Скейлинговая гипотеза

Скейлинговая гипотеза
( Для описания перехода металл-изолятор ? При Т=0 ? )
Корреляционная длина x  
Управляющий параметр
Функция состояния
Проводимость
s [W -1cm 2-d]
Кондактанс
Y [W -1]
Безразмерный кондактанс y
Y s L
d -2
L - ребро куба
Y
s Ld -2
y 2  2
e
e


Скейлинговая теория перехода металл-изолятор
d ln y
 = d ln L
Два возможных предела при
L= x
1
s = const
I. Металл
L=
0
yc
y
ln y = const + (d-2) ln L
yx
ln y

d ln y
d -2
d ln L
s
II. Изолятор
d=
3
-1
2
d = =1
d
L
y  y0 e

-L
0
x
d ln y
d
L
ln y  - L  const  ln y
x
d ln L
dL
E.Abrahams, P.W.Anderson, D.C.Licciardello, and T.W.Ramakrishnan,
Phys.Rev.Lett. 42, 673 (1979)
Рассуждения Таулесса
Стыковка 2d гиперкубов объемом Ld каждый в один гиперкуб объемом (2L)d.
i
Ei
j
Ej
E ~ ( g d Ld ) -1
2L
L
Ld
По теории возмущений
 i ~  i 0  cij j 0
J
J
d
cij ~
~ J ( gd L ) ~ nd Ld
Ei - E j
W
При изменении размера L изменения волновых
функций зависит от интеграла перекрытия J,
как и изменения проводимости
Это
отношение
входит
в критерий
Андерсона
d=3
Уравнение прямой
d ln y
= d ln L
L= x
1
L>x
yc
du
 s(u - uc )
dx
d ln y
 s ln y
yc
d ln L
L=
0
u=ln y, x=lnL
u - uc  Uesx
Решение
y
yx
ln y
ln y
3
d=
В точке
ln yx  ln yc  1  const
s
s
L
y
   ln 
yc   
yc
=1 и ln yx /yc = 1/s. Отсюда
yx  A
e2
Yx  A

 e2  1
s   A 
  x
Величину x можно выразить через 

y 
x    s ln 
yc 

-1
s
, т.е.
x 
при y  yc
Проводимость s
может быть сколь
угодно малой
d=3
T
К
р
и
т
и
ч
е
с
к
а
я
о
б
л
а
с
т
ь
s
T

1
/2
s



T
s

e
x
p
[(T
T
)]
0/
m
s



Т
о
ч
к
ап
е
р
е
х
о
д
а
x
c
x
1
x
На диаграмме (х,Т) переход металл-изолятор
изображается изолированной точкой, которую можно
обойти
В критической области вблизи квантового фазового
перехода не один, а два масштаба: x и Lj
Критическая область
L j <x
T
T = 0:
1/x
x
Le
e
L hopp
Точка перехода
x=
2
2
(kFl) + 1)
e
s = - ( --h
l
Lee
2
1 + -1 )
e
s=-(h x Lee
x
Область
прыжковой
проводимости
m
s  exp [- (T0 /T) ]
Область Друде
xc
2
1
e
s=-hx
s=0
0
Предел
Мотта
d=3
x1
-1
x = l=kF
1/l
Квантовая
поправка
x
2
(kFl)2
e
s = - --h l
1/x
d=3
Функция s(T) в критической окрестности
В металлической области при Т = 0
В окрестности перехода при Т = 0
Интерполяционная формула
e2  1 1 
s    
  x LT 
s  e2 g F D
Соотношение Эйнштейна
x 
e2 1
s  s 03 
 LT
e2 1
s
x
e2  1 1 
s    
  x LT 
1
e2
s  (Tg F ) 3

