Алгебра 8 класс

Алгебра 8 класс
Из истории решения квадратных уравнений
Необходимость решать уравнения не только первой, но
и второй степени была вызвана потребностью решать
задачи, связанные с нахождением площадей земельных
участков и с земляными работами военного характера,
а также с развитием астрономии и самой
математики. Уравнения второй степени умели решать
еще в Древнем Вавилоне во ΙΙ тысячелетии до н. э.
Математики Древней Греции решали квадратные
уравнения геометрически; например Евклид –при
помощи деления отрезка в среднем и крайнем
отношениях. Приемы решения уравнений без
обращений к геометрии дает Диофант
Александрийский (ΙΙΙ в.). Задачи, приводящие к
квадратным уравнениям рассматриваются во многих
древних математических рукописях и трактатах.
Из истории решения квадратных уравнений
Формула корней квадратного уравнения
«переоткрывалась» неоднократно. Один из первых
дошедших до наших дней выводов этой формулы
принадлежит индийскому математику Брахмагупте
(около 598г.)
Среднеазиатский ученый аль-Хорезми (ΙΧ в.) в трактате
«Китаб аль-джебр валь-мукабала» получил эту формулу
методом выделения полного квадрата с помощью
геометрической интерпретации.
Общее правило решения квадратных уравнений было
сформулировано немецким математиком М. Штифелем
(1487 – 1567). После трудов нидерландского математика
А. Жирара (1595 – 1632), а также Декарта и Ньютона
способ решения квадратных уравнений принял
современный вид.
Определение квадратного уравнения
Квадратным уравнением называется уравнение
вида ах² + вх + с = 0, где х – переменная, а, в, с –
некоторые числа, причем а ≠ 0.
Числа а, в, с – коэффициенты квадратного
уравнения. Число а – первый коэффициент, в –
второй коэффициент, с – свободный член.
15х² - 9х + 5 = 0
Старший
коэффициент
Второй
коэффициент
Свободный
член
Из предложенных уравнений выберите квадратные
уравнения
5х² = 0
8х²- 4 +х² = 0
4х²-18х =4х²+5
16 - х² - 15 = 0
6 - 8х² =2х+9
25+х = 7х - 12
(х-1)(х+1) = х²
12х²+7х= - 7х²- 2х
- 5х² = 9х -2
67х² - 95х = 0
6х(2х-3)=4х(3х+4)
х² - 34х+289 = 0
х² + 6х + 8 = 0
10х²- 5 = 3х²-5
х² - 5х + 3 = 0
6х² + 7х = 5
х²- 5х +6 = 0
16 - х² = 0
Виды
квадратного уравнения
неполные
приведенные
полные
Если в квадратном уравнении хотя бы один из
коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение
называется неполным
Неполные
квадратные уравнения
с=0
ax2+bx=0
b=0
ax2+c=0
b=c=0
ax2=0
Решение неполных квадратных уравнений
ах2+вх=0
ах2=0 (в=0, с=0)
ах2+с=0 (в=0)
(с=0)
Разложение левой
части уравнения
на множители и
приравнивание
каждого
множителя к нулю
Деление обеих
частей на
коэффициент при
неизвестном с
последующим
извлечением
квадратного корня
Сведение
уравнения к виду
х2=d с
последующим
извлечением
квадратного
корня
Решение неполных квадратных уравнений
Если с = 0
аx2 + bx = 0
х(ax+b) = 0
х = 0 или х = -a/b
Пример: 18х2 + 27х = 0
9х(2х + 3) = 0
9х = 0 или 2х + 3 = 0
х = 0 или х = -1,5
Решение неполных квадратных уравнений
Если
b=0
ах2 + с = 0
x2 = - с : а , - с : а > 0
2 корня
Пример: 4х2 – 100 = 0
4х2 = 100
х2= 25
х1 = 5, х2 = - 5
Решение неполных квадратных уравнений
Если b = 0 и c = 0
ах2 = 0
х=0
Примеры:
а) 157х2 = 0
х=0
б) -298х2 = 0
х=0
в) 53,7х2 = 0
х=0
Из предложенных уравнений выберите
неполные квадратные уравнения
5х² = 0
8х²- 4 +х² = 0
- 5х² = 9х -2
х² - 34х+289 = 0
16 - х² - 15 = 0
6 - 8х² =2х+9
67х² - 95х = 0
12х²+7х= - 7х²- 2х
х² - 5х + 3 = 0
х² + 6х + 8 = 0
6х² + 7х = 5
х²- 5х +6 = 0
10х²- 5 = 3х²-5
-16 + х² = 0
Алгоритм решения квадратного уравнения
ах²+вх+с=0
Определить
коэффициенты а,в,с
Вычислить дискриминант
D=в²-4ас
Если D<0, то
Уравнение не
имеет корней
Если D=0, то
1 корень
в
х 
2а
х 
 в
2а
Если D>0, то
2 корня
х1, 2 
в D
2а
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
3х² + 11х + 6 = 0
а = 3; в = 11; с = 6
D=11² - 4 · 3· 6 = 121 – 72 = 49 > 0 ,
уравнение имеет два корня
 11  49  11  7

