ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

О РАСЧЕТЕ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
СИСТЕМ ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Перельмутер А. В., Юрченко В. В.
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office»
Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Цель работы




В последнее время повысился
интерес к расчету
пространственных конструкций,
состоящих из тонкостенных
стержней
Предпринималось немало
попыток построения достаточно
универсального алгоритма для
расчета произвольных
тонкостенных стержневых систем
При этом в качестве основной
проблемы рассматривали
формулировку краевых условий
на концах тонкостенного стержня
В большинстве работ исходили из того, что на конце стержня депланация либо
полностью отсутствует (абсолютно жесткий узел), либо не встречает никаких
препятствий (шарнир относительно депланации)
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
2/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Цель работы



Многие авторы полагают, что при
расчете конструкции, составленной из
тонкостенных стержней, достаточно
использовать семь неизвестных в
узле. Это было бы возможно, если
существует некоторая скалярная
величина, которую можно
интерпретировать как «депланацию
узла» (седьмое неизвестное).
Имеются конструкции, где такой подход
себя оправдывает, как например, в
балочном ростверке, рассмотренном
Горбуновым и Стрельбицкой
Но в общем случае указанная гипотеза
не верна, что и будет
продемонстрировано далее
Здесь депланация узла равна углу
поворота верхней фасонки
относительно нижней
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
3/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Методика проверки




Рассматриваются конечноэлементные модели стержневых
конструкций, построенные с
использованием плоских конечных
элементов
Конечно-элементные модели
нагружены внешним крутящим
моментом и имеють произвольные
условия опирания
Для построенных конечноэлементных моделей стержневых
конструкций определяются:
uˆ i
 продольные перемещения
точек сечений стержней,
примыкающих к расчетной
модели узла, а также
 продольные напряжения
ˆ i в
этих точках.
Сопоставление результатов численного расчета с теоретическими
значениями продольных перемещений и напряжений дает
возможность оценить величину депланации сечения и бимомента
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
4/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Методика проверки

Следуя основным гипотезам теории Власова о поведении
тонкостенных стержней открытого профиля выразим продольные
перемещения каждой i-й точки поперечного сечения таких
стержней с помощью уравнения:
ui  x, s     x     x  yi  s     x  zi  s     x  i  s 

 x
 x,  x
ы   x 
ы y  s  , z  s 
i
i
ы   s 
i

в





(1)
продольное перемещение
центра тяжести сечения
поперечные перемещения
полюса
угол поворота сечения вокруг
полюса
глобальные координаты i-ой
точки
секториальная координата i-ой
точки
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
5/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Методика проверки
Ошибка представления результатов численного расчета
уравнением (1) для некоторой і-й точки сечения запишется как:

eiu  x, s     x     x  yi  s     x  zi  s     x  i  s   uˆ i

Используя идеологию метода наименьших квадратов, приходим
к необходимости минимизировать следующий функционал:
n
Ε      x     x  yi  s      x  zi  s     x  i  s   uˆ i   min
2
u
i 1

При этом на основе необходимых условий минимума:
 Εu
Εu
 0,
 0,

     x  
     x  

u
Εu
 Ε
 0,
 0.
     x  
    x 

«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
6/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Методика проверки

Получаем систему линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных уравнения продольных перемещений
точек тонкостенного сечения:
n
n
n
n
n
2

  x    yi  s       x   yi  s  zi  s     x   yi  s  i  s     x   yi  s    yi  s  uˆ i  0,
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
n
n
n
2

  x   zi  s  yi  s      x    zi  s      x   zi  s  i  s     x   zi  s    z i  s  uˆ i  0,

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
n
n
n
  x    s  y  s      x    s  z  s     x     s  2    x    s     s  uˆ  0,





i
i
i
i
i
i
i
i

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
n
n
  x  y  s      x  z  s     x    s   n  x   uˆ  0.




i
i
i
i

i 1
i 1
i 1
i 1
 Составляя и решая такую систему для каждого из сечений
тонкостенного стержня, примыкающих к узлу, можно вычислить и
сравнить значения депланаций в этих сечениях, что дает
возможность проверить гипотезу об их совпадении.
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
7/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Методика проверки

Совершенно аналогично выполняется проверка статических условий
в узле. При этом сравниваются значения напряжений в элементах
конечно-элементной модели с теоретическими значениями напряжений,
вычисленными по формуле, учитывающей влияние бимомента :
 i  x, s  

N  x
A

Iy
zi  s  
Mz  x
Iz
yi  s  
B  x
I
i  s 
(2)
Ошибка представления результатов численного расчета
уравнением (2) для некоторой і-й точки сечения запишется как:
ei  x , s    i  x , s   ˆ i 

M y  x
N  x
A

M y  x
Iy
zi  s  
Mz  x
Iz
yi  s  
B x
I
i  s   ˆ i
Используя идеологию метода наименьших квадратов, приходим
к необходимости минимизировать функционал:
 N  x M y  x

