы студентки Мурманского государственного
технического университета Скоковой Елены)
Векторное поле скоростей течения флюида в пласте
(модель бесконечного однородного пласта с тремя неоднородными круговыми
включениями, все скважины добывающие)
Вопросы в заключение:
1. Выбор базовой системы.
Плюсы и минусы системы Mathematicа:
+
–
широкие возможности символьных операций,
методическая простота работы,
наличие встроенной поддержки пользователя,
современные офисные возможности,
наличие сертифицированной группы преподавателей в РГУ,
меньшая распространенность в России
2. Организация обучения преподавателей.
3.
Приобретение лицензии.
4. Внедрение в учебный процесс (аудитории, календарные
планы, …)