23
6
 11  7
х1 
 3;
6
 11  7
2
х2 

6
3
х1, 2 
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
9х² - 6х + 1 = 0
a = 9, b = - 6 , c = 1
D=(-6)² - 4 · 9 · 1 = 36 – 36 = 0,
уравнение имеет один корень
х=
 (6) 6 1
 
2  9 18 3
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
-2х² + 3х – 5 = 0
a = - 2, b = 3, c = - 5
D =3² -4 · (-2) · (-5) = 9 – 40 = -31<0,
уравнение не имеет корней
Теорема Виета
Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент
равен 1, называется приведенным квадратным
уравнением.
х2 + px + q = 0
Теорема
Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту, взятому
с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену.
х1 + х2 = - р
х1 · х2 = q
Будущий преобразователь алгебры Франсуа
Виет (1504 – 1603) появился на свет в
маленьком французском городке. В 1560 году он
окончил парижский университет и начал
адвокатскую практику, через несколько лет
перешел на государственную службу, став
сначала советником короля Генриха ΙΙΙ, а
затем рекетмейстером – докладчиком по
ходатайствам. В 1569 году покровитель Виета
– король – был убит, и Виет стал служить
новому королю. Жизнь его проходила на фоне
кровавых событий войны, которую вели две
мощные религиозные группировки католиков и
протестантов – гугенотов. Достаточно
сказать, что он пережил Варфоломеевскую
ночь.
Но был небольшой промежуток времени, когда из-за происков врагов
Виет был отстранен от военной службы и получил неожиданный
досуг.
Сейчас нам трудно представить математику без формул и
уравнений, но именно такой была она для Виета. Виет завершил
создание буквенного исчисления, введя обозначения не только для
неизвестного и его степени, но и для параметров. Это позволило
записать целые классы задач, которые можно решать с помощью
одного правила. Он встал у истоков создания новой науки –
тригонометрии. Многие тригонометрические формулы, которые
ныне изучают в курсе математики средней школы, впервые были
записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал теорему
косинусов. Четыре года опалы оказались необычайно
плодотворными для Виета. Он работал самозабвенно. По
рассказам современников Виет мог просиживать за письменным
столом по трое суток подряд. Только иногда забываясь сном на
несколько минут. В тот период он начал большой труд, который
назвал «Искусство анализа, или Новая алгебра». Книгу он не
завершил, но главное, что определило развитие всей математики
Нового времени, было написано.
Из предложенных уравнений выберите
приведенные квадратные уравнения
5х² = 0
х² - 5х + 3 = 0
16 - х² - 15 = 0
х²- 5х +6 = 0
67х² - 95х = 0
8х²- 4 +х² = 0
х² + 6х + 8 = 0
х² - 34х+289 = 0
10х²- 5 = 3х²-5
12х²+7х= - 7х²- 2х
- 5х² = 9х -2
6 - 8х² =2х+9
6х² + 7х = 5
-16 + х² = 0
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
1) х2 + х – 2 = 0
2) х2 + 2х – 3 = 0
3) х2 – 3х + 2 = 0
4) 100х2 + 34х – 134 = 0
5) 200х2 – 23х – 177 = 0
6) х2 – х – 2 = 0
7) х2 – 2х – 3 = 0
8) 90х2– 25х -115 = 0
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Если в квадратном уравнении
ах² + вх + с = 0 сумма
коэффициентов
то х1 = 1; х2 = с/а
Пример.
с
ас
а
.
. .
а + в + с = 0,
5х² - 8х +3 = 0
так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1= 1; х2 = 0,6
Если в квадратном уравнении
равенство
а + с = в,
Пример.
ах² + вх + с = 0 выполняется
то х1= -1; х2 = - с/а
5х² + 8х +3 = 0
так как 5 + 3 = 8, то х1 = - 1; х2 = - 0,6
Устно решить уравнения, применив
«открытые» свойства.
х 2– 17х - 18 = 0
100х2 – 97х – 197 = 0
2х2 – х – 3 = 0
5х2 – х – 6 = 0.
14х2 – 17х + 3 = 0
Решение квадратных уравнений с параметрами
х2 – (2а + 1)х + (а2 + а – 2) = 0
В заданном уравнении в роли коэффициентов выступают не
конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения
называют уравнениями с буквенными коэффициентами или
уравнениями с параметрами.
Решить уравнение с параметром – это значит установить
соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти
соответствующее множество корней.
Решение квадратных уравнений с параметрами
Решить уравнение с параметром – это значит определить, при каких
допустимых значениях параметров уравнение
1) имеет решения;
2) не имеет решения;
3) установить количество решений;
4) найти вид каждого решения при соответствующих ему значениях
параметров.
Решение квадратных уравнений с параметрами
1.
При каком значении а уравнение 2х2 + ах + 8 = 0 имеет один
корень?
Решение
Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0.
D = a2 - 4·2·8
a2 – 4 · 2 · 8 = 0
a2 – 64 = 0
a2 = 64
a1= 8
a2 = - 8
Ответ: при а = 8, и при а = - 8
уравнение имеет один корень
Решение квадратных уравнений с параметрами
В уравнении х2 + рх + 56 = 0 один из корней равен – 4, найдите
другой корень этого уравнения и коэффициент р.
Решение
х1+ х2 = - р
х1· х2 = 56
т. к. х1 = - 4, то х2 = - 14
- р = х1 + х2 = - 4 + (- 14) = - 18
р = 18
Ответ: х2 = - 14, р = 18.
Евклид
(3 в. до н.э.)
Древнегреческий математик, работал в
Александрии. Главный труд «Начала»(15
книг), содержит основы античной
математики, элементарной геометрии,
теории чисел, общей теории отношений и
метода определения площадей и объемов,
включавшего элементы теории пределов,
оказал огромное влияние на развитие
математики.
Диофант
Александрийский
(около 3 в.).
Диофант - древнегреческий математик из