Mz  x 
B x

Ε  

zi  s  
yi  s  
i  s   ˆ i   min


A
Iy
Iz
I
i 1 

n
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
2
8/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Методика проверки

На основе необходимых условий минимума запишем систему
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
уравнения продольных напряжений (2) в рассматриваемых точках
тонкостенного сечения:
n
 N  x Mz  x n
M y  x n
B n

yi  s  
zi  s     i  s    ˆ i  0,
n


A
I
I
I i 1
i 1
i 1
i 1
z
y

 N  x n
n
n
M y  x n
Mz  x n
2
B

yi  s  
yi  s   
yi  s  zi  s    yi  s   i  s    yi  s ˆ i  0,




I z i 1
I y i 1
I i 1
 A i 1
i 1

n
n
n
n
2
B n
 N  x z s  Mz  x z s y s  M y  x
zi  s     zi  s   i  s    zi  s ˆ i  0,



i 
i  i 
 A 
I z i 1
I y i 1
I i 1
i 1
i 1

n
 N  x n
M y  x n
Mz  x n
2
B n
i  s  
 i  s  yi  s  
 i  s  zi  s     i  s      i  s ˆ i  0,




I z i 1
I y i 1
I i 1
i 1
 A i 1
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
9/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Результаты проверки: Пример 1
Характеристика
Ригель 1
Ригель 2
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-5 мм-1
-11,0397
+ 11,16
+ 9,6751
Сравнивая результаты
численного расчета для
трех сечений,
примыкающих к узлу,
видим, что депланации
практически совпадают
только для сечений
ригелей, примыкающих к
узлу (они расположены в
одной горизонтальной
плоскости), и резко
отличаются от
депланации сечения
стойки, примыкающего к
узлу.
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
10/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Результаты проверки: Пример 2
Изменение конструкции узла
заметно меняет распределение
депланаций и бимоментов.
Характеристика
Ригель
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-3 мм-1
+ 0,00512
+ 0,0006
Бимомент В, Нм2
– 52,0886
+7,781292
Характеристика
Ригель
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-3 мм-1
+ 0,00541333
+ 0,00010667
Бимомент В, Нм2
– 52,9171
– 10,5611
Характеристика
Ригель
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-3 мм-1
+ 0,00362667
– 0,00198
Бимомент В, Нм2
+118,1281
– 60,2334
Характеристика
Ригель
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-3 мм-1
+ 0,0020933
– 0,00044
Бимомент В, Нм2
+246,8
–50,0292
Во всех случаях депланации и
бимоменты в ригеле и стойке различны
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
11/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Результаты проверки: Пример 3*
Значения депланаций сечений ригеля и стойки, ×10-2 м-1
Конструктивное
решение узла
Узел 1
Узел 2
Узел 3
Узел 1
Приложение внешнего крутящего момента
Элемент
рамы
На конце ригеля
В середине ригеля
В середине стойки
Ригель
1,6428
0,844576
1,78992
Стойка
1,1995
0,60955
2,4204
Ригель
1,61008
0,805494
–2,0744
Стойка
–1,3974
–0,6968
2,40584
Ригель
1,38199
0,696314
–1,8117
Стойка
–1,2153
–0,60951
2,10829
Узел 2
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
Узел 3
12/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Результаты проверки: Пример 4*
Результаты численных расчетов на конечно-элементных моделях показали, что
предположение о существовании «депланации узла» часто не подтверждается
даже в тех случаях, когда рассматриваются плоские, но пространственно
нагруженные стержневые системы.
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
13/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Метод решения*
* S. Koczubiej. Modelowanie skończenie elementowe rzeczywistych warunkow
brzegowych w ramach cienkościennych. Zeszyty naukowe Politechniki Śląskiej, 1799,
Budownictwo, 113, s. 115–124, 2008.
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
14/15
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Метод решения*
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Узлы оболочечной
модели со своими
степенями свободы
Контактные узлы с
трансляционными
степенями свободы
Узлы стыковки с
семью степенями
свободы
* S. Koczubiej. Modelowanie skończenie elementowe rzeczywistych warunkow
brzegowych w ramach cienkościennych. Zeszyty naukowe Politechniki Śląskiej, 1799,
Budownictwo, 113, s. 115–124, 2008.
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office», Киев, КНУСА, 2-4 октября 2012 г.
15/15
«Расчет и проектирование конструкций в среде SCAD Office»
Киев, 2-4 октября 2012 г.
О расчете пространственных систем из
тонкостенных стержней открытого профиля
Спасибо за внимание
ПЕРЕЛЬМУТЕР А. В., д.т.н., иностранный член РААСН
НПО SCAD Soft, Киев
ЮРЧЕНКО В. В., к.т.н., кафедра металлических и
деревянных конструкций КНУСА