С 1 , С 2

Глава 2. Системы дифференциальных уравнений
Задачи, приводящие к понятию системы ДУ
Некоторое вещество A разлагается на два вещества P и Q. Скорость
образования каждого из этих веществ пропорциональна количеству не
разложенного вещества. Пусть x и y – количества вещества P и Q,
образовавшихся к моменту t. Определить закон их изменений, зная, что в
3c
начальный момент x=0, y=0, а через 1 час x 
где c – первоначальное количество вещества A. 8
y
c
8
Решение.
Пусть c – первоначальное количество вещества A. К моменту t количество
неразложившегося вещества А равно (с – x – y). Тогда согласно условиям
задачи скорости образования веществ P и Q:
 dx
 dt  k1 (c  x  y )

 dy  k (c  x  y )
2
 dt
где k1 и k2 – коэффициенты пропорциональности
скорости образования каждого из веществ P и Q,
x=x(t), y=y(t) – искомые функции,
описывающие закон изменения
количества веществ P и Q.
Не останавливаясь на методах решения систем дифференциальных уравнений,
запишем общее решение:
 x  C1  C2 e  ( k1  k2 )t

k1

( k1  k 2 ) t
y

c

C
e
 C1
2

k2

Используя начальные условия: при t=0, x=0 и y=0, определим С1 и С2.
k2 c

C1  k  k

1
2

C   k 2 c
 2
k1  k 2
Подставляя значения констант в общее решение, получим законы изменения
x и y в виде




k2 c

( k1  k 2 ) t
x

1

e

k1  k 2


 y  k1 c 1  e ( k1 k2 )t

k1  k 2
c
3c
y

Из дополнительных условий задачи ( x 
, t=1) можно найти k1 и k2.
8
8
3
k1  ln 2
4
k2 
1
ln 2
4

Окончательно имеем:

c

t
x

1

2

4

 y  3c 1  2t

4


1
0.749
x( t )
y ( t)
График искомых функций x(t) и y(t)
демонстрирует характер образования
веществ P и Q в процессе химической
реакции разложения вещества А.
0.5
0
0
0
5
0
t
10
10
ОПР 1. Совокупность уравнений
 F1 ( x, y1 , y1 ,, y1( m1 ) , y 2 , y 2 ,, y 2( m2 ) , y n , y n ,, y n( mn ) )  0,

( mn )
( m1 )
( m2 )



F
(
x
,
y
,
y
,

,
y
,
y
,
y
,

,
y
,
y
,
y
,

,
y
)  0,
 2
1
1
1
2
2
2
n
n
n
 F ( x, y , y  ,, y ( m1 ) , y , y  ,, y ( m2 ) , y , y  ,, y ( mn ) )  0,
1
1
1
2
2
2
n
n
n
 n
(1)
где x – независимая переменная, y1(x), y2(x), …, yn(x) – искомые функции, F1,
F2, …Fn – известные функции, называется системой дифференциальных
уравнений n-го порядка.
Замечание. Всегда будем предполагать, что число уравнений системы равно числу
неизвестных функций. Системы дифференциальных уравнений, в которых число
уравнений меньше числа искомых функций, называются уравнениями Монжа. Такие
уравнения рассматриваются в более полных курсах математики.
Система, разрешенная относительно старших производных всех входящих в
нее функций, называется канонической
 y1( m1 )  f1 ( x, y1 , y1 ,, y1( m1 1) , y 2 , y 2 ,, y 2( m2 1) , y n , y n ,, y n( mn 1) ),
 ( m2 )
( mn 1)
( m1 1)
( m2 1)



y

f
(
x
,
y
,
y
,

,
y
,
y
,
y
,

,
y
,
y
,
y
,

,
y
),
 2
2
1 1
1
2
2
2
n
n
n
 y ( mn )  f ( x, y , y  ,, y ( m1 1) , y , y  ,, y ( m2 1) , y , y  ,, y ( mn 1) ).
n
1 1
1
2
2
2
n
n
n
 n
(2)
§1. Нормальная система дифференциальных уравнений
ОПР 2.
Каноническая система дифференциальных уравнений первого порядка,
разрешенных относительно производной, называется нормальной системой
дифференциальных уравнений.
 d y1
 d x  f1 ( x, y1 , y2 , ... , yn )

 d y2
 f 2 ( x, y1 , y2 , ... , yn )

dx





 d yn
 d x  f n ( x, y1 , y2 , ... , yn )

(3)
Здесь x – независимая переменная, yi(x) – искомая система функций, fi(x)
– заданные в некоторой области функции. Число уравнений системы (3)
называется ее порядком.
Представим систему функций выражения (3) в виде векторов
 y1 
 
 y2 
y  
...
 
y 
 n
 d y1 


d
x


d y 
2

dy 
 dx 
dx 
... 


 d yn 
 dx 


 f1 
 
 f2 
f  
...
 
f 
 n
Тогда система (3) может быть записана в компактной векторно-матричной
(или просто матричной) форме:
dy
 f(x, y)
dx
(4)
Решением системы на интервале (a,b) называют n-мерный вектор y = y(x)
или совокупность n функций y1(x), y2(x), …, yn(x) которая при подстановке в
систему (3) будет обращать каждое уравнение системы в тождество на
интервале (a,b).
Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ставится также, как
для одного уравнения: найти решение системы, удовлетворяющее
начальным условиям
y1 ( x0 )  y10 , y 2 ( x0 )  y 20 , , y n ( x0 )  y n 0
(5)
Теорема 1 (о существовании и единственности решения задачи Коши).
Если в некоторой области D (n+1) – мерного пространства
1) функции f i ( x, y1 , y 2 ,, y n ) непрерывны
2) имеют в этой области ограниченные частные производные по
переменным y1 , y 2 ,, y n
 fi
 M , (i, j  1, n)
 yi
то для любой фиксированной точки M 0 ( x0 , y10 , y 20 ,, y n 0 ) области D
существует, и притом единственное, решение
y1  1 ( x), y 2   2 ( x), , y n   n ( x)
системы (3), определенное в некоторой окрестности точки x0, и
удовлетворяющее условиям (5).
 y1   1( x, C1 , , Cn )

Совокупность n функций  y2   2 ( x, C1 , , Cn ) , зависящих от x и




 yn   n ( x, C1 , , Cn )
ОПР 3.
n произвольных постоянных С1, С2, … Сn, называется общим решением
системы (3), если:
1) при любых допустимых значениях постоянных С1, С2, … Сn, она
обращает все уравнения системы (3) в тождество (определяет решение
системы);
2) по заданным начальным условиям (5) можно однозначно
определить постоянные С1, С2, … Сn.
Частным называется решение, полученное из общего решения при
конкретных постоянных Сi.
Теорема 2. Всякое дифференциальное уравнение n-го порядка
y ( n )  f ( x, y, y , y ,, y ( n1) )
может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой n-го порядка.
Теорема 3. (метод исключения переменных. )
Всякая нормальная система n-го порядка может быть заменена
эквивалентным ей дифференциальным уравнением n-го порядка.