Александрии (возможно, что он был
эллинизированный вавилонянин). Мы очень
мало знаем о нем. Автор трактата Арифметика
в 13 книгах(сохранились 6 книг) посвященного
главным образом исследованию
неопределенных уравнений (т.н. диофантовых
уравнений). Одним из первых Диофант стал
использовать при записи алгебраических
рассуждений специальные знаки. На
результаты, полученные Диофантом,
впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс
и др.
Брахмагупта (около 598 – 660 г. г.)
Последний и наиболее выдающийся из древних индийских
математиков и астрономов. Родом из Удджайна в Средней Индии, где
у него была астрономическая обсерватория. В 628 г. изложил
четвертую индуистскую астрономическую систему в стихотворной
форме в сочинении Открытие Вселенной (Брахма-спхута-сиддханта).
Две его главы посвящены математике, в том числе арифметической
прогрессии и доказательству различных геометрических теорем.
Остальные 23 главы посвящены астрономии: в них описаны фазы
Луны, соединения планет, солнечные и лунные затмения, даны
расчеты положений планет. Труд Брахмагупты был переведен на
арабский язык и таким образом попал в Египет, а оттуда в Европу.
Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных
уравнений, приведенных к форме ах2 + bх = с, а > 0. В данном
уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными.
Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
Аль - Хорезми
Мухаммад ибн Муса Хорезми (ок. 783 – ок. 850) –
великий персидский математик, астроном и географ,
основатель классической алгебры. Сведений о жизни
ученого сохранилось крайне мало. Значительный
период своей жизни он провел в Багдаде, возглавляя
при халифе аль-Мамуне (сыне знаменитого Гаруна
аль-Рашида) библиотеку «Дома мудрости». Согдиец
Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из
Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи) работал в первой
половине 9 века. Главная книга Хорезми названа
скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть
техника решения алгебраических уравнений. Поарабски это звучит «Китаб аль-джебр валь-мукабала";
отсюда произошло наше слово "алгебра".
Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое
правило решения задач определенного типа произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий
известный термин, введенный в математику
знаменитым согдийцем - это "синус".
Памятник аль-Хорезми
в Тегеранском
университете.
•
•
•
•
•
•
•
В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация
линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов
уравнений, выражая их следующим образом:
«Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.
«Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.
«Корни равны числу», т. е. ах = с.
«Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.
«Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.
«Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2.
Для аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел,
члены
каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые.
При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет
положительных решений. Автор
излагает способы решения
указанных уравнений, пользуясь приемами аль-джабр и вальмукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим.
Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить,
например, что при решении неполного квадратного уравнения
первого вида аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не
учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных
практических задачах оно не имеет значения. При
решении полных
квадратных уравнений аль-Хорезми на частных числовых примерах
излагает правила решения, а затем их геометрические
доказательства.
Решение задач
Индусская задача из Бхасхары (1114г.).
Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на три, спрятался в
гроте; одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было
обезьян?
Решение.
Пусть было х обезьян.
2
х

  3  1  х
5

2
х
6х

 9 1  х
252
5
х  30 х  250  25 х
х 2  55 х  250  0
х1  х2  55
х1  х2  250
х1  50
х2  5 - не удовл. усл. задачи
Ответ: 50 обезьян
Решение задач
Индусская задача из Бхасхары (1114г.).
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
Решение
Пусть
было х обезьян
2
 х
   12  х
8
х = 48 или х = 16
Решение задач
Задача Безу (XVIII в.).
Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал ее за 24
пистоля. При этом он потерял столько процентов своих денег,
сколько стоила ему лошадь. За какую сумму денег была куплена
лошадь первоначально?
Решение
Пусть х пистолей стоила лошадь,
х
1% - 100 пистолей
х
х2
потерял х%, т. е. х 

100 100
известно, что продал ее за 24
пистоля.
х2
Лошадь стоила 24 
или х
100
пистолей.
2
Составляем уравнение: 24  х  х
100
х = 60 или х = 40
Ответ: за 60 или 40 пистолей
Домашнее задание
Подготовиться к контрольной
работе.
Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах»
(примерно II в.до н.э)
«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной
неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота.
На расстоянии 20 бу(1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города)
стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем
повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб.
Спрашивается: какова сторона границы города?»