LT  D ,
T
d = 3 (эксперимент)
40
25
Ge:As
17
10
3.58 3.50
3.00
0.4
0.8
1.2
1/3
1/3
T (K )
1.6
I.Shlimak, M.Kaveh,R.Ussyshkin, et al.,
Phys.Rev.Lett. 77,1103 (1996)
-1
0
2
15
3
-1
4.60
4.45
4.17
3.91
3.82
-3
1
5.15
s (W cm )
s (W-1cm-1)
20
5.38
20
0
17
4.6 ·10 cm
-3
n [10 cm ]
30
Ge:As
10
B= 4 T
5
5
7T
8T
6
0
0
0.2
0.4
0.6 0.8
T (K1/3)
1/3
1.0
1.2
I.Shlimak, M.Kaveh,R.Ussyshkin, et al.,
Phys.Rev.B 55,1303 (1997)
Температурная зависимость 2D-кондактанса
n  kF2
e2 LT
s  s 02 - ln

l
ne2l e2
s 02 
 (k F l )
k F

Оценка критической температуры:
s=0
k F l  ln LT
l
LT  x  l exp( kF l )
Взяв в качестве LT длину межэлектронной расфазировки,
получим
Tx  D
x2
LT  D ,
T

 exp[ -2(kF l )]

Даже не очень большие значения kFl ~ 10 приводят к нереально
большим значениям x и нереально малым Tx
Отсюда - «металлические пленки»
Ларкин, Хмельницкий, ЖЭТФ 83, 1140 (1982)
2D: вместо перехода - кроссовер
При kFl ~ 1 значения x и Tx становятся реальными
Сильная
локализация
T
2
Lj (T )
e
s2 - - ln
h
l
T  1 2
x
Слабая
локализация
n
s0 exp [- (T0 / T ) ]
 l 
TL   
 L
Crossover
2
В отличие от Tx ,
не содержит
экспоненциально
малого
множителя
Increase of
disorder
TL
/L
1
/x
1
d = 2 (эксперимент)
(a)
~
y
Подгонка T0
106
T0=1K
GaAs /AlxGa1-xAs
10
cm-2
12
8
102
y/y00
 (h/e2)
10
6
(b)
ln (T/T0)
2
~
y
6.0111 cm-2
-2
10
0
0.5
1.0
T (K)
1.5
F.W. van Keuls et al.,
Phys.Rev. B 56,13263 (1997)
2.0
(c)
0
-2
~
y
-4
4
1
ln(y/y00)
0.6
111
4
2
0
-6 -4 -2 0 2
ln (T/T0)
-6
-8
0
100 200
T0/T
Пленки Cu/Ge, Ag/Ge и Au/Ge
0.3-20 А
S.-Y.Hsu and J.M.Valles, Jr.,
Phys.Rev.Lett. 74,2331 (1995)
d = 2 (эксперимент)
3
10
-doped
GaAs
2
10
R (MW)
Сильная
локализация
Полоска шириной 500 А
Слабая
локализация
10
0.1
T0
0.1
1
10
T (K)
100
Yu.Havin,M.Gershenson, and A.Bogdanov,
Phys.Rev. B 58,8009 (1998)
d = 2 (эксперимент)
Si
103
10
-2
102
13.7
2
 (h/e )
МОП-структура на
поверхности Si
.......
n [10 cm ] =7.12
10
1
10-1
0
2
4
T (K)
6
S.V.Kravchenko, W.E.Mason, G.E.Bowker, et al.,
Phys.Rev. B 51,7038 (1995)
8
Проекция формул слабой локализации на скейлинговую
диаграмму
Спин-орбитальное взаимодействие
2 j
e
s 2  

d ln y
=d ln L
dt  3 - t so 1 
- 2
2e
t 

dlny
=dlnL
y2
0
ln y
y0
yc
y1
2
d=
2
d=
Оценка для точки перехода :
*

k F l  ln so

Переход не произойдет, если
 so*   exp( k F l )
 so   so* , т.е.
   so   e k
Fl
lny
T
1x
Рост
беспорядка
/
1
x
x
2
s0 exp [- (T0 / T )n ]

Активационная
проводимость
T
2
Lj (T )
e
s02 - - ln
h
l
Идеальная
система
0
xc= 0